Введение.Важнейшим принципом управления предприятием в условиях рыночной экономики является обеспечение соответствия объемов производства товаров спросу на них. В интересах его реализации все процессы, связанные с производством и доведением товаров до конечных потребителей, должны организовываться на основе детального анализа спроса. При этом спрос состоит в обеспеченном финансовыми возможностями желании потребителей приобрести определенные объемы рассматриваемых товаров. В этих условиях успешность функционирования предприятия в существенной мере зависит от его своевременной и адекватной реакции на изменение спроса. Поэтому прогнозирование спроса является одной из важнейших задач формирования производственной программы предприятия [1–4, 38]. Эффективным инструментом такого прогнозирования является использование математических моделей. При этом качество моделей определяется возможностью учета существенных для формирования спроса факторов [5-8]. Одним из таких факторов, определяющих динамику спроса, является моральное старение производимых товаров. Особенно остро влияние этого фактора проявляется для предприятий с крупносерийной и массовой организацией производства тех или иных товаров. Разработка варианта модели прогнозирования начала процесса морального старения таких товаров составляет цель настоящей статьи.Материалы и методы. Моральное старение производимых товаров проявляется в угрозе снижении спроса на них вследствие появления на рынке конкурирующих товаров с более привлекательными для потребителей характеристиками. Множество этих характеристик формально представляется соответствующим вектором [9 - 12]. Вместе с тем проблема векторного сравнения товаров разрешима только для случая, когда характеристики одного из них доминируют над характеристиками другого. Однако конкурирующий товар может оказаться более предпочтительным и в случаях отсутствия полного доминирования его характеристик. Учет этого обстоятельства приводит к необходимости скаляризации векторов характеристик рассматриваемых товаров. Их скаляризация обеспечивает получение обобщенных, сравнимых между собой показателей привлекательности товаров [13-16]. При этом обоснование необходимости учета морального старения продукции предприятий в используемых при формировании производственных планов предприятия, моделях динамики потребительского спроса сводится к определению момента времени, начиная с которого возникает угроза вытеснения с рынка производимого товара конкурирующим с более привлекательными для потребителей характеристиками. Можно выделить детерминистический и стохастический подходы к прогнозу возникновения этой угрозы. Детерминистический опирается на построение дифференциальных или разностных уравнений динамики характеристик рассматриваемых товаров. Вариант такой модели предложен в [17]. Вместе с тем совершенствование характеристик товара опирается на достижения науки, техники и технологий и носит недетерминированный характер. Поэтому стохастический подход более адекватен реальному процессу. Его реализация заключается в построении функции распределения времени, начиная с которого возникает угроза вытеснения конкурирующим товаром товара, производимого предприятием. Таким образом, обоснование необходимости учета морального старения в модели динамики потребительского спроса на продукцию предприятия включает два этапа. На первом этапе для вектора характеристик потребительских свойств товаров формируется обобщенный скалярный показатель их качества и критерий возникновения угрозы вытеснения производимого товара с рынка, вследствие появления конкурирующего товара с более предпочтительными потребительскими свойствами. На втором этапе с учетом динамики изменения обобщенного показателя качества определяются вид и параметры функции распределения времени возникновения указанной угрозы.3. Методический подход к скаляризации векторов характеристик товаров.С математической точки зрения каждый товар может быть представлен в виде вектора его характеристик. Производимый предприятием товар будем характеризовать вектором ,                                                                       (1)где  - значение k-го показателя качества товара в момент времени t0;K – общее количество частных показателей, характеризующих товар.Конкурирующий товар будем характеризовать вектором ,                                                                       (2)где  - момент времени, начиная с которого конкурирующий товар создает угрозу снижения спроса на производимый предприятием товар.Естественно полагать, что такая угроза возникает, когда отношение предельной полезности производимого предприятием товара  к его цене  становится ниже, чем отношение предельной полезности конкурирующего товара  к цене , т.е. .                                                                                                (3)Условие (3) выполняется, если обобщенный скалярный показатель вектора характеристик конкурирующего товара удовлетворяет условию ,                                                                                              (4)где      - обобщенный скалярный показатель вектора характеристик производимого предприятием товара;  - эмпирический коэффициент.При  условие (4) характеризует нижнюю границу времени, начиная с которого конкурирующий товар создает угрозу снижения спроса на производимый предприятием товар.Обобщенные скалярные показатели для этих товаров могут быть получены на основе аддитивной свертки векторов (1), (2). Конкретный Вид функций , зависит от способа моделирования вклада каждого частного показателя в обобщенный. При этом для решения рассматриваемой задачи целесообразно использовать функции аддитивного вида: ,                                                               (5) ,                                                                (6)где –оценка k – го (k=1, 2, … ,K) компонента вектора показателей качества товара, приведенная к единой шкале;Pk- коэффициент, определяющий относительную важность соответствующей частной характеристики товара с позиций его предельной полезности. Методические подходы к определению подобных коэффициентов представлены в работах [18 - 20].