National Research Nuclear University “MEPhI” (Professor)
Bauman Moscow State Technical University (Professor)
Bryansk, Bryansk, Russian Federation
Bryansk, Bryansk, Russian Federation
Bryansk, Bryansk, Russian Federation
Bryansk, Bryansk, Russian Federation
employee
Bryansk, Bryansk, Russian Federation
UDC 621.7
UDC 621.9
UDC 539.6
The article offers mathematical models developed at Bryansk State Technical University. There is a model of contact interaction for low-load surfaces based on A. Majumdar's fractal theory. The model takes into account the elastic-plastic contact of rough surfaces and clarifies the Hertz theory of contact interaction for low loads. There is a wear model of nanogeometry (sub-roughness) of friction surfaces based on I.V. Kragelsky's molecular mechanical theory of friction and fatigue theory of wear. The model describes the molecular wear of nanoirreguliarities based on London forces and the mechanical wear of nanoirreguliarities based on the nanogeometry of the actual contact area. There is a model of the slide surface wear under shock load and the presence of a plastic lubricant, based on the fatigue theory of I.V. Kragelsky. The model describes the contact interaction of slide surfaces under a single impact load in the presence of a plastic lubricant separating the surfaces at the initial moment of friction. This model is valid for significant slipage speeds of slide surfaces. The conditions of transition from one model to another for a underloaded joint of rough surfaces are viewed, taking into account their fractal features. The convergence of the models with the results of experimental data is shown. The conditions for the release of diffusionally active hydrogen from a lubricant during friction and its effect on the wear rate are given. A prediction technique for the service life of a friction unit based on the obtained wear rate patterns, taking into account the presence of a lubricant, is described.
modeling, friction, wear, contact interaction, surface quality
Введение
При решении трибологических задач необходимо знать параметры контактного взаимодействия сопряжённых поверхностей с учетом наличия макро-отклонений, волнистости и шероховатости [1]. Исследования показали, что при больших нагрузках пластические и упругие деформации микронеровностей приближают фактический контакт к номинальному, что снижает влияние шероховатости при расчётах и позволяет с достаточной степенью точности выполнять расчёты с помощью существующих методик и зависимостей. Для малых нагрузок влияние шероховатости возрастает, и применение современных методов расчёта при этих условиях приводит к значительным ошибкам. При использовании смазочного материала контакт микронеровностей носит локальный характер. Моделирование контактного взаимодействия и изнашивания поверхностей трения призвано способствовать развитию триботехнологии [2].
В настоящей статье приведены теоретические модели, разработанные в Брянском государственном техническом университете.
Результаты и обсуждение
Предлагается трёхмерная многоуровневая модель межконтактного зазора (рис. 1) и программные средства ее реализации.
В зависимости от необходимой степени точности при решении конкретной задачи модель предусматривает соответствующее число уровней. На первом уровне для получения контурных пятен контакта создается трехмерную поверхность, имеющую макро-отклонения. Эта задача решается искривлением, перекосом или изгибом исходной плоской трёхмерной карты поверхности (рис. 2, а).
На втором уровне учитывается волнистость поверхности (рис. 2, б), основой которой являются сплайны с заданными параметрами во взаимно-перпендикулярном направлении в полярных или ортогональных координатах. На третьем уровне воспроизводится шероховатость по заданным параметрам с помощью функции Вейерштрасса-Мандельброта или алгоритма Фосса [3, 4]. Такой способ позволяет воспроизвести шероховатость модели максимально точно. Следует сказать, что проверка адекватности моделей с реальными поверхностями по четырём разным критериям (равенство спектральной плотности выступов, фрактальной размерности, а также полученного на основе анализа размерностей, критерия подобия π и сравнения опорной кривой поверхностей) показало высокую адекватность моделей с погрешностью в районе 15 %.
