Geometry & Graphics Geometry & Graphics Геометрия и графика 2308-4898 4048 10.12737/6519 Научные проблемы геометрии Scientific problems of geometry Научные проблемы геометрии Parametric Geometry in Geometric Modeling Параметрическая геометрия в геометрическом моделировании Сальков Н. А. Sal'kov N. A. nikolaysalkov@mail.ru

кандидат технических наук;

candidate of technical sciences;

 Московский государственный академический художественный институт им. В.И. Сурикова Moscow State Academic Art Institute named after V.I. Surikov 10 09 2014 10 09 2014 2 3 7 13 https://zh-szf.ru/en/nauka/article/4048/view

Дается краткая история создания параметрической геометрии за рубежом и в России. Дается определение понятию «параметр». Показывается, какие задачи решает параметрическая геометрия в геометрическом конструировании: 1. Параметраж геометрических фигур и их многообразий. 2. Параметраж геометрических условий. 3. Исследование геометрического смысла параметров. 4. Исследование возможности сосуществования геометрических условий. Указывается ошибочное представление о параметризации геометрических условий как относящихся исключительно к компьютерной графике. На самом деле геометрические зависимости введены в компьютерную графику именно из параметрической геометрии, именно параметрическая геометрия определила, сколько параметров связывает та или иная зависимость. Основой метода параметрической геометрии является параметрическое исчисление. Основной задачей – определение числа параметров геометрических фигур на основе параметров формы и положения, а также геометрических условий и их исследование. Показано, что параметрическая геометрия лежит в основе каркасного метода конструирования. Конструирование поверхностей получением их каркасов имеет определенные преимущества перед другими традиционными математическими методами, так как в реальных условиях производства поверхность изготавливается не как непрерывное двухпараметрическое множество точек, а как дискретное семейство линий, которое при необходимости сглаживается. На примере формирования проезжей части автомобильной дороги, являющейся линейчатой поверхностью общего порядка, показано применение параметрической геометрии в конструировании геометрической и математической моделей, без чего невозможно визуализировать поверхность дороги на компьютере.

A brief history of parametric geometry creation in Russia and foreign countries is delivered. The term «parameter» is defined. Problems in geometric design solved by parametric geometry are: 1. Parametric area of geometric figures and their manifolds. 2. Parametric area of geometric conditions. 3. Study of geometric meaning of parameters. 4. Study of possibility of coexistence of geometric conditions. The article specifies a misconception about the parameterization of geometric conditions as referring exclusively to computer graphics. Geometric dependencies were in fact introduced into computer graphics from parametric geometry, it was parametric geometry that defined the number of parameters associated with a dependency. The parametric geometry method is based on parametric calculus. The main task is to research and determine the number of parameters of geometric shapes based on shape parameters, positions, and geometric conditions. The article shows that parametric geometry underlies the wireframe method of construction. Designing surfaces as a set of frames has certain advantages over other traditional mathematical methods, as in real production conditions the surface is made not as a continuous two-parameter set of points, but as a discrete family of lines, which is optionally smoothed. For example, the formation of the carriageway of the road, which is a general ruled surface, shows the use of parametric geometry in the construction of geometrical and mathematical models, without which it is impossible to visualize the road surface with a computer.

 параметрическая геометрия исчислительная геометрия параметр геометрические параметры параметраж геометрических фигур исчислительный метод аналитическая геометрия. parametric geometry enumerative geometry parameter geometrical parameters parametric area of geometric shapes enumerative method analytic geometry.

Многие преподаватели начертательной геометрии, за редким исключением, плохо знают, что представляет собой параметрическая геометрия и для чего она нужна. Многие ошибочно считают параметраж, использующийся в компьютерной графике, совершенно отдельным элементом, независимым от параметрической геометрии и присущим исключительно компьютерной графике [29], что в корне неверно.Попробуем популяризовать некоторые сведения, касающиеся параметрической геометрии, и донести до широких масс хотя бы небольшой их объем.В 1839 г. Ю. Плюккер опубликовал работу [34]. С этого момента, как считается, было заложено начало развития параметрической геометрии. В этой работе речь идет о подсчете параметров алгебраических кривых и их уравнений.Параметры – это некоторые независимые величины (числа), значения которых служат для различия элементов множеств между собой. В качестве параметров могут выступать коэффициенты уравнений, значения на числовой оси (осях координат), геометрические условия.

