Solnechno-Zemnaya Fizika Solnechno-Zemnaya Fizika Солнечно-земная физика 2712-9640 4941 10.12737/7935 Результаты исследований Results of current research Результаты исследований Linear evolution of the vortex induced by localized temperature disturbance in stratified shear flow Линейная эволюция вихря, генерируемого локальным возмущением температуры в стратифицированном сдвиговом течении Шухман Илья Григорьевич Shukhman Ilia Grigorevich Grigor'evich shukhman@iszf.irk.ru

доктор физико-математических наук;

doctor of physical and mathematical sciences;

 Вайс Тевнер Шошана Weiss Tewner Shoshana shoshanaw@gmail.com Коэн Яаков Cohen Jacob aerycyc@aerodyne.technion.ac.il Институт солнечно-земной физики СО РАН Иркутск Россия Institute of Solar Terrestrial Physics SB RAS Irkutsk Russian Federation Технион – Израильский институт технологии Хайфа Израиль Technion – Israel Institute of Technology Haifa Israel Технион – Израильский институт технологии Хайфа Израиль Technion – Israel Institute of Technology Haifa Israel 17 06 2015 17 06 2015 1 2 106 127 https://zh-szf.ru/en/nauka/article/4941/view

Исследуется влияние сдвига скорости течения и его устойчивой вертикальной стратификации на эволюцию вихревого возмущения, индуцированного компактным возмущением температуры, наложенным в начальный момент времени на некоторую локальную область течения. Малые размеры возмущения по сравнению с характерными масштабами изменения скорости и температуры фонового течения позволяют считать вертикальные градиенты горизонтальной скорости течения и температуры не зависящими от координат. В рамках линейной теории рассчитаны поля завихренности и температуры. Задача решается аналитически с помощью трехмерного фурье-преобразования исходной системы и дальнейшего перехода к лагранжевым переменным в фурье-пространстве. Показано, что рост интенсивности вихря вызывается как стратификацией, так и сдвигом скорости. Однако характер этого усиления (монотонный или осциллирующий) зависит от того, какой их двух факторов доминирует. В случае, когда диссипативные эффекты отсутствуют, энстрофия растет неограниченно (в рамках линейной теории), однако диссипативные факторы (вязкость и термодиффузия) модифицируют этот рост и делают его только транзиентным (врéменным), так что в конце концов возмущение затухает. Область возмущения растягивается вдоль направления течения, однако ее вертикального и горизонтального смещения как целого в рамках линейной теории не происходит, поскольку это нелинейные эффекты. Нелинейные эффекты рассмотрены нами в отдельной работе.

We study the combined effect of the shear flow velocity and its (stable) vertical stratification on the evolution of the three-dimensionally localized vortical disturbance induced by the initial temperature perturbation embedded at the initial time into a local region of the flow. Small geometric scales of perturbations compared to the characteristic scales of velocity and temperature variation of the background flow allow to consider vertical gradients of the horizontal velocity and temperature to be not dependent on the coordinates. Assuming a disturbance sufficiently weak, we use linear theory to calculate fields of vorticity and temperature. The problem is solved analytically using a three-dimensional Fourier transform of the basic set of equations and further transition to a Lagrange variables in the Fourier space. It is shown that the growth of the intensity of the vortex (a measure of which are enstrophy and circulation) is obliged to both stratification and shear. However, the character of this growth (monotonous or oscillating) depends on what of two factors dominates. In the case where the dissipation effects are negligible, enstrophy grows indefinitely (in the framework of the linear theory), but dissipative factors (viscosity and thermal diffusivity) modified this growth and make it only transient, so that eventually the perturbation decays. Perturbation domain stretches along the direction of flow, but its vertical and horizontal movement as a whole in the framework of the linear theory doesn’t occur, since it is the nonlinear effect. Nonlinear evolution of the vortex induced by temperature disturbance is considered in a separate paper.