Одни из самых точных результатов даёт имитационная модель контактного взаимодействия волнистых поверхностей [5]. Полагаем, что функциональные и триботехнические параметры трибосистемы будут определяться контурными площадками, которых, в зависимости от заданных параметров, будет nw. Для оценки упругой деформации волн для плоской задачи в первом приближении представим волнистую поверхность в виде набора цилиндров одинакового радиуса rw, расположенных с β-распределением по высоте (рис. 3, а).
Зададим нагрузку F (согласно исходным данным), приходящуюся на 
смоделированных волн. Определим начальное сближение δmax волн по Герцу для цилиндрической аналогии, считая, что имеем только одну волну:
, (1)
где L – длина линии контакта;
где μ – коэффициент Пуассона; Е – модуль упругости; rw – радиус волны; F – нагрузка, приходящаяся на волну, которая подверглась деформации до сближения δ.
При сближении δmax деформация i-ой волны, согласно (рис. 3, а), будет
(2)
Оценить воспринимаемую нагрузку для каждого i-го контурного пятна по представленной формуле можно методом дихотомии (половинного деления): нужно менять в большую или меньшую сторону величину сближения, пока сумма реакций ΣFi, приходящихся на волн, не станет равной внешней заданной нагрузке F в пределах заданной степени точности [ε]: 
. Для трёхмерного случая (рис. 3, б) задача решается аналогично с учётом реальных площадей пятен контакта. Для учёта микрогеометрии поверхностей (при малых нагрузках) применяются фрактальные модели шероховатости, и для их практического применения А. Маджумдар установил связь между фрактальными параметрами (рис. 4) и основными статистическими показателями качества инженерных поверхностей в виде:
Главной особенностью фрактальной модели является то, что она на более высоком уровне учитывает особенности микрогеометрии поверхности, а именно − влияние отдельных, относительно острых микровыступов, расположенных по контуру профиля, как на рис. 4. Это влияние заключается в том, что при первичном контакте сначала преимущественно пластически деформируются относительно острые пики микровыступов из-за больших контактных давлений. Увеличение сближения и расплющивание выступов увеличивает фактическую площадь и снижает контактные давления, из-за чего взаимодействие переходит в преимущественно упругий контакт, который хорошо описывается существующими моделями.
Для определения области применения классических моделей и предлагаемой фрактальной, предположим, что существует некоторое сближение поверхностей, для которого обе модели дают одинаковое решение. До этого сближения адекватной будет фрактальная модель, а после – классические модели на основе решения Герца. Подстановка в предыдущую формулу площади пятна контакта по Герцу позволило найти критическую площадь, соответствующую переходу из пластического состояния в упругое:
(3)
Здесь H – твёрдость поверхности,
E* – приведенный модуль упругости.
На основании распределения Корчака и предположения о степенной функции распределения пятен контакта была разработана методика определения функции распределения путём моделирования контактного взаимодействия трёхмерных поверхностей с подсчётом площадей (рис. 5, а). Функция распределения пятен контакта выглядит как , где α – искомый показатель функции распределения, соответствующий микрогеометрии сопряжённых поверхностей, определяемый моделированием.
С учётом критерия перехода пятна контакта из упругого состояния в пластическое и связи фрактальных параметров со статистическими, можно найти нагрузку на единичное пятно контакта как: для пластического контакта: ; для упругого контакта:
Для множественного контакта необходимо провести имитационное моделирование контактного взаимодействия небольшого участка шероховатых поверхностей или их моделей с оценкой параметров контактирования (рис. 6).
Для каждой величины сближения вклад в нагрузочную способность стыка будут вносить пятна, находящиеся как в упругом, так и в пластическом состоянии, и по мере сближения их соотношение будет меняться. Cравнение зависимости контактного давления от сближения для реальных образцов (эксперимент) и их фрактальных моделей относительно грубых (Ra = 1,2 мкм) и гладких (Ra = 0,4 мкм) образцов представлено на рис. 7.
На основе системы управления Microsoft SQL Server была создана база данных микрогеометрии реальных поверхностей и их моделей, которая позволяет хранить трёхмерные карты поверхностей вместе с их физико-механическими характеристиками и по запросу выводить информацию, удовлетворяющую заданным условиям. Используя предложенную теорию контактного взаимодействия, представляется возможным прогнозировать площади фактического контакта, деформации и износ поверхностей трения.
