Эффективность сельскохозяйственной отрасли в большой степени зависит от себестоимости продукции растениеводства, которую можно снизить, учитывая факторы, влияющие на технико-экономические и эксплуатационные показатели [1, 2, 3], при обосновании мероприятий по оптимизации ее производства [4, 5, 6]. Для достижения такой цели необходимо применять различные энергосберегающие технологии и технические средства [7, 8, 9]. На повышение урожайности сельскохозяйственных культур особое влияние оказывает качественная подготовка почвы под посев в кратчайшие агротехнические сроки [10]. В последние годы все более широкое применение находят комбинированные сельскохозяйственные орудия и машины, способные выполнять одновременно за один проход агрегата несколько технологических операций [11, 12, 13]. Также необходимо отметить, что все большую популярность завоевывает малогабаритная почвообрабатывающая техника: мотоблоки и мотокультиваторы. Для увеличения их функциональности, а также качества подготовки почвы к посеву необходимо изучить возможность применения дополнительных рабочих органов, к числу которых относится универсальный каток, позволяющий качественно рыхлить верхний слой обработанной почвы с одновременным выносом остатков сорных растений на поверхность земли и последующем их прикатывании катком [14, 15].Цель работы – теоретическое исследование движения и кинематической связи прицепного планчато-спирального катка с мотоблоком, позволяющие обосновать рациональные конструктивно-технологические параметры малогабаритной почвообрабатывающей машины. Условия, материалы и методы. При анализе и обосновании параметров почвообрабатывающих орудий необходимо учитывать физико-механические [16, 17] и технологические свойства материалов [18, 19], оказывающих особое влияние при взаимодействии рабочих органов с грунтом. В процессе исследования движения планчато-спирального катка по почве использованы положения классической механики и аналитической геометрии, методы равновесия и движения механических систем, основанных на дифференциальных и интегральных принципах механики [20, 21, 22].Рассмотрим прицепной планчато-спиральный каток, предназначенный для прикатывания почвы и давления ее комков после воздействия фрезы мотоблока (рис. 1). Для лучшего копирования поверхности почвы он связан с рамой мотоблока подпружиненными шарнирами в двух взаимно перпендикулярных плоскостях. Для обоснования конструктивных параметров прицепного планчато-спирального катка рассмотрим механическую систему, которая состоит из рамы 1 и вращающегося с постоянной угловой скоростью     катка 2 (рис. 2). Рама 1 имеет две степени свободы: вращение вокруг оси x1 на угол q и вращение вокруг оси z2 на угол φ. Каток 2 вращается с постоянной по величине угловой скоростью, то есть на него наложена кинематическая связь:        (1)где        φ2 – угол поворота катка, рад.;        t – время поворота катка, с.При вращении катка за счет касательной силы сопротивления почвы  движение мотоблока происходит в направлении противоположном оси x1 с постоянной скоростью. А в случае активного привода, моментом сил от клиноременной передачи, связанной с валом отбора мощности мотоблока, направление силы     противоположно, показанному на рис. 2. Углы q  и φ будем считать малыми. Они полностью определяют положение механической системы в инерциальной системе отсчета (x1,y1,z1), связанной с мотоблоком. Если ввести углы Эйлера, то угол q, называется углом нутации, а угол φ – углом собственного вращения. Угол прецессии ψ отсутствует, так как мотоблок движется прямолинейно. Угол поворота катка φ2 отсчитывается от горизонтальной прямой, параллельной оси x2, меняется в той же плоскости, что и угол φ, но вокруг оси  z4 и не может считаться малым.Оси координат (x2, y2, z2 ) получены при вращении оси z2 на угол φ, оси (x3,y3,z3) – при вращении вокруг оси  на угол . Эти оси связаны с рамой и начинаются в точке ее крепления к мотоблоку с помощью двойного шарнира. Оси (x4, y4, z4), параллельны осям (x3,y3,z3), но проходят через центр масс катка 2 (рис. 2).Жесткости пружин cq, cφ, препятствующих вращению, отражают момент сил на один радиан угла поворота и задаются в (Н∙м/рад). Центр тяжести рамы находится в точке С1, центр тяжести катка – в точке C2.