Постановка задачиПри обработке конических колес резанием обычно используется метод обкатки, при этом обработка производится инструментом с прямолинейными или криволинейными режущими кромками [1]. Синтез таких передач производится путем подбора наладок зубообрабатывающего станка и параметров инструмента, приблизительно обеспечивающих заданные размеры, форму и положение пятна контакта, а также преднамеренное отклонение от константы передаточного отношения при зацеплении [2 ‒ 7]. После этого определяется форма получаемых поверхностей путем математического моделирования процесса обработки [8, 9]. Обработка резанием является довольно медленным процессом. Штамповка зубчатых колес, рассматриваемая в предлагаемой работе, является значительно более производительным процессом. Этот вид обработки можно отнести к методу копирования, поскольку с точностью до технологических погрешностей поверхности зубьев изделия совпадают с поверхностями зубьев калибрующего инструмента. Эти поверхности, которые могут иметь самую разнообразную форму, могут быть изготовлены с использованием станков с числовым программным управлением. Поэтому разработку технологии изготовления необходимо начинать с расчета оптимальной формы зубьев готового изделия, а затем определять форму зубьев на предварительном этапе обработки с учетом выбранного припуска.Штамповка зубчатого колеса из конической заготовки производится в несколько этапов. В статье рассмотрен лишь заключительный этап – финишная высокоточная операция ‒ калибровка, при которой толщина сминаемого слоя припуска мала. Целью настоящей работы является построение рабочих поверхностей зубьев изделия, обеспечивающих локализованный контакт, а также поверхностей зубьев, которые необходимо иметь перед калибровкой с учетом распределения припуска. Предложен вариант распределения припуска под калибровку. Так как работа нацелена на конические зубчатые колеса дифференциала заднего моста автомобиля, то используя устоявшуюся в автомобильном производстве терминологию, будем называть сателлитом меньшее из колес пары, а большее – полуосевой шестерней или просто шестерней.Так как не ставится задача получения переходной поверхности, то, для простоты, будем обеспечивать только гладкий переход на границе между рабочей и переходной поверхностями. Коническая эвольвентная поверхностьДля расчета поверхности с учетом припуска сначала определим поверхность, которую необходимо изготовить. Построим зацепляющиеся поверхности зубьев на основе эвольвентных конических поверхностей, описанных в работе [10]. Такие поверхности обеспечивают кинематически точное зацепление и линейный контакт зубьев. Рассмотрим систему координат Oxyz, начало O которой находится в вершине делительного конуса, z – ось делительного конуса, а точки возврата сферических эвольвент расположены в плоскости Oxz. Тогда координаты xi (Li, ji), yi (Li, ji), zi (Li, ji) точек поверхности определяются двумя параметрами: конусным расстоянием Li и углом ji [10]:xi = xi(Li , ji) = Li (sinji sinyi + cosji cosyi sindbi);yi = yi (Li , ji) = Li (-cosji sinyi + sinji cosyi sindbi);                          (1)zi = yi (Li , ji) = Li cosyi cosdbi ji ,где нижний индекс i = 1 определяет шестерню, i = 2 – сателлит; углы dpi – это углы делительных конусов; a – угол профиля; углы dbi основных конусов вычисляются такdbi = arcsin(cosa sindpi).                                             (2)Параметр yi связан с параметром ji соотношениемyi = ji sindbi .                                                       (3)Модифицированная коническая эвольвентная поверхность Поверхности, определенные соотношениями (1)‒(3) обеспечивают постоянное передаточное отношение в процессе зацепления, однако, они не дают локализованного контакта. Без локализации пятно контакта может при наличии неизбежных погрешностей выходить на кромки зубьев, что будет приводить к резкой концентрации контактных давлений на кромках и способствовать быстрому износу и разрушению зубьев. Для локализации контакта введем профильный и продольный отводы поверхности зубьев шестерни внутрь зуба от поверхности, задаваемой с помощью (1) ‒ (3) при i = 1. В работе [11] введены параметры синтеза, определяющие форму модифицированной рабочей поверхности зуба шестерни. К ним относятся: Lc – требуемое конусное расстояние до центра пятна контакта; d – смещение центра пятна контакта на сфере радиусом Lc относительно точки с нулевой профильной модификацией; a0 – полудлина мгновенного оттиска контакта при заданной толщине ε слоя краски при испытании зацепления на контрольно-обкатном станке; C – коэффициент, определяющий степень неравномерности передачи вращения.В соотношениях, описывающих модифицированную боковую поверхность зуба шестерни, временно опустим нижний индекс i = 1. Представим модификацию поверхности как поворот вокруг оси вращения шестерни радиус-вектора каждой точки боковой поверхности зуба на угол:Dqm = δqL + δq1,                                                    (4)где DqL – угол поворота, соответствующий продольной модификации боковой поверхности зуба, Dq1 – угол поворота радиус-вектора точки, соответствующий профильной модификации боковой поверхности зуба. Оба поворота осуществляются вокруг оси вращения шестерни и вычисляются по формулам:DqL = - e/r [(L – Lc)/a0]2 ;                                            (5) Dq1 = - С(j – j0)2,                                                     (6)где j0 – значение параметра j, соответствующее центру пятна контакта (точке нулевой профильной модификации, лежащей на пересечении боковой поверхности со сферой радиусом Lc); r – расстояние от точки поверхности до оси вращения шестерни.Параметр j0 связан со смещением d центра пятна контакта на сфере радиусом Lc следующим образом. Угол d0 конуса, на котором лежит точка нулевой модификации, определяется так d0 = dp + d/Lc .                                                      (7)Значение параметра y в точках пересечения сферической эвольвенты с углом конусом с углом d при вершине, соосным основному конусу с углом db , находится из уравнения: L2(sin2y + cos2y sin2db) = L2 sin2d.                                       (8)В левой части (8) квадрат расстояния от точки до оси колеса вычислен на основании выражения (1), поскольку рассматриваемая точка принадлежит эвольвенте. В правой части эта же величина вычислена на основании того, что точка принадлежит поверхности конуса с углом d.Угол y не зависит от L и определяется равенством:.                                            (9)Правой стороне зуба соответствует знак «минус», левой стороне – знак «плюс». Связь величин j и y определяется соотношением (3).Таким образом, с помощью соотношений (7)–(9) по заданному значению d рассчитывается величина j0 . Значения параметров синтеза выбирают с помощью алгоритма имитации испытания пары на контрольно-обкатном станке [12] или алгоритма имитации работы пары под заданной нагрузкой [13]. Эти алгоритмы в предлагаемой работе не рассматриваются.Модифицированная поверхность зуба шестерни вместо равенств (1) определяется соотношениями:.          (10)Поверхность зуба сателлита не модифицируется, поэтому.                                       (11)Уравнения (10), (11) определяют поверхности зубьев, подлежащие изготовлению.