ВведениеОтечественное машиностроение характеризуется ростом избыточного разнообразия составных частей (СЧ) выпускаемых изделий, технологических процессов, средств технологического обеспечения [1]. Для уменьшения избыточности широко применяются методы унификации, групповые и типовые технологические процессы. Эффективность этих инструментов не достаточна для решения задачи обеспечения конкурентоспособности отечественного машиностроения [1]. Кроме того, в настоящее время основным трендом совершенствования промышленного производства считается его цифровая трансформация [2]. Россия отстает в сфере важнейших наукоемких технологий с постепенной потерей основ конкурентоспособности [3].В [4 – 6] для уменьшения избыточного разнообразия изделий и компонентов производства, а также для решения задач, связанных с цифровизацией, предлагается представлять изделия структурированным множеством модулей. Конструкция изделия (КИ) представляется в виде системы модулей групп деталей. Для детали используется описание в виде системы модулей поверхностей (МП). Если все детали изделия «… заместить совокупностями МП, то КИ можно представить множеством МП». Для описания модульного строения КИ используется граф иерархической структуры [4]. Данный подход может служить целям уменьшения разнообразия компонентов производства и одним из направлений совершенствования их описания с целью повышения эффективности цифровой модернизации. Модули поверхностей, приведенные в [1], выделены из геометрии СЧ с позиций технологии их изготовления. Они не приспособлены к формированию новой конструкции.Неуправляемый рост избыточности связан с тем, что управлять ей обычно начинают только после разработки изделий. Об этом говорил профессор Н.Г. Домбровский в работе [7]. В [8] отмечено, что повышение технологичности, ремонтопригодности и уровня унификации машин зависит от совершенства структуры изделия, которая в значительной мере, предопределяется методами конструирования. Таким образом, возможности эффективного управления разнообразием изделий, их СЧ и средств технологического обеспечения закладываются в КИ на этапе разработки. Используемый при этом метод конструирования должен позволять разрабатывать кастомизированные изделия с низкими затратами на производство единицы продукции и соответствовать задачам цифровой трансформации. Целью данной статьи является рассмотрение основных инструментов конструирования, которые позволят приблизиться к решению «главной задачи конструктора при внутреннем проектировании – придумать конструкцию» [9].Материалы и методыМетод группового проектирования изделий. Метод разработки семейств унифицированных изделий появился как средство решения задачи унификации выпускаемой продукции [10 – 14] под названием групповое проектирование изделий [15]. Он используется и под другими наименованиями: метод агрегатирования [7, 14], метод базового изделия [10], модульное конструирование [10 – 13], проектирование семейств изделий (product family engineering). Число форм проявления группового проектирования продолжает увеличиваться, например, в лице «платформенно-модульного подхода» к разработке робототехнических комплексов [16]. Распространение группового подхода не только на производство и проектирование, но и остальные этапы жизненного цикла изделий привело к пониманию неизбежности появления групповой технологии создания семейств изделий [17]. Зарубежные коллеги существенно опережают нас в ее применении [18].