Алберг Дж., Нильсон Э., Уолш Дж. Теория сплайнов и ее приложения. М.: Мир, 1972. Alberg Dzh., Nil´son E., Uolsh Dzh. Teoriya splaynov i ee prilozheniya [The theory of splines and its applications.]. Moscow, Mir Publ., 1972. Геворгян В.В. Автоматизация каркасно-параметрического метода задания и конструирования каркасов поверхностей: Автореф. дис. … канд. техн. наук. Одесса, 1978. Gevorgyan V.V. Avtomatizatsiya karkasno-parametricheskogo metoda zadaniya i konstruirovaniya karkasov poverkhnostey. Kand. Diss. [Automation frame-parametric methods of defining and constructing frameworks surfaces. Cand. Diss.]. Odessa, 1978. Гершман И.П. Конструирование поверхностей путем выделения их непрерывных линейчатых каркасов из многопараметрических множеств линий // Труды УДН им. П. Лумумбы. Т. 26: Математика. Вып. 3: Прикладная геометрия. М., 1967. С. 33-47. Gershman I.P. Konstruirovanie poverkhnostey putem vydeleniya ikh nepreryvnykh lineychatykh karkasov iz mnogoparametricheskikh mnozhestv liniy [Design surfaces by highlighting their non-continuous bar frames from a multivariate sets of lines]. Trudy UDN im. P. Lumumby. M., 1967. T. 26: Matematika. Vyp.3: Prikladnaya geometriya. Pp. 33-47. Гершман И.П. Многопараметрические множества геометрических фигур и их координатные подмножества // Труды УДН им. П. Лумумбы. Т. 3: Прикладная геометрия. Вып. 4. М., 1971. С. 41-59. Gershman I.P. Mnogoparametricheskie mnozhestva geometricheskikh figur i ikh koordinatnye podmnozhestva [Multivariate multiple geometric figures and their coordinate subset]. Proceedings of the Peoples´ Friendship University named after P. Lumumba. Moscow, 1971. V. III, Prikladnaya geometriya [Applied geometry]. I. 4, pp. 41-59. Джапаридзе И.С. О роли параметрического исчисления в исследованиях по прикладной геометрии // Аналитические и графические методы рационального конструирования поверхности рабочих органов почвообрабатывающих машин. Киев, 1974. С. 41-46. Dzhaparidze I.S. O roli parametricheskogo ischisleniya v issledovaniyakh po prikladnoy geometrii [About the role of the parametric estimates in studies in applied geometry]. Analiticheskie i graficheskie metody ratsional´nogo konstruirovaniya poverkhnosti rabochikh organov pochvoobrabatyvayushchikh mashin [Analytical and graphical methods for the rational design of surface working organs of tillers]. Kiev, 1974, pp. 41-46. Завьялов Ю.С., Квасов Б.И., Мирошниченко В.Л. Методы сплайн-функций. М.: Наука, 1980. Zav´yalov Yu.S., Kvasov B.I., Miroshnichenko V.L. Metody splayn-funktsiy [Methods of spline functions]. Moscow, Nauka Publ., 1980. Камалов А. Конструирование линейчатых поверхностей каркасно-параметрическим методом и их применение: Автореф. дис. … канд. техн. наук. Самарканд, 1980. Kamalov A. Konstruirovanie lineychatykh poverkhnostey karkasno-parametricheskim metodom i ikh primenenie. Kand. Diss. [The design of the ruled surfaces of frame-parametric method and their application. Cand. Diss.]. Samarkand, 1980. Кислоокий В.Н., Седлецкая Н.И., Харченко А.И. Автоматизация представления геометрии дискретных моделей в задачах прочностных расчетов лопаток паровых турбин // Прикл. геометрия и инж. графика. Вып. 28. Киев: Будiвельник, 1979. С. 19-23. Kislookiy V.N., Sedletskaya N.I., Kharchenko A.I. Avtomatizatsiya predstavleniya geometrii diskretnykh modeley v zadachakh prochnostnykh raschetov lopatok parovykh turbin [Automation before presentation of the geometry of discrete models in problems of stress analysis of steam turbine blades]. Prikl. geometriya i inzh. grafika [Applied Geometry and Engineering Graphics]. Kiev, Budivel´nik Publ., 1979, i. 28. pp. 19-23. Котов И.