 сдвиговое течение стратификация эволюция возмущений энстрофия циркуляция shear flow stratification evolution of disturbances enstrophy circulation

1.ВВЕДЕНИЕТечения, индуцированные эффектами плавучести, носят как естественный, так и техногенный характер. Примерами могут служить выбросы газов из заводских выхлопных труб, сброс сточных вод в реки, разливы нефти в океанах и т. д. Все эти течения включают две составляющие: первичное, фоновое, течение и вторичный поток, инжектированный в первичное течение, или возмущение, помещенное внутри первичной среды. Эффекты плавучести проявляются благодаря разнице в температурах или благодаря смешиванию разных жидкостей (например, океанические течения с различной соленостью). Согласно [Тернер, 1977], в случае, когда вторичный поток инжектируется непрерывно, течение классифицируется как плюм (plume - шлейф). В случае же, когда он инжектируется дискретно или периодически, течение называют «термиком» (thermal) или «плавучим возмущением» (buoyant disturbance). В данной работе мы будем говорить только о термиках (плавучих возмущениях). Мы будем рассматривать генерацию вихря как результат начальной разности температур (а не как прямое следствие переменности плотности). Примером может служить капля нагретой воды в воде комнатной температуры (но не капля соленой воды в пресной воде). Основной интерес исследователей вызывают такие характеристики термиков, как циркуляция скорости в них, высота подъема, геометрическая форма.В этой работе мы изучаем эволюцию трехмерно локализованного вихря в сдвиговом течении стратифицированной жидкости, генерированного начальным компактным возмущением температуры. Развитие такого вихря управляется двумя факторами: плавучестью и сдвигом скорости невозмущенного течения. Вихри, вызванные эффектом плавучести, изучались многими исследователями. Прекрасный обзор этих работ содержится в книге [Тернер, 1977]. Результаты более поздних исследований довольно подробно описаны в вводном разделе статьи [Weiss Tewner et al., 2015]. Отметим, что в основном изучалось поведение вихрей, вызванных эффектом плавучести, в покоящейся среде или в движущейся среде, но без сдвига скорости. Вопрос о совместном влиянии стратификации и сдвига скорости (шира) на динамику вихря до сих пор изучен недостаточно. Настоящая работа является попыткой восполнить этот пробел. Мы ограничиваемся случаем достаточно слабых возмущений и будем использовать только линейную теорию. Более общий случай нелинейного развития вихря при наличии плавучести и шира рассмотрен нами в статье [Weiss Tewner et al., 2015].____________________________________________________________________________________________* На английском языке статья опубликована в журнале "Physics of Fluids". 2015. V. 27. 024103. На русском языке публикуется впервые по лицензии издательства AIP Publishing LLC.Reprinted with permission from Ilia G. Shukhman, Shoshana Weiss Tewner and Jacob Cohen, Vortical disturbances in a linearly stratified linear shear flow. I. Linear theory. Physics of Fluids, 27, 024103 (2015). © 2015, AIP Publishing LLC.

Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Физматгиз, 1963. 1100 с. Abramowitz M., Stegun I.A. (eds.) Spravochnik po spetsial′nym funktsiyam s formulami, grafikami u matema-ticheskimi tablitsami. [Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs and Mathematical Tables]. Мoscow, Nauka Publ., 1979, 832 p. (in Russian). (English edition: Abramowitz M., Stegun I.A. (eds.) Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs and Mathematical Tables. US National Bureau of Standards, Applied Mathematics Series, 1964, 1046 p.) Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и математическими таблицами / Под ред. М. Абра-мовиц, И. Стиган. М.: Наука, 1979. 832 с. Alon G., Philip J., Cohen J. The development of a buoyant vortex in stationary and plane stagnation flows. European Journal of Mechanics B/Fluids. 2011, vol. 30, pp. 288-298. DOI: 10.1016/j.euromechflu.2011.02.001 Тёрнер Дж. Эффекты плавучести в жидкостях. М.: Мир, 1977. 432 с. Bayly B.J. Three-dimensional instability of elliptical flow. Phys. Rev. Lett. 1986, vol. 57, pp. 2160-2163. DOI: 10.1103/ PhysRevLett.57.2160. Шухман И.Г. Эволюция локализованного вихря в вязком эллиптическом течении // Исследовано в России. 2006. № 254. С. 2438-2462. Режим доступа: http://www.sci-journal/articles/2006/254.pdf (дата обращения 03.04.2015). Cohen J., Shukhman I.G., Karp M., Philip J. An analytical-based method for studying the nonlinear evolution of localized vortices in planar homogenous shear flows. J. Comp. Phys. 2010, vol. 229, pp. 7765-7773. DOI: 10.1016/j.jcp.2010.06.035. Шухман И.Г. Эволюция локализованного вихря в вязком течении с гиперболическими линиями тока // Исследовано в России. 2007. № 1. С. 1-26. Режим доступа: http://www.sci-journal/articles/2007/001.pdf (дата обращения 02.04.2015). Craik A.D.D. The stability of unbounded two- and three-dimensional flows subject to body forces: Some exact solutions. J. Fluid Mech. 1989, vol. 198, pp. 275-292. DOI: 10.1017/ S0022112089000133. Шухман И.Г., Левинский В.Б. Эволюция трехмерно локализованных вихрей в сдвиговых течениях. Линейная стадия // Исследовано в России. 2003. № 6. С. 47-87. Режим доступа: http://www.sci-journal/articles/2003/006.pdf (дата обращения 01.04.2015). (На английском языке статья доступна на сайте: http://arxiv.org/abs/physics/0212101 (дата обращения 01.04.2015)). Craik A.D.D., Allen H.R. The stability of three-dimensional time-periodic flows with spatially uniform strain rates. J. Fluid Mech. 1992, vol. 234, pp. 613-627. DOI: 10.1017/S0022112092000934. Шухман И.Г., Левинский В.Б. О формировании шпилькообразного вихря в вязком круговом сдвиговом течении // Исследовано в России. 2004. № 4. С. 23-50. Режим доступа: http://www.sci-journal/articles/2004/004.pdf (дата обращения 02.04.2015). Craik A.D.D., Criminale W.O. Evolution of wavelike disturbance in shear flows: A class of exact solutions of Navier-Stokes equations. Proc. R. Soc. Lond. A. 1986, vol. 406, pp. 13-26. DOI: 10.1098/rspa.1986.0061. Alon G., Philip J., Cohen J. The development of a buoyant vortex in stationary and plane stagnation flows // Europ. J. Mechanics B/Fluids. 2011. V. 30. P. 288-298. Farrell B.F., Ioannou P.J. Optimal excitation of three-dimensional perturbations in viscous constant shear flow. Phys. Fluids A. 1993, vol. 5, no. 6, pp. 1390-1400. DOI: 10.1063/ 1.858574. Bayly B.J. Three-dimensional instability of elliptical flow // Phys. Rev. Lett. 1986. V. 57. P. 2160-2163. Gradshteyn I.S., Ryzhik I.M. Tablitsy integralov, summ, ryadov i proizvedenii. [Tables of Integrals, Sums, Series, and Products]. Moscow, Fizmatgiz Publ., 1963, 1100 p. (in Russian). (English edition: Gradshteyn I.S., Ryzhik I.M. Tables of Integrals, Sums, Series, and Products. 7 Edition, Academic Press, Elsevier Inc., 2007, 1171 p.). Shukhman I.G., Cohen J., Karp M., Philip J. An analytical-based method for studying the nonlinear evolution of localized vortices in planar homogenous shear flows // J. Comp. Phys. 2010. V. 229. P. 7765-7773. Lagnado R.R., Phan-Thien N., Leal L.G. The stability of two-dimensional linear flows. Phys. Fluids. 