Введение. В настоящее время для организации автоматических операций во всех отраслях промышленности и военного дела используют манипуляционные роботы, способные быстро и точно решать поставленные задачи. Для таких манипуляционных роботов используется управление конечным звеном. Для организации такого управления необходимо находить желаемые значения обобщенных координат, удовлетворяющие заданному положению и ориентации конечного звена. Это достигается решением обратной задачи кинематики (ОЗК). В статье рассматривается применение метода «конечного поворота и смещения» (МКПС) в составе системы управления ориентацией параболической антенны с помощью четырехстепенного манипулятора последовательной структуры с кинематическими парами пятого класса с произвольной ориентацией осей. Звенья манипулятора представляют собой шаровидные оболочки, связанные подшипниками по периметру оболочек. Такая конструкция звеньев обеспечивает максимальную жесткость манипулятора при минимальном весе. Подобная конструкция с тремя степенями подвижности представлена в патенте [1]. Безусловно, для такой задачи возможно применение аналитического метода, но как показывает практика, разработка аналитического метода представляется достаточно сложной задачей и увеличивает время для проектирования аналогичных изделий.Из всех популярных на сегодняшний день методов решения ОЗК, а именно: FABRIK [2, 3], Cyclic Coordinate Descent (CCD) [4, 5, 6], Jacobian Transpose [7, 8], Jacobian DLS [9, 10], Jacobian SVD-DLS [11, 12], FTL [13], Триангуляция [14], метод МКПС не уступает самому быстрому эвристическому методу FABRIK и имеет более естественную настройку для конкретного манипулятора [15, 16].Аналогичную конструкцию манипулятора можно использовать для других целей, где важна ориентация и достаточная жесткость конструкции. Примером возможного использования аналогичной конструкции является система слежения за солнцем в гелиоэнергетических установках. Можно в разработке конструкции звеньев использовать схему академика В.Г. Шухова и получить звенья в виде однополостных гиперболоидов, обладающих максимальной удельной прочностью.Описание конструкции манипулятора. Каждое звено манипулятора образовано шаровидной оболочкой, срезанной в двух местах плоскостью. Первой плоскостью срезана нижняя часть оболочки, а второй – верхняя часть под углом 30º к первой плоскости. Первые три звена манипулятора подобны и различаются только коэффициентом масштаба, который равен 0,(8). Коэффициент масштаба выбран из условий равной прочности звеньев манипуляционной цепи согласно эпюрам изгибающих моментов от сил веса параболической антенны и ветровой нагрузки на неё. В нижней части каждого звена по периметру оболочки в плоскости нижнего среза установлен подшипник, позволяющий закрепить первое звено к основанию и каждое последующее к предыдущему звену и иметь возможность менять угловое положение звеньев относительно друг друга. Конечным звеном манипулятора является параболическая антенна, которая также посредством подшипника закрепляется к предпоследнему звену. Схема конструкции манипулятора в составе основания показана на рисунке 1.Рис. 1. Схема манипулятора с основанием.Для передачи электрической энергии к приводам звеньев и антенны в сочленениях звеньев используются кольцевые контакты, исключающие конструктивные ограничения углов поворота звеньев относительно друг друга. Все сочленения шарнирные и относятся к пятому классу.Краткое описание метода. Метод «конечного поворота и смещения» (МКПС) геометрический. С помощью вспомогательных векторов и теорем, изложенных в [15,16] относительно шарнира/призмы, определяется однозначное и оптимальное значение поворота/смещения каждого звена, являющегося итерационным шагом метода, в соответствии с условием максимального приближения к заданным параметрам положения и ориентации конечного звена. При выполнении условия по точности положения и ориентации конечного звена (антенны) сумма итерационных шагов по каждой степени подвижности является решением ОЗК и соответствует желаемым значениям обобщенных координат для системы управления параболической антенной.