Введение Результатом суперпозиции двух неускоренных движений является также неускоренное, т.е. равномерное и прямолинейное движение (рис. 1).   Рис. 1. Сложение неускоренных движенийFig. 1. Addition of non-accelerated movements  Здесь  – скорость координатной системы  в координатной системе ,  – скорость объекта  в в координатной системе ,  – скорость объекта  в в координатной системе . Очевидно, что конец вектора  описывает отрезок прямой линии. Цель исследования состоит в обобщении принципа комбинации движений на круговые движения.Задача, решению которой посвящена статья, состоит в аналитическом описании траекторий комбинированных движений.Актуальность работы обусловлена тем, что в механических системах широко распространены комбинированные вращательные движения, и при конструировании важно представлять характер суммарного движения [1–10].  Материалы, модели, эксперименты и методы Используются методы аналитической геометрии. Рассматривается координатная система x'0'y', которая вращается в координатной системе x0y без углового ускорения со скоростью ω. Радиус вращения равен ρ1. При этом 0x || 0'x', 0y || 0'y'. Объект a вращается в координатной системе x'0'y' без углового ускорения со скоростью ±ω. Радиус вращения равен ρ2.  Результаты Вращения в противоположные стороны. Теорема 1. При вращениях в противоположные стороны траектория суммарного движения представляет собой эллипс. Доказательство. В координатной системе  начало  координатной системы  определяется следующим образом.                                         , .                                            (1)В координатной системе  объект  определяется, соответственно, , ,где ,  – начальные фазы.В координатной системе  объект  определяется следующим образом. , . , .Из этих выражений определяются , . , ,         .             (2) Последнее выражение представляет собой формулу эллипса.Теорема доказана.Теорема 2. Полуоси фигуры (2) определяются как  и .Доказательство. При условии  выражение (2) приводится к канонической форме   ,                                                     .                                                     (3) Теорема доказана.Следствие 2-1. Если , то траектория суммарного движения является прямолинейной. Ее длина равна .Далее в следствиях 2-2 – 2-4 представлены стандартные характеристики эллипса применительно к рассматриваемому случаю.Следствие 2-2. .Следствие 2-3. Для формы (3) справедливо .Следствие 2-4. , .Теорема 3. В координатной системе  эллиптическая траектория имеет наклон .Доказательство. Если форму (3) повернуть на , она преобразуется следующим образом.   , . Это выражение идентично формуле .Теорема доказана.Пример. Если , , то эллиптическая траектория имеет наклон  (рис. 2).     Рис. 2. Эллиптическая траекторияFig. 2. Elliptical trajectory Нетрудно доказать теорему, обратную первой.Теорема 4. Если траектория суммарного движения является эллиптической и полуоси равны  и , то объект  совершает круговое движение в координатной системе  без углового ускорения со скоростью .Вращения в одну сторону. Теорема 5. При вращениях в одну сторону траектория суммарного движения представляет собой окружность. Доказательство. В координатной системе  начало  координатной системы  описывается формулой (1). В координатной системе  объект  определяется следующим образом.   , .В координатной системе  объект  определяется, соответственно,. , .Для радиус-вектора  справедливо преобразование ... . Величина радиус-вектора  не меняется. Это возможно лишь в том случае, если траектория суммарного движения является круговой.Теорема доказана.Следствие 5-1. Объект  вращается в координатной системе  без углового ускорения со скоростью . Следствие 5-2. Радиус вращения равен .Нетрудно доказать теорему, обратную пятой.Теорема 6. Если траектория суммарного движения является круговой, то объект  совершает круговое движение в координатной системе  без углового ускорения со скоростью .Теорема 7. Если скорость вращения объекта  в координатной системе  равна нулю, то траектория суммарного движения является круговой с центром в точке с координатами ,  и с радиусом .Доказательство. В координатной системе  начало  координатной системы  описывается формулой (1). В координатной системе  объект  определяется следующим образом. , .В координатной системе  объект  определяется, соответственно,. , , , , .Теорема доказана.Круговые движения с кратными скоростями. Объект  вращается в координатной системе  без углового ускорения со скоростью , .В координатной системе  начало  координатной системы  определяется следующим образом. , .В координатной системе  объект  определяется, соответственно, , .В координатной системе  объект  определяется следующим образом. , .На рис. 3 показана траектория объекта  ( ).  Рис. 3. Траектория типа улиткиFig. 3. Snail type trajectory В полярных координатах эта траектория представима в виде .Петля в траектории появляется при выполнении соотношений , , .Если  петля не образуется. Такая траектория показана на рис. 4.   Рис. 4. Улитка без петлиFig. 4. Snail without a loop   Обсуждение/Заключение  Установлено, что при вращениях в противоположные стороны траектория суммарного движения представляет собой эллипс.При вращениях в одну сторону траектория суммарного движения представляет собой окружность.При круговых движениях с кратными скоростями траектории суммарного движения представляет собой улитки.Практический аспект исследования определяется тем, что полученные формулы могут непосредственно использоваться в САПР при выполнении конструкторских работ.