Объектом группового проектирования является группа, семейство изделий. В результате проектирования создается унифицированная элементная база (ЭБ) составных частей изделий и методика синтеза на ее основе конечной продукции. Элементная база семейства имеет минимальную номенклатуру СЧ, обеспечивающую требуемое разнообразие конечной продукции. Одним из основных признаков, позволяющих установить является ли группа однородной продукции семейством, служит сходство их СЧ. В [19] предложено считать, что группа изделий является семейством, если они состоят из унифицированных СЧ.Приспособленность компонента ЭБ к многократному применению в разных изделиях семейства, в том числе и в соединении с разными СЧ, обусловлена особенностями той части его конструкции, которой он обменивается потоками энергии, вещества и сигналов с присоединенным к нему объектом. Эта часть конструкции компонента в [20] названа элементом сопряжения, а позднее получила название узла сопряжения. Узел сопряжения – базовое конструкторское понятие. Совокупность узлов сопряжения – основа для формирования КИ. Выделение узла сопряжения, как первичного элемента конструкции, позволяет определить основные причины избыточного разнообразия СЧ [19], строить структурные модели, более точно отражающие строение изделий, решать задачи структурного синтеза [21], создавать КИ [19]. Понятие узел сопряжения используется не только при разработке одного или группы изделий, но и при проектировании фрагментов СЧ. В работе [22] показан пример использования узлов сопряжения при конструировании кинематических пар, при этом, кроме понятия узел сопряжения, использовались матрицы подвижностей кинематических пар. Таким образом, при использовании группового проектирования удалось выявить основу любой конструкции в лице узла сопряжения. В дополнении к этому теория механизмов и машин предоставила конструктору еще один инструмент разработки – матрицу подвижностей.Основные инструменты конструированияПервый этап процесса разработки технического устройства заключается в определении его принципа действия, второй – связан с созданием КИ. Для механизмов и машин принцип действия принято оформлять в виде кинематической схемы.Основные инструменты, которые используются при разработке изделий машиностроения:1. Матрицы подвижностей, структурные уравнения в матричной и алгебраической форме.Структурное уравнение в матричной форме, приведенное в [23], имеет вид:〖WQ〗_m=W_(m-1)+W_(M(m-1))^u+H_Ʃm-W_Mm^u-W_Mm-F,             (1)где 〖WQ〗_m – матрица структурных свойств (подвижностей и избыточных связей) кинематической цепи, полученной формированием m-го замкнутого контура, она содержит описание подвижностей всего механизма, полученного замыканием всех контуров начиная с первого, включая контур с номером m, и избыточных связей, возникших только в контуре под номером m; W_(m-1) – матрица общих подвижностей начального механизма, входящего в замкнутый контур под номером m, которая содержит подвижности всего начального механизма, полученного замыканием всех контуров начиная с первого, включая и контур с номером (m-1); H_Ʃm=∑_(i=1)^(p^m)▒H_i  – суммарная матрица подвижностей в кинематических парах, образованных вновь введенными СЧ при формировании замкнутого контура под номером m; H_i=|■(t_x&r_x@t_y&r_y@t_z&r_z )| – матрица подвижностей i-ой кинематической пары, где t_x, t_y, t_z – переменные, равные 1 при наличии поступательных подвижностей (движений) вдоль осей X, Y, Z и 0 в противном случае; r_x, r_y, r_z – переменные, принимающие значение 1 при наличии вращательных подвижностей (движений) вокруг осей X, Y, Z и значение 0 в противном случае; 〖p^m=p〗_1+p_2+ p_3+p_4+ p_5 – число кинематических пар, образованных вновь введенными СЧ при формировании замкнутого контура под номером m, где p_1,p_2,p_3,p_4,p_5 – число кинематических пар разных классов; W_(M(m-1))^u – матрица местных подвижностей в составе начального механизма СЧ u, к