Подготовка к решению ОЗК. Для решения ОЗК методом МКПС необходимо построить векторную математическую модель манипулятора. Для этого в декартовой системе XYZ нулевого звена строятся звенья и оси шарниров в виде векторов. В качестве осей шарниров используются единичные векторы , где i = 1,...,4. В качестве звеньев манипулятора используются векторы , равные длинам звеньев и совпадающие с их осями. Для рассматриваемого манипулятора длина векторов  определяется точками пересечения осевых линий звеньев. Векторная математическая модель манипулятора, представленного на рисунке 1, показана на рисунке 2.Рис. 2. Векторная математическая модельманипулятораТочка N является характерной точкой антенны, которая обозначает положение антенны, а оси правой системы координат ExEyEz образуют заданную ориентацию антенны.  и  – векторы, указывающие текущую ориентацию конечного звена,  и  – векторы, совпадающие с одноименными осями, – заданную ориентацию конечного звена. Признаки кинематических пар по виду задаются в одномерном массиве p(k), где k принимает значения 1 для шарнира и 0 для призмы в порядке очередности звеньев. Для рассматриваемого манипулятора массив p записывается следующим образом: p (1, 1, 1, 1). Для визуализации движения звеньев манипулятора при решении ОЗК разработана модель манипулятора, показанная на рисунке 3.Рис. 3. Модель манипулятораРезультаты решения ОЗК. Для решения ОЗК необходимо задать начальные параметры звеньев манипулятора и конечные для ориентации параболической антенны. Начальные координаты положения соответствуют координатам характерной точки антенны: N (1,86897; 1,46496; 0). Начальные координаты ориентации соответствуют обобщенным координатам звеньев и имеют следующие значения: θ1 = 0º, θ2 = 0º, θ3 = 0º, θ4 = 0º. Для заданных начальных значений матрица ориентации антенны имеет следующий вид:Конечное положение и ориентацию параболической антенны зададим с помощью углов Эйлера-Крылова: φ = 210º, ψ = 70º, θ = 190º, где φ, ψ, θ – углы курса, дифферента и крена антенны соответственно относительно осей Y, Z, X. Для заданных конечных значений матрица ориентации имеет следующий вид: .          (1)Матрица ориентации антенны после решения ОЗК имеет следующий вид: .          (2)Углы Эйлера-Крылова и координаты положения соответственно: φ = 210,01º; ψ = 69,9988º; θ = 189,99º и N (–0,86294; 2,71814; 0,0416437).  Результаты решения ОЗК приведены в матрице ориентации (2), в таблице 1 и на рисунках 4 и 5. На рисунке 4 приведены графики изменения обобщенных координат в зависимости от числа макроитераций, а на рисунке 5 – графики обобщенных координат в зависимости от числа итераций. Макроитерацией называется число итераций по одному из критериев решения ОЗК. В нашем случае – по двум углам ориентации антенны относительно оси X и оси Z, так как для данной задачи требуется решение только по ориентации. Итерацией называется конечный поворот/смещение согласно теоремам в [15].Если сравнить заданную матрицу (1) и полученную после решения ОЗК (2), то можно убедиться в высокой точности метода. Время решения ОЗК равно 11 мс. Данная оценка времени решения ОЗК проводилась на микроконтроллере STM32F407VGT6 при тактовой частоте ядра ARM Cortex-M4 равной 144 МГц. ОЗК решалась для заданной точности εзад = 0,0001 по каждому параметру, что соответствует 0,1 мм по положению и 21 секунде по ориентации. Таблица 1 Значения обобщенных координат№ кинематич. парыОбозначение, размерностьЗначения обобщенных координат, градНачальное положениеПосле решения ОЗКПриращение Δq1Θ1, град0136,811136,8112Θ2, град077,54777,5473Θ3, град0116,931116,9314Θ4, град056,50756,507  Рис. 4. Графики изменения обобщенных координат от числа макроитерацийРис. 