Развитие исследований в области трибологии и средств профилирования поверхностей деталей высокого разрешения позволяет при обеспечении износостойкости учесть микронеровности в нанометровом диапазоне (субшероховатость), сформировавшиеся в процессе приработки на фактических площадках контакта [6]. Введение национального стандарта
ГОСТ Р ИСО 25178-2-2014 позволило использовать зондовые методы измерения топографии поверхности.
Как показывают результаты экспериментальных исследований поверхностей трения на износ в период приработки целесообразно использовать модель изнашивания, основанную на геометрии шероховатости поверхности, тогда как в период установившегося износа необходимо учитывать субшероховатость поверхности (рис. 8) [7].
Принимая, что износ контактирующих пиков субшероховатости обусловлен усталостными свойствами, механический удельный износ определяется как сумма удельных износов при пластической и упругой деформациях и их срезе
, (4)
где Vдеф.пл, Vдеф.упр, Vдеф.ср – объем деформируемого материала субшероховатости при пластическом, упругом контакте и срезе; Ar – площадь фактического контакта.
Объем деформируемого материала при упругом, пластическом контакте или срезе определяется как сумма объемов деформируемых пиков на число циклов до разрушения, тогда как суммарный объем деформируемых пиков определяется как объем единичного деформируемого пика Vдеф.в. на число взаимодействующих пиков nвз:
Исходя из предположения, что вершина пика субшероховатости стремится к сферической форме, объем фактически деформируемого материала можно смоделировать частью эллипсоида вращения, который деформируется под действием контртела на основе общего выражения
. (5)
где a, b – параметры эллипсоида вращения, определяющие фактическую площадь контакта; Φдеф – параметр, зависящий от типа деформации: Φпл = (τсдв/σвр); Φупр = (σн/σвр); Φср = 1,0.
Число взаимодействий выступов субшероховатости поверхности с контртелом определяется как отношение среднего числа зерен на поверхности детали χср и относительного сближения ɛ трущихся поверхностей, которое можно определить из предложенной модели контактного взаимодействия. Как показали исследования связи субшероховатости поверхности и размеров зерен материала [1], наибольший пик субшероховатости не будет превышать наибольшего размера зерна Rmax < lд.кр., тогда число взаимодействий субшероховатости поверхности с контртелом можно определить по выражению , при этом глубину внедрения hвн. можно описать предложенной моделью контактного взаимодействия.
В процессе приработки в местах действия локальных контактных пластических и упругих деформаций будет разрушаться окисная пленка и образовываться ювенильный контакт трущихся поверхностей. Учитывая относительно малые геометрические размеры субшероховатости, очевидно, что субшероховатость наряду с механической составляющей изнашивания будет подвержена молекулярному износу, обусловленному схватыванием поверхностей при трении. Молекулярный износ осуществим в случае, когда энергия взаимодействия молекул контртела Eвз.к больше энергии адгезионного взаимодействия Eа и энергии взаимодействия молекул тела Eвз.т, т.е.
Eвз.к > Eа > Eвз.т. Приведенное неравенство по своей сути является необходимым условием осуществления молекулярного износа тела или контртела. Проведя простейшие преобразования неравенства, получим следующий параметр
. (6)
При значениях параметра A ≤ 0 
будет осуществляться молекулярный износ контртела, при A > 0 – молекулярный износ тела. В некоторых случаях, при условии Eа > Eвз.т 
и, одновременно, Eа > Eвз.к 
возможен как износ тела, так и контртела. На границе двух фаз находятся некомпенсированные связи, которые направлены в сторону менее плотной среды. Эти связи испытывают избыточное силовое воздействие со стороны частиц твердого тела, которое стремится «втянуть» частицы поверхностного слоя внутрь более плотной среды.