которой будут присоединены СЧ, вновь вводимые при формировании m -го замкнутого контура механизма; W_Mm^u – матрица местных подвижностей СЧ u, к которой присоединены СЧ, введенные при формировании m-го замкнутого контура механизма (при образовании замкнутого контура таких СЧ может быть две);W_Mm=∑_(j=1)^(n_m)▒W_Mj  – суммарная матрица местных подвижностей СЧ, вновь введенных при формировании m-го замкнутого контура механизма; W_Mj=|■(w_M^tx&w_M^rx@w_M^ty&w_M^ry@w_M^tz&w_M^rz )| – матрица местных подвижностей j-ой СЧ, где w_M^tx, w_M^ty, w_M^tz – переменные, принимающие значение   при наличии независимых поступательных движений j-ой СЧ вдоль осей X, Y, Z и значение 0 в противном случае; w_M^rx, w_M^ry, w_M^rz – переменные, принимающие значение   при наличии независимых вращательных движений j-ой СЧ вокруг осей X, Y, Z и значение 0 в противном случае; n_m – число подвижных СЧ вновь введенных при формировании m-го замкнутого контура механизма; F=|■(1&1@1&1@1&1)| – единичная матрица свободного замыкания контура (матрица подвижностей свободного твердого тела); k=p-n – число независимых замкнутых контуров механизма, как разность общего числа его кинематических пар (p) и числа подвижных СЧ (n).2. Узлы сопряжения составной части, и производные от них объекты: узел сопряжения – совокупность фрагментов (точек, линий, поверхностей) СЧ, используемых для обмена материальными потоками с другим объектом при заданном их относительном положении (узлы сопряжения на взаимодействующих СЧ идентичны, рис. 1); геометрический элемент СЧ представляет собой геометрическое место всех положений узла сопряжения на ее поверхности, он формируется на основе узла сопряжения с использованием матрицы подвижностей [22], фрагмент геометрического тела СЧ, получаемый «наращиванием» толщины геометрического элемента достаточной для обеспечения требуемой прочности и жесткости создаваемого соединения; основные параметры геометрии узла сопряжения и геометрического элемента; структурные модели (графические и аналитические, см. рис. 1), учитывающие узлы сопряжения (геометрические элементы). Рис. 1. Изделие g=σ(e_1,e_2,e_3 ), его СЧ и модели, учитывающие узлы сопряженияFig. 1. Product g=σ(e_1,e_2,e_3 ), its SCH and models taking into account the mating nodesСостав изделия представляет собой множество входящих в него СЧ: состав (g)={e_1,e_2,⋯,e_n}. Связи изделия – это множество соединений (σ-соединитель), существующих между узлами сопряжения его СЧ: связи (g)=σ. Соединитель представляет собой граф связей вершин, соответствующих узлам сопряжения, и может быть представлен графически (см. рис. 1), матрицей смежности вершин графа (табл. 1), матрицей инцидентности вершин и ребер.Таблица 1Состав и соединитель изделия g=σ(e_1,e_2,e_3 ) (рис. 1)Table 1Composition and connector of the product g=σ(e_1,e_2,e_3 ) (fig. 1)состав(g)={e_1,e_2,e_3}    СЧ изделия    e_1    e_2    e_3        Узлы сопряжения    a_11    a_12    a_13    a_21    a_22    a_23    a_31    a_32    a_33        Исполнения узлов        -1    -3    3    -2        1    2        g=σ(e_1,e_2,e_3 )    e_1    a_11        0    0    0    0    0    0    0    0    0    =σ        a_12    -1    0    0    0    0    0    0    1    0    0            a_13    -3    0    0    0    1    0    0    0    0    0        e_2    a_21    3    0    0    1    0    0    0    0    0    0            a_22    -2    0    0    0    0    0    0    0    1    0            a_23        0    0    0    0    0    0    0    0    0        e_3    a_31    1    0    1    0    0    0    0    0    0    0            a_32    2    0    0    0    0    1    0    0    0    0            a_33        0    0    0    0    0    0    0    0    0    Изделие может быть представлено алгебраическим выражением вида: g=σ(e_1,e_2,⋯,e_n). По аналогии с изделием устройство составной части может быть показано, как конструкция, содержащая узлы сопряжения (геометрические элементы):e=σ^0 (a_1,a_2,⋯,a_r ), где соединитель σ^0 представляет собой пустой граф, не имеющий ребер (рис. 1, табл. 1).