Наряду с железобетонными балками прямоугольного поперечного сечения в практике проектирования нередко встречаются элементы других форм, в том числе трапециевидные. При этом в учебной и научной литературе приводятся методики и примеры расчетов по двум группам предельных состояний в основном для элементов прямоугольного, таврового и двутаврового сечений [1, 2, 3, 4]. Чтобы восполнить этот пробел, в данной работе представлена методика расчета трещиностойкости изгибаемых железобетонных элементов трапециевидного сечения на основе применения нелинейных диаграмм деформирования бетона и арматуры [5, 6].Диаграммы состояния бетона при сжатии и растяжении принимаются без ниспадающих участков [5] и характеризуются следующими параметрами: начальным модулем упругости Eb2, предельными сопротивлениями сжатию Rb и растяжению Rbt, а также соответствующими предельными относительными деформациями εbu и εbtu (рис. 1). Для аналитического описания диаграмм сжатия и растяжения бетона используем дробно-рациональную функцию следующего вида: ,                     (1)где Eb2 – начальный модуль упругости бетона, общий для неоднородного сжатия и растяжения (см. рис. 1); Dj, Cj – параметры нелинейности деформирования бетона при неоднородном сжатии и растяжении, получаемые путем трансформирования исходных (эталонных) диаграмм на основе использования соответствующих энергетических критериев разрушения бетона (j=b2 – для диаграмм неоднородного сжатия, j=bt2 – то же, растяжения); si, ei – текущие значения напряжений и деформаций сжатия (i=b) и растяжения (i=bt).Подробная методика определения неизвестных величин (Eb2, Db2, Cb2, Dbt2, Cbt2, εbu, εbtu) представлена в работе [5].Диаграмма растяжения арматуры принята с физической площадкой текучести (рис. 2).Для её описания применяется кусочная функция, состоящая из одного линейного и двух нелинейных уравнений вида (1):при     ,                             (2)при        ,       (3)при     ,     (4)где Esn – начальный модуль упругости арматуры; sel, eel – предел упругости и соответствующая относительная деформация арматуры; sy – предел текучести арматуры; eyf – относительная деформация в конце площадки текучести (см. т. 2 на рис. 2);  su, eu – временное сопротивление и предельная относительная деформация при разрыве арматуры; Cs1, Ds1, Cs2, Ds2 – параметры нелинейности кусочной функции, описывающей второй и третий участки диаграммы; Es2 – модуль упругости арматуры в начальной точке третьего участка.Зависимости для определения неизвестных параметров кусочной функции (Cs1, Ds1, Cs2, Ds2, Es2) представлены в работе [5].      Рис. 1. Диаграммы деформирования бетона при неоднородном сжатии (кривая 1)  растяжении (кривая 2)       Рис. 2. Диаграмма растяжения арматуры с физической площадкой текучести При разработке методики расчета трещиностойкости сечений изгибаемых железобетонных элементов трапециевидной формы используем: уравнения равновесия, условия линейного распределения деформаций по сечению, а также нелинейные диаграммы деформирования бетона и арматуры. Расчетная схема изгибаемого железобетонного элемента трапециевидного поперечного сечения на стадии трещинообразования представлена на рис. 3. Ее аналитическое отображение приводит к следующим группам уравнений.Уравнения равновесия в традиционной форме их записи имеют вид:  ,                                       (5) ,            (6) где Mcrc – искомый изгибающий момент, соответствующий началу этапа трещинообразования сечения железобетонного элемента; sbc – величина фибрового напряжения бетона в сжатой зоне сечения; wc, wt, gc, gt – интегральные геометрические характеристики эпюр напряжений в сжатой и растянутой зонах бетона; xc, xt – высоты сжатой и растянутой зон бетона; ssc, sst – напряжения в сжатой и растянутой арматуре; b1, b2 – ширина, соответственно, нижней и верхней грани трапециевидного сечения элемента; h – высота сечения элемента; Asc, Ast – площади сжатой и растянутой арматуры; ac, at – расстояния от верхней и нижней граней сечения до центров тяжести сжатой и растянутой арматуры; bx – ширина сечения на уровне нейтральной оси.Для определения ширины (bx) трапециевидного сечения элемента на уровне его нейтральной оси используется выражение: .        (7)   Рис. 2. Схема распределения деформаций, напряжений и усилий в нормальном сеченииизгибаемого железобетонного элемента трапециевидной формы на стадии трещинообразования   Коэффициенты полноты эпюр напряжений в сжатой и растянутой зонах бетона (wc, wt) и относительные расстояния от нейтральной оси до центров тяжести соответствующих эпюр (gc, gt) находятся с помощью следующих зависимостей, полученных авторами применительно к трапециевидному поперечному сечению изгибаемого железобетонного элемента:   ,                          (8)   ,                      (9) ,                            (10)   ,                              (11)  где ebc, ebtu – относительные фибровые деформации, соответственно, в сжатой и растянутой зонах сечения изгибаемого железобетонного элемента.С учетом принятой гипотезы плоских сечений для рассматриваемого железобетонного элемента записываются следующие условия деформаций:                            (12) ,                             (13) ,                       (14)                       (15)где esc, est – относительные деформации сжатой и растянутой арматуры.