1. ВведениеЭкономика любого государства с позиций исследования представляет собой сложную динамическую систему, обладающую как свойствами ее элементов, так и целостными свойствами, обусловленными их взаимодействием, пространственным разнесением, концентрацией природных и трудовых ресурсов, объемом и разнообразием производственных мощностей и т.п. [1−11]. К наиболее простым свойствам этой системы можно отнести количество ее элементов. Его нетрудно анализировать, например, путем подсчета их общего количества и распределения по подсистемам – отраслям экономики и (или) регионам. К сложным целостным свойствам экономики как системы можно, например, отнести ее устойчивость, способность развиваться, способность обеспечивать потребности населения и т.п. [12−19].Целостные свойства экономики как системы не всегда можно изучить путем ее расчленения и анализа отдельных элементов. Они не аддитивны, не подчинены принципу суперпозиции. Например, устойчивость отдельных элементов экономики не гарантирует ее устойчивость в целом [20−22]. В то же время постановка полномасштабного натурного эксперимента для изучения целостных свойств экономики не представляется возможным. В такой ситуации изучение указанных свойств возможно только на основе модельного подхода. Спектр моделей, необходимых для его реализации, достаточно широк: от вербальных до математических, от описательных до прогнозных, объяснительных и управленческих [23−32, 36−43]. Построение варианта такой модели, обладающей как объяснительными, так и прогнозными свойствами, составляет цель настоящей статьи. В основу предлагаемой модели положена концепция развития и самоорганизации экономики. Ее реализация опирается на применение аппарата дифференциальных уравнений. Поскольку экономика каждого государства развивается во взаимодействии с экономиками других государств, т.е. является открытой, а ее эволюции присущи как количественные, так и качественные изменения, причем качественные изменения происходят, когда экономика находится вне состояния устойчивого равновесия, то для ее моделирования применен аппарат нелинейных дифференциальных уравнений. Он позволяет учесть присущую экономическому развитию множественность стационарных состояний, часть из которых являются состояниями устойчивого равновесия, а также то обстоятельство, что внешние воздействия на экономику государства могут не только модифицировать ее равновесную структуру, но и приводить к существенным структурным изменениям. Только вдали от равновесных состояний может возникать новая структура, связывающая пространственно-временные характеристики национальной экономики с динамическими процессами внутри нее. Структурные изменения обусловлены, как динамикой потребностей населения государств, так и непрерывной борьбой между стремлением к эффективности экономики, а, следовательно, к ее специализации и устойчивости, которая обеспечивается разнообразием производимых экономических благ и необходимым для этого разнообразием структурных элементов экономической системы.  2. Формализованное представление моделиПоскольку степень специализации повышается при уменьшении разнообразия элементов рассматриваемой системы – экономики государства, а устойчивость возрастает при его увеличении [33], для моделирования экономики на макроуровне целесообразно воспользоваться энтропийным подходом, а для процессов микроуровня выделить два ключевых: изменение разнообразия элементов системы и востребованность результатов их функционирования. Для количественного описания этих процессов введем параметры:λ(t) − интенсивность роста разнообразия (количества различных типов элементов) системы в момент времени t;μ(t) – интенсивность потери рентабельности структурными элементами экономической системы.Будем полагать, что макроэкономической характеристикой структуры экономики государства является ее энтропия H(t). Причем она является непрерывной дифференцируемой функцией времени. Естественно при этом полагать, что характеризуемое энтропией состояние экономики в момент времени t+Δt является функцией ее состояния в момент времени t, а также, что изменение состояния экономики (величины H) за промежуток времени Δt пропорционально величине H(t) энтропии в момент времени t. Тогда в первом приближении на макроуровне динамика структуры экономики описывается дифференциальным уравнением                                                                                      (1),где k(t) – коэффициент пропорциональности.Энтропия экономической системы ограничена как снизу, так и сверху. Нижнее ограничение вытекает из определения энтропии как положительно определенной функции. Ограничение сверху обусловлено конечностью количества различающихся элементов экономики государства как системы, а также тем, что структурные изменения этой системы представляют собой в той или иной мере управляемый и самоорганизующийся процесс. Для учета этих обстоятельств в модели (1) коэффициент пропорциональности k(t) представим в виде ,где B(t) − параметр интенсивности диссипации, отражающий процессы управления и самоорганизации при структурной перестройке экономики. Тогда модель (1) принимает вид                                                                        (2).Структура национальной экономики формируется во взаимодействии с глобальной экономикой (внешней средой) на основе реализации национальной экономической политики. Ее формирование состоит в изменении разнообразия и интенсивности использования элементов системы. При нулевой интенсивности их использования соответствующие элементы исчезают, поскольку их функционирование становится нерентабельным. Особенность экономики состоит в том, что эти изменения обладают определенной инерционностью. Структура экономики меняется не сразу. Ее значительная часть сохраняется в течение достаточно длительного времени. Следовательно, развивающаяся экономика соединяет в себе, как диссипативные, так и недиссипативные структуры. При принятой в моделях (1), (2) детализации связь между интенсивностью диссипации экономики и уровнем ее специализации количественно характеризуется соотношением                                                                                                 (3).