В качестве показателя исполнения узла (геометрического элемента) используется число или буквенный символ K: a_ij=K (уравнение исполнения узла сопряжения). Знак показателя исполнения определяется охватываемой (обозначается «-K») или охватывающей («+K» или «K») геометрией узла сопряжения или директивно. Узлы, обозначенные разными показателями K, отличаются геометрией. Для соединяемых узлов сопряжения выполняется уравнение соединения:a_ij+a_kl=0,                        (2)где в обозначении узла a_ij первый индекс, например, i – показывает номер СЧ, которой принадлежит данный узел, а второй индекс j – номер узла в составе ее узлов или номер СЧ присоединенной к этому узлу. Возможно только попарное соединение узлов сопряжения. Также используются уравнения унификации узлов: a_ij-a_kp=0.Единицы в табл. 1 показывают взаимодействующие узлы СЧ, для которых выполняется уравнение соединения (2).3. Модели промежутков между СЧ изделия. Способ моделирования изделий в компьютерных системах с использованием создания компьютерных моделей требуемых промежутков между СЧ изделия предложен в [24]. Основное назначение промежутков – формирование фрагментов конструкции, которые не могут быть определены узлами сопряжения.РезультатыУпоминаемые выше инструменты конструирования использовались автором для решения различных конструкторских задач. Узлы сопряжения и структурные модели применялись для разработки семейств изделий [19] и конструирования отдельных деталей [25]. Матрицы подвижностей – для корректировки кинематических схем механизмов с целью устранения избыточных связей [23, 26]. В данной работе инструменты используются для модернизации конструкции подвижного соединения (рис. 2) СЧ1, СЧ2 и СЧ3 (ось). Пример максимально упрощенный. В рассматриваемом примере узел сопряжения и полученный на его основе геометрический элемент совпадают, так как совпадает их геометрия. Это касается узлов сопряжения, осуществляющих взаимодействие СЧ друг с другом. На рисунках штриховыми линиями выделены узлы сопряжения (геометрические элементы) СЧ. Для упрощения рисунков в обозначениях СЧ и их узлов сопряжения опущены буквы, а используются, в основном, цифровые индексы. Буквами «П» обозначены модели промежутков. Промежутки разных СЧ могут пересекаться между собой. Узлы сопряжения a_1i и a_2j на рисунках не показаны. Рис. 2. Подвижное соединение, СЧ, узлы сопряжения, промежутки между СЧFig. 2. Movable joint, SCH, mating nodes, gaps between SCHМодели составных частей подвижного соединения, приведенного на рис. 2.e_1=σ_1^0 (a_12,a_13,a_1i )=    Состав (e_1 )    a_12=1Плоскости(Пл)    a_13=2Цилиндр(Ц)    a_1i=m    Узлы(видыузлов)    a_12=1    0    0    0    =σ_1^0    a_13=2    0    0    0        a_1i=m    0    0    0    e_2=σ_2^0 (a_21,a_23,a_2j )=    Состав(e_2 )    a_21=-1Пл    a_23=3Ц    a_2j=n    Узлы    a_21=-1    0    0    0    =σ_2^0    a_23=3    0    0    0        a_2j=n    0    0    0    e_3=σ_3^0 (a_31,a_32 )=    Состав(e_3 )     a_31=-2Ц    a_32=-3Ц    Узлы    a_31=-2    0    0    =σ_3^0    a_32=-3    0    0    Определение соединителя и узлов сопряжения сборочных единицСоединяя e_1  и e_2 получаем сборочную единицу с_12 (см. рис. 2): с_12=σ_12 (e_1,e_2 )==σ_12 (σ_1^0 (a_12,a_13,a_1i ),σ_2^0 (a_21,a_23,a_2j )). Состав (с_12 ) = Состав (e_1 )∪ Состав (e_2 ). Таблицы соединяемых СЧ объединяются в одну. Полученная расширенная таблица 2 первоначально заполняется нолями. Соединитель сборочной единицы с_12=σ_12 (e_1,e_2 ) получается путем заполнения единицами ячеек, определяемых узлами сопряжения, образующими соединения. Для этих узлов выполняется уравнение сборки (2). Вид уравнения: a_12+a_21=0. В нашем случае это две ячейки, расположенные симметрично относительно главной диагонали таблицы.