доктор технических наук;
doctor of technical sciences;
Рассматривается геометрическая интерпретация кватернионов, сложность визуализации которых обусловлена тем, что эти объекты имеют четыре независимых параметра. Анализ литературы показывает, что проблема геометрической интерпретации кватернионов до настоящего времени полностью не решена. В первом разделе приводятся общие положения о кватернионах и необходимые обозначения. Во втором разделе описывается классическая геометрическая интерпретация кватернионов дугами на сфере. В третьем разделе приводится описание новой геометрической интерпретации и ее приложение к задаче конечного поворота вектора. Представлена геометрическая интерпретация кватерниона как поверхности прямого кругового конуса позволяет наглядно продемонстрировать его как целостный объект в котором скалярная и векторная части взаимосвязаны с учетом их модулей и знаков. Для рассмотренных примеров нормированного кватерниона наглядным становится образ важной сущности - верзора кватерниона: в общем случае – это конус, который в предельном случае скаляр-кватерниона переходит в сферу, а в предельном случае вектора-кватерниона переходит в обычный вектор. Эта отличительная особенность предлагаемой геометрической интерпретации позволяет даже при проецировании на плоскость четко отличать образы кватернионов с ненулевой скалярной частью от векторов-кватернионов, что затруднительно сделать в случае дуговой интерпретации. Представление кватернионов конусами наглядно продемонстрировать необходимость двойного кватернионного произведения, при повороте вектора вокруг произвольной оси. Образы кватернионов как конусов, сфер и векторов могут быть полезными при изучении алгебры кватернионов, которая в настоящее время находит все большее применение в технике.
The geometric interpretation of quaternions is considered. The visualization complexity of quaternions is due to the fact that these objects have four independent parameters. A literature analysis shows that the problem of geometric interpretation of quaternions has not been completely solved to date. The first section provides general provisions on quaternions and the necessary notations. The second section describes the classical geometric interpretation of quaternions by arcs on a unit sphere. The third section describes a new geometric interpretation and its application to the problem of a vector finite rotation. The geometric interpretation of the quaternion as the surface of a right circular cone is presented. This representation allow demonstrating it as a holistic object in which the scalar and vector parts are interconnected, taking into account their modules and signs. For the considered normalized quaternion, it is easy to understanding an important entity, the quaternion versor: in general, it is a cone, which in the limiting case of a pure scalar quaternion transform into a sphere, and in the limiting case of a pure vector quaternion transform into an ordinary vector. This distinctive feature of the proposed geometric interpretation makes it possible, even when projected onto a plane, to clearly distinguish visualization of the quaternions with a nonzero scalar part from pure vector quaternions, which is difficult to do in the other known interpretations. The representation of quaternions by cones clearly demonstrates the need for a double quaternion product, when the vector is rotated around an arbitrary axis. Images of quaternions as cones, spheres and vectors can be useful in the study of quaternion algebra, which is currently finding increasing use in engineering.