The work objective is to consider a space 3D Buckley –Leverett filtration model of the two-phase incompressible liquid “oil-water” to Boussinesq approximation, and its numerical solution by the modified alternate triangular method (MATM) with account for the specificity of the point source functions with delta-like character. For the proposed advanced MATM version, a set of iteration parameters is built, and the needed estimates of the method spectral parameters are obtained. The estimation of the convergence rate of the iteration process is asymptotically equivalent to the assessment for the base iterative MATM proposed earlier by A.A. Samarsky and E.S. Nikolaev. The constructed iteration method modification is applied to solve a model task of filtering-displacement of oil by the flooding method in the essentially heterogeneous stratum for which permeability coefficient values have been changed by more than 104 times. As for the computational efficiency of this approach, the number of iterations is reduced by 10-70 times as compared with the widely used techniques – Seidel method, and the overrelaxation with checkered nodes ordering.
Buckley – Leverett filtration models, two-phase incompressible liquid, difference schemes, iteration alternate triangular method, iteration parameters.
В современных условиях для решения значимых задач проектирования разработок нефтяных месторождений (РНМ) и совершенствования технологии добычи углеводородного сырья используется методология математического моделирования и комплексы программ, реализующих современные вычислительные методы [1, 2]. Важный класс задач, возникающих при проектировании РНМ, — задачи фильтрации многофазных жидкостей в пористых средах, сформулированные при тех или иных упрощающих предположениях. Данный класс задач после дискретизации приводит к сеточным уравнениям, которые могут иметь размерности 105–109 и должны решаться многократно (многие десятки, сотни тысяч раз) для временных промежутков, составляющих десятки месяцев. В практике вычислительных методов решения задач данного класса широко применяется IMPES-метод (IMplicitonPressureandExplicitonSaturation) — неявный по давлению и явный по насыщенности [3]. Поэтому основной объем вычислительной работы приходится на решение уравнений эллиптического типа в относительно небольшом числе узлов сетки с функциями источников, отличными от нуля и имеющими характер дельта-функций (функций точечных источников) для определения давления. Следует учитывать данную специфику сеточного оператора задачи. В противном случае, а также при недостаточной обусловленности системы разностных уравнений, вызванной высокой размерностью и существенной неоднородностью характеристик пластовой системы, снижается качество вычислений. В первую очередь следует отметить, что замедляются итерационные процессы, а при использовании техники чебышевского ускорения наблюдается потеря сходимости метода, обусловленная ошибкой в определении спектральных характеристик операторов. В данной работе указанная проблема снимается за счет построения оператора-предобусловливателя, содержащего член, обусловленный наличием источников и корректных спектральных двухсторонних оценок для оператора-предобусловливателя.
1. Aziz, K., Settary, E. Matematicheskoe modelirovanie plastovykh system. [Mathematical modeling of tabular sys-tems.] Moscow; Izhevsk: Institute of Computer Science, 2004, 416 p. (in Russian).
2. Konovalov, А.N. Zadachi fil´tratsii mnogofaznoy neszhimaemoy zhidkosti. [Filtering problems of multiple incom-pressible fluids.] Novosibirsk: Nauka, 1988, 166 p. (in Russian).
3. Vabishchevich, P.N. Yavno-neyavnye vychislitel´nye algoritmy dlya zadach mnogofaznoy fil´tratsii. [Explicit-implicit numerical algorithms for porous media multiphase flow problems.] Mathematical Models and Computer Simulations, 2010, vol. 22, no. 4, pp. 118-128 (in Russian).
4. Sukhinov, А.I. Modifitsirovannyy poperemenno-treugol´nyy metod dlya zadach teploprovodnosti i fil´tratsii. [Modified alternating triangular method for heat conduction problems and filtering.] Vychislitel´nye sistemy i algoritmy. [Computation systems and algorithms.] Rostov-on-Don: Rostov State University, 1984, pp. 52-59 (in Russian).
5. Sukhinov, А.I. Dvumernye skhemy rasshchepleniya i nekotorye ikh prilozheniya. [Two-dimensional splitting schemes and some of their applications.] Moscow: MAKS Press, 2005, 408 p. (in Russian).
6. Sukhinov, А.I., Chistyakov, A.E., Shishenya, A.V. Modifikatsiya metoda minimal´nykh popravok dlya resheniya setochnykh uravneniy s nesamosopryazhennym operatorom. [Modification of minimal residuals iterative method for solving grid equations with nonselfadjoint operators.] Izvestiya SFedU. Engineering Sciences, 2013, no. 4,pp. 194-202 (in Russian).
7. Sukhinov, А.I., Chistyakov, A.E. Adaptivnyy poperemenno-treugol´nyy metod dlya resheniya setochnykh uravneniy s nesamosopryazhennym operatorom. [Adaptive analog-SSOR iterative method for solving grid equations with nonselfadjoint operators.] Mathematical Models and Computer Simulations, 2012, vol. 24, no. 1, pp. 3-20 (in Russian).
8. Samarsky, А.А., Nikolaev, E.S. Metody resheniya setochnykh uravneniy. [Solution methods of finite-difference equations.] Moscow: Nauka, 1978, 592 p. (in Russian).
9. Trapeznikova, M., et al. Two-Phase Porous Media Flow Simulation on Hybrid Cluster. Lecture Notes in Computer Science, 2012, no. 7116, pp. 644-651.
10. Berveno, Е.V., Kalinkin, A.A., Laevskii, Y.M. Fil´tratsiya dvukhfaznoy zhidkosti v neodnorodnoy srede na komp´yuterakh s raspredelennoy pamyat´yu. [Two-phase fluid filtration in nonuniform media on clusters.] Tomsk State University Journal of Mathematics and Mechanics, 2014, no. 4 (30), pp. 57-62 (in Russian).
11. Laevskii, Y.M., Litvinenko, S.A. Ob odnom vychislitel´nom algoritme resheniya uravneniy Bakleya - Leveretta. [On a numerical algorithm for solving the Backley-Laverett equations.] Journal of Applied and Industrial Mathematics, 2013, vol. 16, no. 3, pp. 106-115 (in Russian).
12. Dushin, V.R., et al. Mathematical modeling of flows in porous media. WSEAS Transactions on Fluid Mechanics, 2014, vol. 9, pp. 166-130.