5. Графики изменения обобщенных координат от числа итерацийМоделирование движения по траектории. Для организации моделирования траекторного движения манипулятора необходимо задать начальные значения ориентации антенны с помощью углов Эйлера-Крылова: φ = 0º, ψ = 0º, θ = 0º. Это соответствует нулевым значениям обобщенных координат звеньев: θ1 = 0º, θ2 = 0º, θ3 = 0º, θ4 = 0º.Моделирование траекторного движения можно осуществлять от рукоятки управления, программным заданием законов изменения ориентации антенны и любым другим способом. В данном случае используется способ программного задания траектории движения. Осуществляется он заданием трех уравнений изменения углов Эйлера-Крылова по формулам: φ = φ0 + 0,05t, ψ = ψ0 + 0,05t, θ = θ0 + 0,05t, где t – время. Полученные траектории в виде графиков изменения обобщенных координат звеньев манипулятора показаны на рисунке 6.Для представленной траектории движения записан файл визуализации движения модели манипулятора, представленный в [17].Рис. 6. Графики обобщенных координат при траекторном движенииСингулярные точки. У рассматриваемого манипулятора сингулярные точки в рабочей зоне проявляют себя как «мертвые» точки. По аналогии с кривошипно-шатунным механизмом, при одном лишь отличии, в этих точках невозможно угловое движение по изменению ориентации антенны строго в плоскости дифферента. Если звенья манипулятора обозначить указателями вращения, показанными на рисунке 7, то видно, что конфигурации звеньев манипулятора в «мертвых» точках образуются в случае одновременного совпадения направлений указателей с плоскостью дифферента.  Рис. 7. Конфигурации звеньев манипулятора в «мертвых» точкахИз рисунка 7 видно, что число «мертвых» точек равно шести и они соответствуют углам дифферента антенны, указанным в таблице 2. Если манипулятор поворачивать по курсу относительно вектора , согласно векторной модели, то в плоскостях параллельных  плоскости XZ получим шесть окружностей, состоящих из «мертвых» точек.                 Чтобы при управлении антенной не попадать в «мертвые» точки, в методе МКПС предусмотрен автоматический обход таких точек. Индикатором попадания в «мертвую» точку в методе являются условия компланарности или коллинеарности соответствующих векторов согласно теоремам в [15] и алгоритму в [16] для всех звеньев одновременно. Это условие соответствует нулевым значениям итерационных шагов для всех звеньев. В этом случае обход «мертвых» точек происходит посредством изменения обобщенных координат на заданные малые углы, что соответствует малому изменению конфигурации звеньев манипулятора в этих точках. При подсчете обобщенных координат, также учитываются заданные малые углы, используемые для выхода из «мертвых» точек. Окончательную формулу для итерационного процесса нахождения обобщенной координаты для i-ого звена qi можно записать в виде линейной комбинации , где i = 1,.., n, n – число звеньев манипулятора, qi0 – начальное значение обобщенной координаты, Δqi – приращения к i-й обобщенной координате равные итерационным шагам согласно теоремам в [15], δqi > εзад – заданное малое значение угла для обхода «мертвых» точек и εзад – заданная точность определения обобщенных координат для звеньев манипулятора. Суммирование в первом случае происходит по числу итераций, а во втором случае по числу «мертвых» точек, встретившихся на пути движения манипулятора.Выводы. В работе рассмотрено применение метода «конечного поворота и смещения» для получения желаемых значений обобщенных координат звеньев манипулятора для системы управления при управлении ориентацией параболической антенны посредством решения ОЗК.Показано траекторное движение манипулятора с антенной и прохождение манипулятора через сингулярные точки.Дана оценка времени решения ОЗК.По алгоритму метода разработано общее программное обеспечение решения ОЗК для произвольного числа звеньев манипулятора, связанных кинематическими парами пятого класса с произвольным направлением осей в виде динамически подключаемой библиотеки, содержащей необходимые подпрограммы для организации решения ОЗК, и частное для конкретного манипулятора в виде исходных данных.