доктор технических наук;
doctor of technical sciences;
Рассматривается геометрическая модель мнимых сопряженных прямых a~b, позволяющая символически изображать эти прямые на вещественной координатной плоскости xy. Чтобы связать алгебраическое и геометрическое представления мнимых прямых, предлагается использовать «марку», образованную ортогональными d1 ⊥ d2 и главными g1~g2 направлениями эллиптической инволюции σ в пучке V. Указание двух пар разделяющих друг друга вещественных прямых d1~d2, g1~g2, проходящих через V, однозначно задает эллиптическую инволюцию σ в пучке V, следовательно, марка V(d1 ⊥ d2, g1~g2) вполне определяет пару мнимых двойных прямых a~b эллиптической инволюции σ(V), что позволяет считать марку «изображением» этих мнимых прямых. При использовании марки требуется установить взаимно однозначное соответствие между комплексными коэффициентами уравнений мнимых двойных прямых и графически заданной маркой. В статье решаются прямая и обратная задачи. Прямая задача – построение марки, изображающей мнимые прямые, заданные своими уравнениями. Обратная задача – определение коэффициентов уравнений мнимых прямых, заданных маркой. Сущность прямой и обратной задач заключается в установлении взаимно однозначного соответствия между уравнениями мнимых двойных прямых эллиптической инволюции σ в пучке V, и графически заданной маркой, содержащей ортогональные и главные направления этой инволюции. Для решения как прямой, так и обратной задач используется теорема Гирша (A.G. Hirsch), устанавливающая взаимно однозначное соответствие между комплексными декартовыми координатами пары мнимых сопряженных точек и вещественными координатами специального «маркера», символически изображающего эти точки. Рассмотрены примеры решения геометрических задач с участием мнимых прямых. В частности, решена задача построения окружности, проходящей через данную точку и касающейся мнимых прямых, заданных своей маркой V(d1 ⊥ d2, g1~g2). Предложен графоаналитический алгоритм определения коэффициентов уравнений мнимых касательных, проведенных к коническому сечению из его внутренней точки.
A geometric model of imaginary conjugate straight lines a~b, allowing symbolic representation of these lines on the real coordinate plane xy is considered. In order to connect the algebraic and geometric representations of imaginary straight lines, it is proposed to use the “mark” formed by orthogonal d1 ⊥ d2 and main g1~g2 directions of the elliptic involution σ in the pencil V. The specification of two pairs of pulling apart each other real straight lines d1~d2, g1~g2 passing through V, uniquely defines the elliptic involution σ in the pencil V, therefore, the V(d1 ⊥ d2, g1~g2) mark completely defines a pair of imaginary double straight lines a~b of elliptic involution σ(V), that allows consider the mark as an “image” of these imaginary straight lines. When using a mark, it is required to establish a one-to-one correspondence between complex coefficients of imaginary double straight lines equations and a graphically given mark. The direct and inverse problems are solved in this paper. The direct one is creation a mark representing imaginary straight lines, given by its own equations. The inverse one is determination of coefficients for the equations of imaginary lines defined by the mark. The essence of the direct and inverse problems consists in establishing a oneto-one correspondence between the equations of imaginary double straight elliptic involutions σ in the pencil V, and a graphically given mark containing the orthogonal and main directions of this involution. To solve both the direct and inverse problems, the Hirsch theorem (A.G. Hirsch) is used, which establishes a one-to-one correspondence between the complex Cartesian coordinates for a pair of imaginary conjugated points and real coordinates of a special “marker” symbolically representing these points. Have been considered examples of solution for geometric problems involving imaginary lines. In particular, has been solved the problem of constructing a circle passing through a given point and touching imaginary lines defined by its mark V(d1 ⊥ d2, g1~g2). Has been proposed a graphical and analytical algorithm for determining the coefficients of equations of imaginary tangents, traced to a conic section from its inner point.