Таблица 2Состав узлов сопряжения и соединитель сборочной единицы с_12Table 2Composition of mating units and connector of assembly unit с_12Состав (с_12 )    a_12=1    a_13=2    a_1i=m    a_21=-1    a_23=3    a_2j=n    Узлыa_12=1    0    0    0    1    0    0    =σ_12a_13=2    0    0    0    0    0    0    a_1i=m    0    0    0    0    0    0    a_21=-1    1    0    0    0    0    0    a_23=3    0    0    0    0    0    0    a_2j=n    0    0    0    0    0    0    Узлы сопряжения (a_12  и a_21), которые использованы для соединения СЧ (e_1  и e_2), больше не могут применяться для образования соединений. Удаляя из таблицы строки и столбцы, соответствующие ячейкам, в которых расположены единицы, получаем описание с_12=σ_12 (e_1,e_2 ) как компонента системы верхнего уровня, состоящего из узлов сопряжения с_12=σ_12^0 (a_13,a_1i,a_23,a_2j ) (табл. 3).Таблица 3Сборочная единица с_12 как черный ящикTable 3Assembly unit с_12 as a black boxСостав(с_12 )    a_13=2    a_1i=m    a_23=3    a_2j=n    Узлыa_13=2    0    0    0    0    =σ_12^0a_1i=m    0    0    0    0    a_23=3    0    0    0    0    a_2j=n    0    0    0    0    Соединив с_12 и e_3 (СЧ3) получим сборочную единицу с_123=σ_123 (с_12,e_3 ) (см. рис. 2).Состав узлов сопряжения и соединитель сборочной единицы с_123.Состав(с_123 )    a_13=2    a_1i=m    a_23=3    a_2j=n    a_31=-2    a_32=-3    Узлыa_13=2    0    0    0    0    1    0    〖=σ〗_123a_1i=m    0    0    0    0    0    0    a_23=3    0    0    0    0    0    1    a_2j=n    0    0    0    0    0    0    a_31=-2    1    0    0    0    0    0    a_32=-3    0    0    1    0    0    0    Сборочная единица с_123=σ_123^0 (a_1i 〖,a〗_2j), как черный ящик.Состав(с_123 )    a_1i=m    a_2j=n    Узлыa_1i=m    0    0    =σ_123^0a_2j=n    0    0    Корректировка кинематической схемы устройстваОпределим структурные свойства сборочной единицы с_123. СЧ1 неподвижна, а СЧ2 – выходное звено. Матрицы подвижностей кинематических пар приведены на рис. 2. Матрица местных подвижностей СЧ3 определяется относительно «остановленных» СЧ1 и СЧ2:W_M3=|■(1&1@0&0@0&0)|. Для оценки структурных свойств рассматриваемой конструкции используем уравнение (1), которое для с_123, показанной на рис. 2, будет иметь вид:〖WQ〗_с123=H_(1;2)+H_(1;3)+H_(2;3)-W_M3-F;〖WQ〗_с123=|■(0&1@1&0@1&0)|+|■(1&1@0&0@0&0)|+|■(1&1@0&0@0&0)|-|■(1&1@0&0@0&0)|-|■(1&1@1&1@1&1)|=|■(0&   1@0&-1@0&-1)|.        (3)В соответствии с данными полученной матрицы 〖WQ〗_с123 СЧ2 вращается вокруг оси X (верхняя единица второго столбца). При изготовлении необходимо жестко ограничить неперпендикулярность к оси X плоскостей соприкосновения СЧ1 и СЧ2 (две (-1) избыточные связи – отсутствие вращательных подвижностей вокруг осей Y и Z).В  прототипе  с_123  заменяем  СЧ2  на  СЧ2' (рис. 3), где СЧ2' e_(2^' )=σ_(2^')^0 (a_(2^' s)=-5,〖 a〗_(2^' q)=4,〖 a〗_(2^' j)=n). Оси симметрии СЧ1, СЧ2, СЧ2' располагаются на одной прямой. Подвижность конструкции должна сохраниться. Конструкции СЧ1, СЧ2' и СЧ3 изменять нельзя. Виды исполнений узлов сопряжения СЧ2' приведены на рис. 3. В конструкцию можно вводить только низшие кинематические пары. Рис. 3. Новый вариант подвижного соединения и его структурные моделиFig. 