И. Параметрическое исчисление фигур и полнота графического задания поверхностей // Труды Московского семинара по начертательной геометрии и инж. графике. Вып. 2. М., 1963. С. 82-91. Kotov I.I. Parametricheskoe ischislenie figur i polnota graficheskogo zadaniya poverkhnostey [Parametric calculus of figures and completeness of graphic tasks surfaces]. Trudy Moskovskogo seminara po nachertatel´noy geometrii i inzh. grafike [Proceedings of the Moscow seminar on descriptive geometry and Engineering Graphics]. Moscow, 1963, I. 2, pp. 82-91. Подгорный А.Л. Геометрическое моделирование пространственных конструкций: Автореф. дис. … д-ра техн. наук. М., 1975. Podgornyy A.L. Geometricheskoe modelirovanie prostranstvennykh konstruktsiy. Dokt. Diss. [Geometric modeling of spatial structures. Doct. Diss.]. Moscow, 1975. Принс М.Д. Машинная графика и автоматизация проектирования. М.: Советское радио, 1975. Prins M.D. Mashinnaya grafika i avtomatizatsiya proektirovaniya [Computer graphics and computer aided design]. Moscow, Sovetskoe radio Publ., 1975. Рыжов Н.Н. Алгоритмы перехода от конструктивно-кинематического задания поверхности к аналитическому // Труды УДН им. П. Лумумбы. Т. 53. Вып. 4. М., 1971. С. 17-25. Ryzhov N.N. Algoritmy perekhoda ot konstruktivnokinematicheskogo zadaniya poverkhnosti k analiticheskomu [The algorithms of the transition from structurally-kinematic-Denmark surface to analysis]. Trudy UDN im. P. Lumumby [Proceedings of the Peoples´ Friendship University named after P. Lumumba]. Moscow, 1971, v. 53, i. 4, pp. 17-25. Рыжов Н.Н. Каркасная теория задания и конструирования поверхностей // Труды УДН им. П. Лумумбы. Т. 26: Математика. Вып. 3: Прикладная геометрия. М., 1967. С. 3-17. Ryzhov N.N. Karkasnaya teoriya zadaniya i konstruirovaniya poverkhnostey [Frame theory assignments and design surfaces]. Trudy UDN im. P. Lumumby [Proceedings of the Peoples´ Friendship University named after P. Lumumba]. Moscow, 1967. V. 26: Mathematics. I. 3: Applied geometry. Pp. 3-17. Рыжов Н.Н. Общие вопросы задания и параметризации поверхностей // Тез. докладов II Всесоюзной геометрической конференции. Харьков, 1964. С. 239-241. Ryzhov N.N. Obshchie voprosy zadaniya i parametrizatsii poverkhnostey [General assignment and parameterization of surfaces]. Tez. dokladov II Vsesoyuznoy geometricheskoy konferentsii [Proc. of II All-Union Conference on Geometry]. Khar´kov, 1964, pp. 239-241. Рыжов Н.Н. Параметризация поверхностей // Труды УДН им. П. Лумумбы. Т. 26: Математика. Вып. 3: Прикладная геометрия. М., 1967. С. 18-22. Ryzhov N.N. Parametrizatsiya poverkhnostey [Parameterization of surfaces]. Trudy UDN im. P. Lumumby [Proceedings of the Peoples´ Friendship University named after P. Lumumba]. Moscow, 1967. V. XXVI: Mathematics. I. 3: Applied geometry. pp. 18-22. Рыжов Н.Н. Формализованная система шифровки чертежа поверхности // Межвузовский сб.: Начертательная геометрия и ее приложения. Вып. 1. Саратов: Саратовский ун-т, 1976. С. 20-28. Ryzhov N.N. Formalizovannaya sistema shifrovki chertezha poverkhnosti [A formalized system encryption drawing surface]. Mezhvuzovskiy sb.: Nachertatel´naya geometriya i ee prilozheniya [Intercollegiate Coll.: Descriptive Geometry and its Applications]. Saratov, Saratov University Publ., 1976, i. 1, pp. 20-28. Рыжов Н.Н., Гершман И.П., Якубовский А.