Боковая поверхность зуба с учетом припускаПрипуск будем задавать в трех точках в сечении определенного радиуса отдельно для сателлита и шестерни. Далее нижний индекс, определяющий шестерню или сателлит, будет опущен. Каждую из трех точек будем задавать смещением hj (j = 1, 2, 3) относительно вершинной ленточки готового зуба и припуском Δhj в этой точке. Будем считать припуск Δh > 0, если точка с припуском расположена вне сечения готового зуба, и Δh < 0, если точка с припуском расположена внутри сечения готового зуба. Припуск определяется семью параметрами, которые задаются в сферическом сечении, проходящем вблизи средней точки зуба. К ним относятся:‒ радиус Lc сферы, в сечении которой задают значения смещений и припуска в трех точках;‒ смещение h1 вершинной кромки зуба в направлении перпендикулярном кромке (положительное смещение направлено вниз). Смещение h1 равно расстоянию между вершинными ленточками готового зуба и зуба перед калибровкой;‒ значения припуска Dh1, Dh2, Dh3 , равные половине увеличения окружной толщины зуба в заданном сечении. Величина Dh1 определена на вершинной ленточке заготовки зуба перед калибровкой. Величины Dh2 и Dh3 определены соответственно на расстояниях h2 и h3 от вершинной ленточки готового зуба. Точки 1, 2, 3, лежащие на окружности радиусом Lc , показаны на рис.1. Там же показана тонкой линией вершина готового зуба, отстоящая от вершины заготовки на расстоянии h1 .Рис. 1Пусть  – координаты точки поверхности готового зуба, тогда координаты этой же точки перед калибровкой определяются следующим образом:;   ;   ,                   (12)где ,                                                          (13)r – расстояние от точки до оси вращения колеса; Dh – припуск в рассматриваемой точке.Каждую точку боковой поверхности зуба определим двумя параметрами L и d. Здесь d – полярный угол, отсчитываемый от оси изделия (оси z), точки пересечения сферы радиусом L c поверхностью зуба. Тогда окружная толщина Dh слоя припуска может быть представлена как функция переменных L и d:Dh = Dh(L, d).                                                          (14)Обозначим DhL толщину слоя припуска вдоль линии пересечения боковой поверхности зуба со сферой радиусом L. Толщина DhL при d ³ de изменяется по параболическому закону: DhL(d, L) = A0 (L) +A1(L) d + A2(L) d2,                                   (15)а при d ≤ de – по линейному закону: DhL(d, L) = A0(L) + A1(L) de + A2(L) (de)2 + [A1(L) + 2A2(L)] (d – de),           (16)где de – угол наклона границы эвольвентной части зуба к оси z (de > db ). На рис.1 представлены следующие величины. Угол d3L – это полярный угол точки 3, лежащей на сфере произвольного радиуса L, т.е. это угол между осью колеса и прямой, проходящей через вершину делительного конуса и точку 3. Аналогичные полярные углы для точек 1 и 2 на сфере радиуса L обозначены dUL и d2L соответственно. Полярные углы d3 , dU и d2 определяются аналогично d3L , dUL и d2L , но для сферы радиусом Lc . Коэффициенты A0 , A1 , A2 определим из следующего условия: в точках 1, 2 и 3, лежащих на окружности с радиусом L, функция Dh принимает заданные значения Dh1, Dh2, Dh3 , т.е. такие же, как в точках 1, 2, 3 на окружности радиуса Lc . Это условие может быть записано в виде системы уравнений относительно неизвестных коэффициентов:Dh(dUL) = A0 + A1dUL + A2 (dUL)2 = Dh1;Dh(d2L) = A0 + A1d2L + A2 (d2L)2 = Dh2;                                        (17)Dh(d3L) = A0 + A1d3L + A2 (d3L)2 = Dh3.Коэффициенты A0 , A1 , A2 одинаковы для всех точек произвольной окружности радиуса L и равныA2 = [(Dh1 - Dh2) (dUL - d3L) – (Dh1 - Dh3) (dUL - d2L)]/b;A1 = (Dh1 - Dh2)/ (dUL - d2L) – A2 (dUL + d2L);                                   (18)A0 = Dh1 – A1 dUL – A2 (dUL)2,гдеb = (dUL - d2L) (dUL - d3L) (d2L - d3L).                                           (19)            Полярные углы d2 , d3 точек 2 и 3 на окружности радиуса Lc определяются приближенными соотношениями:;   .                         (20)            При условии, что точки 2 и 3 на любой окружности радиуса L делили угол (dUL - dfL) между образующими конуса вершин и конуса впадин в той же пропорции, в которой делят угол (dU - df) точки 2 и 3, заданные на окружности Lc , получим выражения:(dU - d2) / (dU - df) = p2 = (dUL - d2L) / (dUL - dfL);                              (21)(dU - d3) / (dU - df) = p3= (dUL - d3L) / (dUL - dfL).                               (22)Из формул (21) и (22) следует, чтоd2L = dUL – p2 (dUL - dfL);   d3L = dUL – p3 (dUL - dfL).                          (23)При этом величины p2 и p3 , не зависящие от величины L, определяются первыми равенствами в соотношениях (21) и (22).Распределение припуска по поверхности зуба Требуемое распределение припуска по поверхности зуба может быть получено путем подбора шести параметров припуска: h1 , h2 , h3 , Dh1 , Dh2 , Dh3 . Подбор параметров припуска предлагается осуществлять из следующих соображений. На рис. 2 показаны половины сечений зуба сферой радиусом Lc до калибровки (с учетом припуска, рис. 2, а) и после калибровки (готового зуба, рис. 2, б). На рис. 2, в оба сечения наложены друг на друга. Разница между этими сечениями представлена в виде трех площадей: S1, S2 и S3. Причем каждая из них имеет знак «+», если площадь расположена за границей готового зуба, и «–», если площадь расположена внутри границы готового зуба. Точка 4 обозначает границу между рабочей (эвольвентной) и переходной поверхностями.Рис. 2Например, (см. рис. 2) S1 < 0; S2 > 0; S3 < 0 и Dh3 = 0.Сумма площадей S1 + S2 + S3 показывает разницу между половиной площади готового зуба и половиной площади зуба под калибровку, т.е.Sкалиб. – Sготов. = S1 + S2 + S3.                                            (24)Предполагается, что металл из области с площадью сечения S2 должен распределиться на две области с площадями сечения S1 и S3.Если S1 + S2 + S3 < 0, то это будет означать, что металла, оставленного на припуск перед калибровкой, не хватит для заполнения готового зуба. Упомянутые площади являются площадями криволинейных трапеций, расположенных на сфере радиусом L (рис.3). Рис. 3Расчет этих площадей осуществляется с помощью интеграла:.                                                    (25)Для этого использована сферическая система с координатами d и q, где δ – широта, отсчитываемая от плоскости x = 0; θ – долгота, отсчитываемая от плоскости xz (см. рис. 3).В этой системе четыре линии, ограничивающие трапецию, могут быть записаны в виде: d = du , d = dd , q = q1 (d) и q = q2 (d). Площадь S трапеции представляется как сумма бесконечно узких полос, каждая из которых имеет площадь dS = r·q(d)L dd, где r = L sind, а функции q1 (d) и q2 (d) определены своими дискретными значениями qik = qi (dk) (i = 1,2) в нечетном числе М равноотстоящих друг от друга узлахd = dk = du – (du – dd ) (k-1)/(M-1),   (k = 1, 2, …, M).                      (26)Углы du и dd определяют головку и ножку зуба соответственно. Интеграл (25) вычисляется с помощью формулы Симпсона.В качестве примера расчета рассмотрим прямозубую коническую ортогональную передачу с числами зубьев 11 ‒ 20, внешний окружной модуль me = 5 мм, среднее конусное расстояние R = 50,06 мм. На рис. 4 а, б показано распределение припуска в сечении зуба сателлита сферой радиусом 50,09 мм, полученное при двух различных значениях параметра Δh3 и одинаковых значениях всех остальных параметров припуска. Значения параметров припуска для двух вариантов даны в табл.1. Результаты расчета площадей представлены в табл. 2. Рис. 4Табл. 1Табл. 2Анализ результатов расчета для двух вариантов показал следующее. В варианте 1 половина площади Sкалиб сечения зуба с припуском под калибровку меньше на 0,639 мм2 по сравнению с половиной площади Sготов сечения готового зуба. Это означает, что оставленного на припуск металла не хватит на формирование готового зуба. В варианте 2 Sкалиб > Sготов , что является необходимым условием для правильного формирования припуска. Однако окончательное суждение о том, какое значение S1+S2+S3 является оптимальным, можно сделать только на основании экспериментов.Заключение Описанная в статье методика может быть использована технологами для целенаправленного выбора припуска перед финишной штамповочной операцией.