3. New version of the movable joint and its structural modelsИспользование соединения a_(2^' q)+a_(32^' )=0 определяет исполнение узла СЧ3a_(32^' )=-a_(2^' q)=-4. С учетом отсутствия замкнутого контура у с_(12^' 3) (левая нижняя часть см. рис. 3) ее структурные свойства определяются из выражения: 〖WQ〗_(c12^' 3)=H_(1;3)+H_(2^';3)-W_M3.〖WQ〗_(c12^' 3)=|■(1&1@0&0@0&0)|+|■(1&1@0&0@0&0)|-|■(1&1@0&0@0&0)|=|■(1&1@0&0@0&0)|.Полученная сборочная единица с_(12^' 3), кроме вращательной, имеет поступательную подвижность вдоль оси X. Поскольку изменять эти СЧ нельзя необходимо ввести новую СЧ4, которая должна исключить поступательную подвижность. Предположим, что вновь введенная СЧ4 может иметь местные подвижности и образует соединения (с_1,с_2,с_3 ) со всеми имеющимися в конструкции СЧ. Структурная модель такой конструкции показана в нижней части рис. 3. Для нее должно выполняться условие: W_(с12^' 34)=W_с123.Узлы сопряжения СЧ3 с_123 образуют его геометрический элемент a_31∪a_32 (см. рис. 2), который используется в новой конструкции для соединения с тремя СЧ (см. рис. 3), поэтому a_31∪a_32=a_31∪a_(32^' )∪a_34  . Из полученного равенства получаем узел a_34=a_32\a_(32^' ). Исполнение этого узла обозначим a_34=-6 (унаследованный цилиндр с другой длиной образующей).В конструкции два независимых замкнутых контура. В качестве первого контура рассматриваем СЧ1, СЧ3 и СЧ4. В нем появляются два новых соединения с_1, a_12+a_41=0 и с_2, a_34+a_43=0, откуда a_41=-a_12=-1, a_43=-a_34=6. Полученные данные заносим в табл. 4 и отмечаем единицами три соединения между СЧ сборочной единицыс_134=σ_134 (e_1,e_3,e_4 ).Таблица 4Состав и соединитель с_134=σ_134 (e_1,e_3,e_4)Table 4Composition and connector с_134=σ_134 (e_1,e_3,e_4)Состав (e_1,e_3,e_4)    e_1    e_3    e_4    СЧ    a_12    a_13    a_1i    a_31    a_(32^' )    a_341    a_41    a_(42^' )    a_43    Узлы    1    2    m    -2        -6    -1        6    Исполнения K    Пл    Ц    -    Ц        Ц    Пл        Ц    Виды узловa_12=1; Пл    0    0    0    0    0    0    1    0    0    =σ_134a_13=2; Ц    0    0    0    1    0    0    0    0    0    a_1i=m    0    0    0    0    0    0    0    0    0    a_31=-2; Ц    0    1    0    0    0    0    0    0    0    a_(32^' )=    0    0    0    0    0    0    0    0    0    a_34=-6; Ц    0    0    0    0    0    0    0    0    1    a_41=-1; Пл    1    0    0    0    0    0    0    0    0    a_(42^' )=    0    0    0    0    0    0    0    0    0    a_43=6; Ц    0    0    0    0    0    1    0    0    0    Структурные свойства с_134 определим по формуле: 〖WQ〗_c134=H_(1;4)+H_(1;3)+H_(3;4)-W_M1^3-W_M1^4-F, где W_M1^3  ,W_M1^4 – местные подвижности СЧ3 и СЧ4 в составе первого замкнутого контура. В соответствии с табл. 4 кинематические пары, образованные СЧ3 с СЧ1 и СЧ4 цилиндрические и H_(1;3) 〖=H〗_(3;4)=|■(1&1@0&0@0&0)|, а образованные СЧ1 и СЧ4 плоскостная, поэтому H_(1;4)=|■(0&1@1&0@1&0)|. Виды кинематических пар определяются видами (цилиндр или плоскость) узлов сопряжения.Определяем в первом замкнутом контуре местные подвижности СЧ3 W_M1^3=|■(1&1@0&0@0&0)| и СЧ4 W_M1^4=|■(0&1@0&0@0&0)|. Для этого останавливаем сопряженные с ними СЧ. Структурные свойства первого замкнутого контура: 〖WQ〗_c134=|■(0&1@1&0@1&0)|+|■(1&1@0&0@0&0)|+|■(1&1@0&0@0&0)|-|■(1&1@0&0@0&0)|-|■(0&1@0&0@0&0)|-|■(1&1@1&1@1&1)|=|■(0&0@0&-1@0&-1)|.        (4)Присоединив СЧ2' к с_134, получаем второй замкнутый контур и все изделие в целом. Появились еще две связи. Одна из них новая с_3: a_(2^' s)+a_(42^' )=0, a_(42^' )=-a_(2^' s)=5. Вторая уже определена уравнением соединения для с_(12^' 3): a_(2^' q)+a_(32^' )=0, a_(32^' )=-a_(2^' q)=-4. Полученные данные о исполнениях узлов заносим в табл. 5, которая получена из табл. 4 добавлением информации о присоединенной СЧ2'. В соответствии с табл. 5 кинематическая пара, образованная СЧ2' с СЧ3, цилиндрическая H_(2^';3)=|■(1&1@0&0@0&0)| (см. рис. 3), а с СЧ4 плоскостная H_(2^';4)=|■(0&1@1&0@1&0)|. Для конструкции с_(12^' 34) уравнение (1) будет иметь вид:〖WQ〗_(c12^' 34)=〖WQ〗_c134+H_(2^';3) 〖+H〗_(2^' 4)+W_M1^3+W_M1^4-W_M2^3-W_M2^4-F.