1. Введение.Определение целесообразных вариантов ассортимента и объемов производимой продукции является одной из важнейших задач управления предприятиями [1−4]. При этом в условиях рыночной экономики возникает задача учета случайного характера рыночного спроса на производимую продукцию и упущенной выгоды при ее возможном дефиците. Особенно острый характер эта задача приобретает при управлении предприятиями, ориентированными на мелкосерийное производство [5−10]. Эффективным инструментом ее решения в современных условиях цифровизации процессов управления является использование соответствующих математических моделей. Вместе с тем в известных в настоящее время системах поддержки принятия решений по формированию производственных программ и товарных стратегий предприятий, как правило, используются различные варианты детерминированных моделей оптимизации параметрических рядов их продукции, что не позволяет адекватно учитывать ни случайный характер рыночного спроса на производимую продукцию, ни упущенную выгоду при ее возможном дефиците. Этот пробел в части учета случайного характера рыночного спроса был устранен в работе [11]. Комплексный же учет этих факторов в моделях поддержки принятия решений по формированию производственных программ  и товарных стратегий предприятий составляет цель настоящей статьи, которая является дальнейшим развитием методического подхода, предложенного авторами в [11]. 2. Формализация задачи В общем случае рассматриваемую задачу формирования оптимальных параметрических рядов производимой предприятиями продукции можно представить следующим образом. Задан ряд изделий (типов продукции предприятия) с некоторыми параметрами U1<U2<…<Un. Эти изделия являются частично взаимозаменяемыми: изделие с меньшим значением соответствующего параметра может быть заменено изделием с большим значением этого параметра. Будем полагать, что объемы потребностей ξj (j= ) в изделиях с параметром Uj (j= ) могут быть представлены в виде случайных величин, распределённых по закону Пуассона и  характеризуются математическими ожиданиями спроса bj  (j= ). Величины ξj и ξi (i,j= , i≠j) предполагаются независимыми.Стоимость изделий j–го типа, которые обеспечивают потребности в изделиях i+1, i+2,…,j-1, j–го типа, определяется выражением                                                                                (1)где  − стоимость разработки изделия j–го типа;cj − стоимость производства и эксплуатации единицы изделия j–го типа; − количество изделий j–го типа, которые обеспечивают потребности в изделиях (i+1, i+2,…,j-1, j) – го типа. При этом предполагается, что cj<cj+1, j=1,2,…,n-1 (n – количество типов изделий) и заявка на изделие k–го типа  удовлетворяется сразу же по мере ее появления за счет изделий j–го типа.Средняя упущенная выгода при нехватке одного изделия j–го типа находится по формуле ,                                                                                       (2)где – упущенная выгода при нехватке одного изделия k–того типа; − вероятность того, что дефицит изделий j–го типа, которые обеспечивают потребности в изделиях i+1, i+2,…,j-1, j –го типа, произойдет из-за спроса в изделиях k–го типа . С учетом случайного характера величины спроса суммарные затраты определяются выражением                                   (3)где  − математическое ожидание величины спроса в изделиях j–го типа, обеспечивающих потребности в изделиях i+1, i+2,…,j-1, j–го типа; − математическое ожидание дефицита в изделиях j–го типа; bk  − математическое ожидание спроса в изделиях k–го типа.При увеличении количества изделий xij уменьшается составляющая, связанная с упущенной выгодой вследствие дефицита изделий  j–го типа (которая представляется как условный штраф за дефицит), и увеличивается составляющая затрат, связанная с производством и эксплуатацией изделий.Оптимальное количество изделий  может быть определено из следующих неравенств, полученных на основе маргинального анализа:                                                                              (4)                                                                           (5)где  – математическое ожидание упущенной выгоды вследствие дефицита при обеспечении изделиями j–го типа потребностей в изделиях i+1, i+2,…, j-1,j–го типа.Физический смысл неравенства (4) заключается в том, что оно показывает, что увеличение количества изделий  на единицу является целесообразным, так как при этом величина уменьшения упущенной выгоды при дефиците изделия j–го типа превышает стоимость этого изделия.Из неравенства (5) следует, что дальнейшее увеличение количества изделий j–го типа сверх величины  не приводит к уменьшению суммарных затрат.При использовании неравенств (4), (5) предполагается, что выполняется условие , т.е. упущенная выгода при дефиците изделий j–го типа превышает суммарные затраты при оптимальном количестве изделий .Определив с помощью неравенств (4), (5) оптимальное количество изделий (i=0,1,…,j-1,j=1,2,…,n) и рассчитав по формуле (3) суммарные затраты , задачу выбора оптимального параметрического ряда можно свести к простейшей задаче динамического программирования.Сущность этой задачи заключается в определении кратчайшего пути в линейном графе из исходной нулевой вершины в конечную n–ю вершину. Особенность графа заключается в том, что каждая последующая вершина соединена дугами со всеми предыдущими. Для решения данной задачи используется рекуррентное выражение ,      (6)где fj – минимальные суммарные затраты, связанные с обеспечением потребностей в изделиях первого, второго, j‑го типов .Перед решением уравнения (6) с помощью неравенств (4), (5) определяется оптимальное количество изделий каждого типа (i=0,1,…,j-1,j, j=1,2,…,n). Для определения значений  неравенства (4), (5) могут быть преобразованы к более удобному для практических расчетов виду                                                                                              (7)                                                                                            (8)Зависимости в левой части неравенств (7) и (8) являются табличными функциями, что значительно упрощает процесс определения значений . 3. Пример.Проиллюстрируем процесс решения уравнения (5) на численном примере, исходные данные для которого приведены в табл. 1.  Таблица 1j12345 1215152020 235810 203040100200 24321 Последовательно рассчитываем при всех значениях i=1,2,…,j-1, j=1,2,…,5 величины средней упущенной выгоды при дефиците одного изделия , оптимальное количество изделий , стоимость , упущенную выгоду и суммарные затраты . Например, при i=2, i=4   находим среднюю упущенную выгоду при дефиците .Определив , с помощью неравенств (7), (8) находим оптимальное количество изделий , так как    a24=b3+b4=5.По формулам (1), (2) рассчитываем   Аналогичным образом выполняются расчеты при всех возможных значениях i=1,2,…,j-1; j=1,2,…,5.Результаты расчетов представлены в табл. 2.Таблица 2ij 0120420222022794244603311275984044414132161480557151802320312307362381335106571721449121161413015641316021181234054054524648848922587912014134341004528603513369079745200360666      Следовательно, кратчайший путь в графе – тот, которому соответствуют вершины 0-2-5. Длина кратчайшего пути f5=180 определяет минимальные суммарные затраты. Следовательно, в оптимальный параметрический ряд продукции входят второе и пятое изделия .Таким образом, задача выбора оптимального одномерного параметрического ряда производимой предприятием продукции при случайном характере спроса и заданной величине упущенной выгоды при дефиците изделий может быть сведена к задаче определения кратчайшего пути в графе и может быть решена на основе метода динамического программирования [12−14]. В целом же рассмотренный подход к построению моделей задач формирования оптимальных параметрических рядов продукции предприятия с учетом случайного характера рыночного спроса и заданных значениях упущенной выгоды при дефиците изделий может служить основой для разработки соответствующих подсистем поддержки принятия решений по формированию производственных программ и товарных стратегий в системах управления конкретных предприятий.