Подставив (3) в (2), окончательно получим                                                           (4).Уравнение (4) представляет собой эволюционную макромодель структурных изменений экономики государства. Параметры  и  в нем определяются на основе непосредственного наблюдения за структурными изменениями национальной экономики в период времени, предшествующий моделированию, а также путем прогнозирования последствий реализации экономической политики государства. В них, в частности, учитывается и случайная составляющая структурных изменений экономики государства. 3. Исследование модели Исследование модели (4) связано с решением двух групп вопросов. Первую из них составляют количественные, вторую – качественные вопросы. К вопросам количественного исследования относятся аналитическое или численное решение уравнения (4). К вопросам качественного исследования относятся:определение количества состояний равновесия экономики;оценка устойчивости каждого из этих состояний;выявление точек бифуркации (ветвления) решений уравнения (4).Соотношение (4) относится к классу так называемых дифференциальных уравнений Бернулли [34, 35]. Для его аналитического решения обозначим:                                                                                                        (5).Тогда                                                                  (6).Подставив (5), (6) в (4), получим                                                             (7).Из (7) следует                                                                                      (8).Соотношение (8) представляет собой неоднородное линейное уравнение. Его решение может быть получено методом вариации произвольной постоянной (методом Лагранжа). Для этого, прежде всего, найдем общее решение соответствующего (8) однородного уравнения                                                                                             (9).Уравнение (9) представляет собой однородное дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Его можно представить в виде                                                                                                (10).Построим решение этого уравнения в форме Коши при условии, что за начало отсчета принято t=0. Из (10) непосредственно следует:                                                                           (11),где X(0) – начальное условие.Следовательно, общее решение уравнения (10) в форме Коши имеет вид                                                                             (12).В соответствии с методом Лагранжа, решение неоднородного уравнения (8) ищется в том же виде, что и решение соответствующего ему однородного уравнения (9), но вместо произвольной постоянной C берется некоторая непрерывно дифференцируемая функция C(t). Следовательно, искомое решение уравнения (8) будем искать в виде                                                                              (14).Процедура получения решения уравнения (8) состоит в подстановке (14) в (8), определении из полученного равенства функции  и подстановке ее  в (14). В результате получаем                                         (15).С учетом (5), переходя к исходному уравнению (4), получим                                (16).При соотношение (16) принимает вид                                        (17).Если при этом и , то соотношение (15) принимает вид                                            (18).Из (18) непосредственно следует, что                                                                                                     (19),т.е. энтропия распределения количества разнородных элементов в экономической системе не возрастает беспредельно, а ограничена сверху величиной . Так как из функционального определения энтропии как меры специализации экономической системы следует, что , то областью значений функции является отрезок .Стационарные точки рассматриваемой системы (экономики государства) определяются из условия . Одна из этих точек соответствует нулевой энтропии, т.е. абсолютной специализации экономики государства. Остальные являются корнями уравнения                                                                                         (20).Если зависимость                                                                                   (21)монотонна, то существует одна нетривиальная стационарная точка . Если она немонотонна, то возможно существование и других нетривиальных стационарных точек. При этом очевидно, что достигнуть стационарного состояния, удовлетворяющего физически разумным требованиям, невозможно, если                                                                                                           (22).Из (22), в частности, следует, что высокая специализация экономики государства в условиях нестационарной внешней среды (мировой экономики в целом) ведет к ее неустойчивости и, в конечном счете, нарушению экономической безопасности рассматриваемого государства.Обсуждение результатов и выводыТаким образом, в результате проведенных исследований сформирована эволюционная макромодель структурных изменений экономики государства, параметры которой определяются на основе непосредственного наблюдения за структурными изменениями национальной экономики в период времени, предшествующий моделированию, а также путем прогнозирования последствий реализации экономической политики государства. При этом учитывается и случайная составляющая структурных изменений экономики государства.Предложенная модель позволяет при известных допущениях прогнозировать траекторию структурных изменений экономики государства на этапах ее эволюционного развития, выявлять стационарные состояния и точки бифуркации экономики, и с учетом этого обоснованно подходить к формированию экономической политики.Однако для определения границ допустимого использования предложенной модели необходимо проведение комплекса эмпирических исследований.