Кроме сил тяжести, приложенных в этих центрах масс, действуют сила реакции (нормального давления) почвы    , проходящая с незначительным смещением через C2  (величина смещения зависит от сопротивления качению) и сила взаимодействия с почвой   , которая приложена горизонтально в центре пятна контакта катка с поверхностью, ниже C2  на величину радиуса катка R.Результаты и обсуждение. Для составления дифференциальных уравнений движения составим два уравнения Лагранжа второго рода для обобщенных координат  и , отсчитываемых от положения равновесия в системе отсчета, связанной с точкой O:                        (2)                                                           (3) где        T – кинетическая энергия системы, Дж;        Qq, Qφ – обобщенные силы, Н∙м. Вычислим кинетическую энергию системы , которая складывается из кинетической энергии рамы 1 и энергии катка 2:  (4)где                ‒ осевые моменты инерции относительно осей координат                 , жестко связанных с рамой 1;                     ‒ центробежные моментыинерции соответственно относительно тех же осей;                – проекции абсолютной угловой скорости рамы 1 на подвижные оси . Запишем кинематические уравнения Эйлера:      (5)  С учетом отсутствия изменения угла прецессии  уравнения (5) примут вид:  (6) Плоскость             – плоскость материальной симметрии, следовательно, ось z3 – главная ось инерции, поэтому:  (7)Выразим кинетическую энергию рамы 1 через обобщенные координаты по выражениям (6) и с учетом (7) запишем: (8)  Учитывая допущения, что углы q и φ и их производные по времени – малые величины, получим:(9) (10)С учетом формул (9) и (10), выражение (8) представим в следующем виде:  (11) Оставим в выражении (11) величины только второго порядка малости, отбросив слагаемые более высокого порядка, так, чтобы после вычисления производных в уравнениях Лагранжа (2) и (3) были представлены величины первого порядка малости:   (12) Согласно теореме Кёнига кинетическая энергия катка 2 (см. рис. 2) вычисляется следующим образом:  (13) где m2– масса катка, кг;             – скорость цента масс катка, с;                                – моменты инерции катка относительно осей (                   ).Моменты инерции катка – это главные оси инерции, поэтому в выражении (13) нет ее центробежных моментов. Угловые скорости запишем в проекции на выбранные оси аналогично уравнениям (6):          (14)   Определим      скорость центра масс катка как скорость точки, связанной с  рамой 1:         (15)Радиус-вектор центра масс катка      в системе координат                 имеет проекции               , а     – определяется уравнениями (6), тогда:         (16)  где                   – единичные векторы осей координат . Раскроем определитель (16) по элементам первой строки и получим проекции скорости на оси координат:         (17)  На основе проекций скорости  точки  (17) определим ее квадрат:  (18)  Подставляя систему уравнений (14) угловых скоростей и формулу (18) определения квадрата скорости центра масс катка, в выражение (13), получим:     (19)    Ограничимся в выражении (19) величинами второго порядка малости и, с учетом (9) и (10), запишем:  (20)  Имея виду, что осевые моменты инерции катка равны –           ,      и, учитывая, что кинетическую энергию катка можно записать следующим образом:  (21)  Сложив кинетическую энергию катка 2 и рамы 1, а затем сгруппировав слагаемые, можно будет определить кинетическую энергию системы:  (22)  Обозначим суммы постоянных величин следующим образом: (23)  (24)Тогда выражение кинетической энергии системы примет вид: (25)Выводы. На основании анализа механической системы прицепного планчато-спирального катка к мотоблоку определены количество степеней свободы, кинематическая связь и положение механической системы в инерциальной системе отсчета, связанной с мотоблоком. Учитывая некоторые допущения, пренебрегая малыми величинами некоторых переменных, на основании уравнения Лагранжа второго рода составлено дифференциальное уравнение движения для обобщенных координат. Для решения дифференциального уравнения движения вычислена кинетическая энергия системы, определяющаяся как сумма кинетических энергий рамы и катка. Полученная теоретическая зависимость для определения кинетической энергии системы, устанавливает связь между осевыми и центробежными моментами инерции, массой, угловой и линейной скоростями рамы и катка. Численные решения полученных выражений позволят определить рациональные конструктивно-технологические параметры прицепного планчато-спирального катка к мотоблоку.