М. Геометрические условия как параметры // Прикл. геометрия и инж. графика. Вып. 6. Киев: Будiвельник, 1967. С. 7-12. Ryzhov N.N., Gershman I.P., Yakubovskiy A.M. Geometricheskie usloviya kak parametry [Geometric conditions as parameters]. Prikl. geometriya i inzh. grafika [Applied Geometry and Engineering Graphics]. Kiev, Budivel´nik Publ., 1967, I. 6, pp. 7-12. Рыжов Н.Н., Горшков Г.Ф. Констуирование и задание поверхностей выделением однопараметрического множества определителей линий // Труды УДН им. П. Лумумбы. Вып. 8: Сб. научных трудов инж. факультета. М., 1971. С. 165-169. Ryzhov N.N., Gorshkov G.F. Konstuirovanie i zadanie poverkhnostey vy-deleniem odnoparametricheskogo mnozhestva opredeliteley liniym [Konstruirovanie and job surfaces you-division one-parameter set of determinants lines]. Trudy UDN im. P. Lumumby [Proceedings of the Peoples´ Friendship University named after P. Lumumba]. Moscow, 1971, i. 8: Sb. nauchnykh trudov inzh. fakul´teta [Collection of scientific works of the Faculty of Engineering]. Pp. 165-169. Рыжов Н.Н., Ловецкий К.П., Сальков Н.А. Математическое моделирование проезжей части автомобильных дорог. М.: МАДИ, 1988. Деп. в ЦБНТИ Минавтодора РСФСР 30.06.88, № 163-ад88. Ryzhov N.N., Lovetskiy K.P., Sal´kov N.A. Matematicheskoe modelirovanie proezzhey chasti avtomobil´nykh dorog [Mathematical modelling of the carriageway roads]. Moscow, MADI Publ., 1988. Рыжов Н.Н., Соколова Н.Ю. Параметраж геометрических условий и вывод уравнений огибающих поверхностей по наперед заданным условиям // Прикл. геометрия и инж. графика. Вып. 14. Киев: Будiвельник, 1972. С. 52-54. Ryzhov N.N., Sokolova N.Yu. Parametrazh geometricheskikh usloviy i vyvod uravneniy ogibayushchikh poverkhnostey po napered zadannym usloviyam [Parametrai geometric conditions and you-water equations envelope surface beforehand specified conditions]. Prikl. geometriya i inzh. grafika [Applied Geometry and Engineering Graphics]. Kiev, Budivel´nik Publ., 1972, i. 14, pp. 52-54. Рыжов Н.Н., Якубовский А.М., Гершман И.П. Параметризация геометрических условий и алгоритм решения одной совокупности задач прикладной геометрии // Труды УДН им. П. Лумумбы. Т. 26: Математика. Вып. 3: Прикладная геометрия. М., 1967. С. 139-152. Ryzhov N.N., Yakubovskiy A.M., Gershman I.P. Parametrizatsiya geometricheskikh usloviy i algoritm resheniya odnoy sovokupnosti zadach prikladnoy geometrii [Parametrization of the geometry-historical conditions and the algorithm for solving one set of problems of applied geometry]. Trudy UDN im. P. Lumumby [Proceedings of the Peoples´ Friendship University named after P. Lumumba]. Moscow, 1967. V. XXVI: Mathematics. I. 3: Applied geometry, pp. 139-152. Рыжов Н.Н. Параметрическая геометрия. М.: МАДИ, 1988. Ryzhov N.N. Parametricheskaya geometriya [Parametric geometry]. Moscow, MADI Publ., 1988. Сальков Н.А. Математическое моделирование линейных и поверхностных форм автомобильных дорог на подходах к мостам // Труды МАДИ: Прикладные теоретические вопросы проектирования переходов через водотоки. М., 1989. С. 60-66. Sal´kov N.A. Matematicheskoe modelirovanie lineynykh i poverkhnostnykh form avtomobil´nykh dorog na podkhodakh k mostam [Mathematical modeling of linear and surfaceforms of roads on the approaches to bridges]. Trudy MADI: Prikladnye teoreticheskie voprosy proektirovaniya perekhodov cherez vodotoki [Proceedings MADI: Applied theoretical design issues crossing streams]. Moscow, 1989, pp. 60-66. Сальков Н.А. Моделирование автомобильных дорог: Монография. М.: ИНФРА-М, 2012. URL: http://www.znanium.com/catalog.php#none Salkov N.A. Modelirovanie avtovobil´nyh dorog [Modeling roads]. Moscow, INFRA-M Publ., 2012. Available at: http://www.znanium.com/catalog.php#none/ Соколова Н.