1984, vol. 27, pp. 1094-1101. DOI: 10.1063/1.864755. Craik A.D.D. The stability of unbounded two- and three-dimensional flows subject to body forces: Some exact solutions // J. Fluid Mech. 1989. V. 198. P. 275-292. Majda A.J., Shefter M.G. Elementary stratifed flows with instability at large Richardson number. J. Fluid Mech. 1998. vol. 376, pp. 319-350. DOI: 10.1017/S0022112098003085. Craik A.D.D., Allen H.R. The stability of three-dimensional time-periodic flows with spatially uniform strain rates // J. Fluid Mech. 1992. V. 234. P. 613-627. Shariff K., Leonard A. Vortex rings. Annu. Rev. Fluid Mech. 1992, vol. 24, pp. 235-279. DOI: 10.1146/annurev. fl.24.010192.001315. Craik A.D.D., Criminale W.O. Evolution of wavelike disturbance in shear flows: A class of exact solutions of Navier-Stokes equations // Proc. R. Soc. Lond. A. 1986. V. 406. P. 13-26. Shukhman I.G. Evolution of a localized vortex in plane nonparallel viscous flows with constant velocity shear. I: Hyperbolic flow. Phys. Fluids. 2006, vol. 18, 097101. DOI: 10.1063/1.2337319. Farrell B.F., Ioannou P.J. Optimal excitation of three-dimensional perturbations in viscous constant shear flow // Phys. Fluids A. 1993. V. 5, N 6. P. 1390-1400. Shukhman I.G. Evolution of localized vortex in viscous flow with elliptic streamlines, Issledovano v Rossii [Investigated in Russia]. 2006, no. 254, pp. 2438-2462. Available at: http://www.sci-journal/articles/2006/254.pdf (accessed 03.04.2015) (in Russian). Lagnado R. R., Phan-Thien N., Leal L.G. The stability of two-dimensional linear flows // Phys. Fluids. 1984. V. 27. P. 1094-1101. Shukhman I.G. Evolution of a localized vortex in plane nonparallel viscous flows with constant velocity shear. II: Elliptic flow. Phys. Fluids. 2007, vol. 19, 017106. DOI: 10.1063/1.2424678. Majda A.J., Shefter M.G. Elementary stratifed flows with instability at large Richardson number // J. Fluid Mech. 1998. V. 376. P. 319-350. Shukhman I.G. Evolution of localized vortex in viscous flow with hyperbolic streamlines, Issledovano v Rossii [Investigated in Russia]. 2007, no. 1, pp. 1-26. Available at: http://www.sci-journal/articles/2007/001.pdf (accessed 02.04. 2015) (in Russian). Shariff K., Leonard A. Vortex rings // Annu. Rev. Fluid Mech. 1992. V. 24. P. 235-279. Shukhman I.G., Levinski V.B. Evolution of three-dimensional localized vortices in shear layers. Linear stage, Issledovano v Rossii [Investigated in Russia]. 2003, no. 6, pp. 47-87. Available at: http://www.sci-journal/articles/2003/ 006.pdf (accessed 01.04.2015) (in Russian). (English version available at: http://arxiv.org/abs/physics/0212101 (accessed 01.04.2015)). Shukhman I.G. Evolution of a localized vortex in plane nonparallel viscous flows with constant velocity shear. I: Hyperbolic flow // Phys. Fluids. 2006. V. 18. 097101. Shukhman I.G., Levinski V.B. On the formation of hairpin vortex in viscous circular shear layer, Issledovano v Rossii [Investigated in Russia]. 2004, no. 4, pp. 23-50. Available at: http://www.sci-journal/articles/2004/004.pdf (accessed 02. 04.2015) (in Russian). Shukhman I.G. Evolution of a localized vortex in plane nonparallel viscous flows with constant velocity shear. II: Elliptic flow // Phys. Fluids. 2007. V. 19. 017106. Shukhman I.G., Levinski V.B. Temporal evolution of a localized weak vortex in viscous circular shear flows. Phys. Fluids. 2005, vol. 17, 017104. DOI: 10.1063/1.1828125. Shukhman I.G., Levinski V.B. Temporal evolution of a localized weak vortex in viscous circular shear flows // Phys. Fluids. 2005. V. 17. 017104. Suponitsky V., Cohen J., Bar-Yoseph P.Z. The generation of streaks and hairpin vortices from a localized vortex embedded in unbounded uniform shear flow. J. Fluid Mech. 2005, vol. 535, pp. 65-100. DOI: 10.1017/S0022112005004453. Suponitsky V., Cohen J., Bar-Yoseph P.Z. The generation of streaks and hairpin vortices from a localized vortex embedded in unbounded uniform shear flow // J. Fluid Mech. 2005. V. 535. P. 65-100. Thomson W. (Kelvin Lord) Stability of fluid motion: Rectilinear motion of viscous fluid between two parallel plates. Phil. Mag. 1887, vol. 24, no. 147, pp. 188-196. DOI:10.1080/14786448708628078. Thomson W. (Kelvin Lord) Stability of fluid motion: Rectilinear motion of viscous fluid between two parallel plates // Phil. Mag. 1887. V. 24, N 5. P. 188-196. Turner J.S. Effekty plavuchesti v zhidkosyah. [Buoyancy Effects in Fluids]. Moscow, Mir Publ., 1977, 432 p. (in Russian). (English edition: Turner J.S. Buoyancy Effects in Fluids. Cambridge Univesity Press, 1973, 367 p.). Weiss Tewner S., Cohen J., Shukhman I.G. Vortical disturbances in linearly stratified shear flow. II. Nonlinear evolution // Phys. Fluids. 2015. V. 27. 024104. Weiss Tewner S., Cohen J., Shukhman I.G. Vortical Disturbances in linearly stratified shear flow. II. Nonlinear evolution. Phys. Fluids. 2015, vol. 27, 024104. DOI: 10.1063/ 1.4907187.