Для определения оценок    целесообразно выбрать некоторый эталонный товар. В качестве такого эталона можно использовать некоторый условный товар, с наибольшими значениями частных характеристик, т.е. .                                                      (7)При этом каждый из рассматриваемых видов товаров по отношению к принятому за эталон может быть количественно охарактеризован значениями отношений ,                                                                     (8) .                                                                      (9)Введем параметры  такие, что  Тогда рассматриваемые товары могут быть охарактеризовано величинами , определяемыми соотношениями                                                        (10)                                                         (11)Такой способ приведения показателей качества товаров к единой шкале обеспечивает, во-первых, безразмерность обобщенных показателей товаров и, во-вторых, выполнение условий , .                                                                        (12)В рамках рассматриваемого подхода коэффициенты, характеризующие относительную важность соответствующих частных характеристик товаров с позиций их предельной полезности, могут быть определены на основе точечных оценок Фишберна [21].Для их определения будем полагать, что компоненты векторов (1), (2) пронумерованы в порядке убывания их влияния на предельную полезность товаров. При этом имеет место соотношение .                                                                                             (13Тогда искомые коэффициенты определяются соотношением [22, 23]                                                     (14)Таким образом, определены все параметры, входящие в соотношения (5), (6).Дальнейшая задача состоит в построении модели для прогноза значения момента времени , обеспечивающего выполнение условия (4).4. Прогнозирование времени возникновения угрозы вытеснения производимого товара с рынкаВремя , начиная с которого обеспечивается выполнение условия (4), отражает момент возникновения угрозы вытеснения конкурирующим товаром товара, производимого предприятием. При этом промежуток времени                                                                                                          (15)до появления на рынке соответствующего конкурирующего товара зависит от целого ряда недетерминированных факторов научного, технического, технологического, экономического и даже политического характера [24 - 32]. При этом формально он может рассматриваться как непрерывная случайная величина. Информация, имеющаяся для характеризации функции ее распределения, как правило, исчерпывается знанием статистической оценки  ее математического ожидания. Следовательно, исходя из принципа максимума неопределенности [33 - 36], целесообразно полагать, что величина T распределена по экспоненциальному закону с параметром : .                                                                                                  (16)Вследствие ограниченности выборки для определения , эту величину также можно полагать случайной с плотностью распределения .                                                                                                   (17)Характеристическая функция экспоненциального распределения (16) имеет вид ,                                                                                               (18)где  - мнимая единица.Следовательно, с учетом (17) характеристическая функция безусловного распределения случайной величины T определяется соотношением                                                                                (19)Используя табличный интеграл [37, с. 332], из (19) получим .                                                                                                      (20)На основе формулы обращения из (20) следует плотность безусловного распределения случайной величины T: .                                                    (21) Откуда, используя табличный интеграл [37, с. 354], окончательно получаем ,                                                                                          (22)где  - модифицированная функция Бесселя третьего порядка.Соотношение (22) представляет собой плотность распределения промежутка времени T до появления на рынке конкурирующего товара, угрожающего вытеснению товара, производимого предприятием. С учетом (22) вероятность того, что величина этого промежутка не превысит некоторое значение T* определяется соотношением .                                                                           (23)Соотношение (23) с учетом (15) также определяет вероятность события, состоящего в том, что к моменту времени  на рынке появится конкурирующий товар, способный вытеснить товар, производимый предприятием.5. Заключение.Одним из существенных факторов, ведущих к снижению конкурентоспособности товаров, является их моральное старение. Учет этого фактора при формировании производственной программы предприятия является важным условием ее обоснованности. Предложенный в статье подход к учету морального старения производимой предприятием продукции позволяет достаточно полно использовать доступную на этапе разработки указанной программы информацию о возможных угрозах снижения спроса на эту продукцию, связанных с появлением конкурирующих товаров. Тем самым создаются условия для своевременной корректировки соответствующих планов модернизации, диверсификации, инновационного развития и обеспечения устойчивости предприятия в условиях рыночной конкуренции.