С появлением второго замкнутого контура местные подвижности СЧ3 и СЧ4 не изменились: W_M3 〖=W〗_M2^3=W_M1^3=|■(1&1@0&0@0&0)|, W_M4 〖=W〗_M2^4=W_M1^4=|■(1&1@0&0@0&0)|            (5)С учетом (4) и (5) получим:〖WQ〗_(c12^' 34)=|■(0&0@0&-1@0&-1)|+|■(1&1@0&0@0&0)|+|■(0&1@1&0@1&0)|+W_M3+W_M4-W_M3-W_M4-|■(1&1@1&1@1&1)|=|■(0&1@0&-2@0&-2)|. Полный состав и соединитель с_(12^' 34) приведены в табл. 5. Цветом выделена вновь добавленная СЧ4. Подвижность полученной конструкции равна подвижности прототипа (см. (3)). Число избыточных связей удвоилось, так как удвоилось число замкнутых контуров.Остался не определенным геометрический элемент СЧ4, который «взаимодействует» с промежутками П1 и П2'. Определение узлов сопряжения СЧ4 и узлов взаимодействующих с ней промежутков П1 и П2' (рис. 4), осуществляется по вращательному движению СЧ2' вокруг оси X и ее геометрическому элементу (плоскости) подобно тому, как показано в [22]. Эти узлы β_014,β_401,β_(02^' 4),β_(402^' ) представляют собой отрезки прямой параллельные оси X. Геометрический элемент СЧ4, «взаимодействующий» с промежутками, представляет собой цилиндр, полученный в результате вращения β_(02^' 4) или β_014 вместе с СЧ2'. Выбирается тот из них, радиус вращения которого меньше. Конструкции СЧ4 и с_(12^' 34) показаны на рис. 3.Таблица 5Полный состав и соединитель с_(12^' 34)=σ_(12^' 34) (e_1,e_(2^' ),e_3,e_4)Table 5Full composition and connector с_(12^' 34)=σ_(12^' 34) (e_1,e_(2^' ),e_3,e_4)Состав(e_1,e_(2^' ),e_3,e_4)    e_1    e_(2^' )    e_3    e_4    СЧ    a_12    a_13    a_1i    a_(2^' s)    a_(2^' q)    a_(2^' j)    a_31    a_(32^' )    a_341    a_41    a_(42^' )    a_43    Узлы    1    2    m    -5    4    n    -2    -4    -6    -1    5    6    K    Пл    Ц    -    Пл    Ц    -    Ц    Ц    Ц    Пл    Пл    Ц    Виды узловa_12=1; Пл    0    0    0    0    0    0    0    0    0    1    0    0    =σ_(12^' 34)a_13=2; Ц    0    0    0    0    0    0    1    0    0    0    0    0    a_1i=m    0    0    0    0    0    0    0    0    0    0    0    0    a_(2^' s)=-5; Пл    0    0    0    0    0    0    0    0    0    0    1    0    a_(2^' q)=4;Ц    0    0    0    0    0    0    0    1    0    0    0    0    a_(2^' j)=n    0    0    0    0    0    0    0    0    0    0    0    0    a_31=-2; Ц    0    1    0    0    0    0    0    0    0    0    0    0    a_(32^' )=-4;Ц    0    0    0    0    1    0    0    0    0    0    0    0    a_34=-6; Ц    0    0    0    0    0    0    0    0    0    0    0    1    a_41=-1; Пл    1    0    0    0    0    0    0    0    0    0    0    0    a_(42^' )=5;Пл    0    0    0    1    0    0    0    0    0    0    0    0    a_43=6; Ц    0    0    0    0    0    0    0    0    1    0    0    0    Рис. 4. Образование геометрического элемента СЧ4, «взаимодействующего» с П1 и П2'Fig. 4. Formation of the geometric element SCH4, «interacting» with P1 and P2’ОбсуждениеДля идентификации положения узлов на составной части e_i в [27] введено понятие координат узла сопряжения. Координаты узла a_ip задаются в виде пары (〖M_ip,r ⃗〗_ip), определяющей положение привязочной системы координат узла (в ней определена его геометрия) относительно принятой базовой системы координат, которая связана с самой СЧ. Здесь M_ip – матрица косинусов углов между осями привязочной и базовой систем координат составной части e_i; r ⃗_ip – радиус-вектор, определяющий положение привязочной точки привязочной системы координат в базовой системе. Кординаты узлов сопряжения позволяют определить положения узлов на СЧ и сборочных единицах [27, 28]. По известным координатам узлов сопряжения и значениям сил рассчитываются силовые факторы, действующие на узлы сопряжения.