Величину фибрового напряжения бетона sbc получаем с использованием зависимости (1), описывающей диаграмму деформирования бетона при неоднородном сжатии, а неизвестные напряжения в сжатой и растянутой арматуре ssc, sst находятся с помощью универсальной кусочной функции (2)…(4), принятой для описания диаграмм деформирования арматурных сталей с физической площадкой текучести.  Таким образом, получена замкнутая система разрешающих уравнений для определения НДС изгибаемого железобетонного элемента трапециевидного сечения на стадии его трещинообразования. Поскольку ряд зависимостей носит нелинейный характер, то их численная реализация производится с использованием итерационных процедур.Для проведения качественной и количественной оценки результатов, получаемых в рамках предлагаемой методики расчета трещиностойкости рассматриваемых элементов, был составлен соответствующий алгоритм и разработана программа «Balka_8T» для персонального компьютера, с помощью которой проведены численные исследования.Принимаем во внимание, что частным случаем трапециевидного сечения является прямоугольник. Поэтому методика, алгоритм и программа расчета «Balka_8T» могут использоваться для теоретического определения трещиностойкости сечений изгибаемых железобетонных элементов как прямоугольной, так и трапециевидной формы при любой прочности бетона и различном содержании сжатой и растянутой арматуры. В качестве исследуемого эталонного образца был принят изгибаемый железобетонный элемент с размерами поперечного сечения прямоугольной формы b´h = 300´450 мм. Сравниваемый железобетонный элемент трапециевидного сечения имеет такую же высоту (h = 450 мм) и ширину верхней грани (b2 = 300 мм). При этом ширина нижней грани (b1) принята двух типов: 150 мм и 100 мм. В первом случае (b1 = 150 мм) экономия бетона по сравнению с эталонным прямоугольным элементом достигает 25 %, а во втором случае (b1 = 100 мм) – 33 %. В ходе численного эксперимента варьировали следующими исходными данными: классами бетона (В15, В30, В50, В70); процентным содержанием растянутой арматуры класса А400 (0,5 %, 1,0 %, 3,0 %, 5,0 %). В сжатой зоне для всех образцов принята арматура класса А240 с постоянной площадью (0,5 %). В расчетах использовались нормативные характеристики бетона и арматуры с учетом кратковременного нагружения железобетонных элементов статической нагрузкой. В итоге общий объем рассчитываемых образцов составил 48. Основные результаты численных исследований представлены в таблице 1.  Таблица 1 Расчетные значения трещиностойкости сечений изгибаемыхжелезобетонных элементов прямоугольной и трапециевидной формы  Класс бетонаПроцент армирования, %Трещиностойкость сечения, кН∙м , % , %Прямоугольное сечение (Mcrc,1)Трапециевидное сечение (b1 = 150 мм) (Mcrc,2)Трапециевидное сечение (b1 = 100 мм) (Mcrc,3)В150,529,2519,0016,0065,054,71,035,0925,3522,5072,264,13,057,1548,9746,5485,781,45,077,3570,2068,0590,888,0В300,543,3426,7921,9961,850,71,049,8633,9129,2668,058,73,074,9660,9156,7981,275,85,098,6485,9982,2587,283,4В500,558,1434,9628,2760,148,61,065,4442,9436,4465,655,73,093,7573,5267,6378,472,15,0120,80102,3196,8984,780,2В700,569,4441,1132,9759,247,51,077,3249,7441,8164,354,13,0108,0082,9875,7376,870,15,0137,49114,45107,7383,278,4 Анализ полученных результатов, позволил выявить следующие закономерности:для всех рассмотренных классов бетона и при любом армировании растянутой зоны трещиностойкость элементов трапециевидного сечения оказалась на 9,2…52,5 % ниже, чем у эталонных образцов;трещиностойкость трапециевидных сечений, у которых ширина нижней грани принята 150 мм, значительно больше, чем у образцов с узкой гранью (b1 = 100 мм). Наибольшие различия (10,3... 11,7 %) наблюдаются у слабоармированных элементов, а наименьшие (2,8...4,8 %) – у переармированных; увеличение в заданных пределах процента армирования трапециевидных сечений при неизменной прочности бетона приводит к существенному повышению трещиностойкости. При этом наибольший рост значений наблюдается у низкопрочного бетона (В15) – в 4,25 раза, а для высокопрочного бетона (В70) этот рост несколько меньше – в 3,27 раза. Эта же тенденция сохраняется для значений Mcrc,2, у которых для трапециевидных образцов из бетона В15 с увеличением содержания растянутой арматуры моменты трещинообразования повышаются в 3,69 раза, а для наиболее прочного из рассмотренных в численном эксперименте бетона В70 – в 2,78 раза. Для прямоугольных сечений указанные соотношения искомых величин несколько ниже и составляют, соответственно, 2,64 и 1,98 раза; увеличение прочности бетона для всех рассмотренных элементов приводит к повышению трещиностойкости их сечений в 1,58… 2,37 раза. При этом для малоармированных (0,5 %) образцов параметры роста относительных величин моментов трещинообразования ближе к максимальному значению их общего диапа-зона – 2,06…2,37 раза, а для переармированных (5,0 %) сечений аналогичные величины ближе к минимальному значению их общего диапазона – 1,58…1,78 раза. В заключение следует отметить, что в рамках развития данной темы авторы планируют выполнить аналогичные исследования для оценки влияния формы трапециевидных сечений на деформативность изгибаемых железобетонных конструкций, что позволит добиться оптимальных технико-экономических результатов при проектировании конструкций рассматриваемого типа.