Ю. Параметризация фигур и конструирование огибающей поверхности // Труды УДН им. П. Лумумбы. Т. 73: Математика. Вып. 5: Прикладная геометрия. М., 1975. С. 29-39. Sokolova N.Yu. Parametrizatsiya figur i konstruirovanie ogibayushchey poverkhnosti [Parameterization of shapes and design envelope surface]. Trudy UDN im. P. Lumumby [Proceedings of the Peoples´ Friendship University named after P. Lumumba]. Moscow, 1975. V. 73. Mathematics. I. 5: Applied Geometry, pp. 29-39. Теоретические основы формирования моделей поверхностей / В.И. Якунин, Н.Н. Рыжов, Э.В. Егоров и др.; под ред. В.И. Якунина. М.: МАИ, 1985. Yakunin V.I. Teoreticheskie osnovy formirovaniya modeley poverkhnostey [The theoretical basis for the formation of surface models]. Moscow, MAI Publ., 1985. Фокс А., Пратт М. Вычислительная геометрия. Применение в проектировании и на производстве: Пер. с англ. М.: Мир, 1982. Foks A., Pratt M. Vychislitel´naya geometriya. Primenenie v proektirovanii i na proizvodstve [Computational geometry. Application in engineering management and production]. Moscow, Mir Publ., 1982. Фоли Дж., А. вэн Дэм. Основы интерактивной машинной графики. Кн. 2. М.: Мир, 1985. Foli Dzh., A. ven Dem. Osnovy interaktivnoy mashinnoy grafiki [Fundamentals of interactive computer graphics]. Moscow, Mir Publ., 1985. Book 2. Хейфец А.Л., Васильева В.Н. Реализация обобщенной теоремы Данделена для произвольных квадрик вращения в AutoCAD // Геометрия и графика. Т. 2. Вып. 2. М., 2014. С. 9-14. DOI: 10.12737/5584. Kheyfets A.L., Vasil´eva V.N. Realizatsiya obobshchennoy teoremy Dandelena dlya proizvol´nykh kvadrik vrashcheniya v AutoCAD [Implementation of the generalized theorem Dandelena for arbitrary quadrics rotation in AutoCAD]. Geometriya i grafika [Geometry and Graphics]. Moscow, 2014, V. 2, I. 2, pp. 9-14. DOI: 10.12737/5584. Четверухин Н.Ф., Яцкевич Л.А. Параметризация и ее применение в геометрии // Математика в школе. 1963. № 5. С. 15-23. Chetverukhin N.F., Yatskevich L.A. Parametrizatsiya i ee primenenie v geometrii [Parameterization and its application in the geometry]. Matematika v shkole [Mathematics at school]. 1963, i. 5, pp. 15-23. Швиденко Ю.З. Сопряжения линейчатыми поврехностями и их применение для конструирования оболочек: Автореф. дис. … канд. техн. наук. Киев, 1966. Shvidenko Yu.Z. Sopryazheniya lineychatymi povrekhnostyami i ikh primenenie dlya konstruirovaniya obolochek. Kand. Diss. [Mate bar poverhnosti and their use of for constructing shells.Cand. Diss.]. Kiev, 1966. Bezier P. Mathematical and Practical Possibilities of UNISURF, in: Barnhill R.E., Riesefeld R.F. // Computer Aided Geometric Design: Academic Press; New York: 1974. Bezier P. Mathematical and Practical Possibilities of UNISURF, in: Barnhill R.E., Riesefeld R.F. Computer Aided Geometric Design: Academic Press; New York: 1974. Ferguson J. Multivariate Curve Interpolation // Journal of the ACM. 1964. V. 11 (2). Р. 221-228. Ferguson J. Multivariate Curve Interpolation. Journal of the ACM. 1964. V.11(2). pp. 221-228. Plücker J. Theorie der algebraischen Gurven. Bonn, 1839. Plücker J. Theorie der algebraischen Gurven. Bonn, 1839. Schubert H. Kalkül der abzählenden Geometrie. Leipzig, 1879. Schubert H. Kalkül der abzählenden Geometrie. Leipzig, 1879. Zeuthen H.G. Lehrbuch der abzählenden Metoden der Geometrie. Leipzig, 1914. Zeuthen H.G. Lehrbuch der abzählenden Metoden der Geometrie. Leipzig, 1914.