Решив задачу конструирования изделия, мы получаем модель, описывающую его геометрическую форму и размеры. Распространив понятие узел сопряжения на сформированную КИ, можно построить ее структурную модель считая компонентами отдельные поверхности (см. рис. 2 в [25]). Узлами сопряжения таких компонентов являются чисто геометрические объекты: линии, по которым пересекаются поверхности КИ. Структурные модели данного типа является моделями второго уровня по сравнению с моделями первого уровня, в которых узлы сопряжения являются не только геометрическими, но и физическими объектами, передающими потоки энергии, вещества и сигналов. Имея модели второго уровня можно перейти к моделям первого уровня, в которых узлы сопряжения определяются не с точки зрения решения конструкторских задач, а для других целей, например, технологических.Применяя понятие узел сопряжения в процессе конструирования необходимо создавать банки исполнений узлов сопряжения и геометрических элементов с целью их унификации для семейств и групп однородной продукции. Избыточное разнообразие исполнений узлов сопряжения одна из основных причин избыточного разнообразия СЧ и компонентов производства.Выводы1. Узел сопряжения – базовое конструкторское понятие. Узлы сопряжения могут быть учтены в структурных моделях на любом уровне разукрупнения проектируемого, изготавливаемого, находящегося в эксплуатации или изучаемого объекта: от системы, рассматриваемой как черный ящик, до наличия полной геометрии всех его СЧ.2. Структурные модели, учитывающие узлы сопряжения, легко трансформируются в более простые путем слияния вершин, соответствующих узлам сопряжения одной СЧ, в одну вершину, представляющую в модели данную СЧ. Это позволяет применять уже освоенные методы, например, при разработке процессов сборки [29].3. Матрицы подвижностей и структурные уравнения позволяют определить возможные принципы действия механизма и их модификации, а также число СЧ и виды соединений.4. Совместное применение узлов сопряжения и матриц подвижностей позволяет сформировать геометрические элементы, являющиеся главной составляющей конструкции изделия.5. Промежутки, как квази-СЧ, «образуют» с реальными СЧ квази-узлы, которые используются для формирования реальных геометрических элементов создаваемой конструкции.6. Являясь самыми общими понятиями, отражающими то, что присуще любым изделиям, предлагаемые инструменты конструирования позволят приблизиться к решению задачи формализации процесса «придумывания» конструкции. На рис. 5 приведены два варианта конструкций винтовых механизмов с одинаковыми кинематическими характеристиками. Верхний выполнен по схеме, приведенной в [30]. Схема изображена на рисунке. Конструкция второго механизма «придумана» с нуля с помощью предложенных инструментов.7. Перечисленные инструменты конструирования могут применяться как при разработке одного изделия, так и при проектировании семейства изделий. В результате группового проектирования создается унифицированная элементная база составных частей изделий и методика синтеза на ее основе кастомизированных изделий, обеспечивая минимальные затраты на единицу продукции. На основе элементной базы семейства может быть создана платформа многократно используемых компонентов в том числе и их компьютерные двойники для реализации групповой технологии создания и сопровождения изделий семейства в течении их жизненного цикла.