Молекулярная составляющая удельного износа субшероховатости определяется как объем адгезионных «вырывов» на фактической площади контакта за путь трения. Молекулярное изнашивание стальных поверхностей напрямую будет зависеть от числа дефектов, размеров и формы зерен, типа решетки. Тогда
, (7)
где Va.т. – объем, отделяемый при молекулярном износе; kреш – коэффициент, учитывающий процентное соотношение структуры рассматриваемого типа в изнашиваемом материале.
Если молекулярный изнашивание субшероховатости происходит близко к границе зерна или месту скопления дислокаций, тогда определение параметра Va.т. представляет трудно решаемую задачу. Общая величина молекулярного износа, в жизненном цикле изделия, напрямую зависит от числа циклов взаимодействий поверхностей nц.а.. Представляет интерес его определение при единичном контакте поверхностей (nц.а. = 1). Пластическая деформация способствует возникновению молекулярного изнашивания. При пластических деформациях дислокации перемещаются к краю зерна, следовательно, в начальный момент трения молекулярное изнашивание будет больше, чем при установившемся режиме. Атомы кристаллических решеток сопряженных поверхностей, расположенные близко к зоне пластических деформаций и образовавшие молекулярную связь, приведут к увеличению отделяемого объема V1 в процессе изнашивания. Возможны случаи, когда неровности трущихся поверхностей оказываются на некотором расстоянии друг от друга, однако достаточном, чтобы между ними образовалась межмолекулярная связь и при этом на некотором удалении от зоны фактического контакта. В таком случае также произойдет увеличение отделяемого объема V2 при износе. В этом случае, объем отделяемый при молекулярном износе, можно определить с учетом формы и характеристик кристаллической решетки, а также из физико-механических свойств зерен материала и параметров субшероховатости.
Энергия единицы связи определяется из энергии активации адгезии EH и расстояния, на котором взаимодействие молекул стремится к нулю zо. Число связей, приходящихся на единицу площади контакта, если за единицу площади принять единичную молекулу, образовавшую связь, определяется как отношение числа некомпенсированных связей молекулы, образовавших адгезионную связь на число некомпенсированных связей адгезива и субстрата. Тогда энергия адгезионного взаимодействия, с учетом сил Лондона, определяется по формуле
, (8)
где AH – константа Гамакера; w1,2 
– число некомпенсированных связей тела и контртела;
w
– число некомпенсированных связей молекулы, образовавших адгезионную связь;
zо
– компенсированное расстояние, на котором энергия взаимодействия равна нулю
.
Адгезионное взаимодействие осуществимо, когда свободная молекулярная связь активирована, поэтому в выражении (8) константа Гамакера по своей сути характеризует энергию активации адгезии AH = EH. Число некомпенсированных связей у единичной молекулы, находящейся на границе раздела фаз, определяется исходя из кристаллической решетки твердого тела. Компенсированное расстояние zo в реальных условиях является постоянно изменяющейся функцией, зависящей от частоты собственных колебаний молекул и других факторов. Энергию взаимодействия единичной молекулы внутри твердого тела можно описать потенциалом Букиннгема или потенциалом Штокмайера.
С учетом рассмотренной картины молекулярно-механического изнашивания субшероховатости поверхностей трения – интенсивность изнашивания субшероховатости поверхности, а именно его усталостная uс и адгезионная sс составляющие, определенные через удельный износ
, (9)
где ρ – плотность материала; Aa – номинальная площадь (здесь под номинальной площадью понимается площадь контакта единичного выступа шероховатости).
Экспериментальные исследования показали, что полученные теоретические модели износа субшероховатости адекватны для процесса установившегося изнашивания и неадекватны для процесса приработки. При наличии смазочного материала наногеометрия будет играть незначительную роль в процессе изнашивания.
Моделирование изнашивания при граничной смазке
На практике в узлах трения используется смазочный материал для уменьшения коэффициента трения и уменьшения износа сопряженных поверхностей. В некоторых случаях слой смазочного материала не полностью разделяет поверхности оставляя контакт между выступами микронеровностей (рис. 9).
Рассмотрим изнашивание гребня бандажа локомотива при контактировании с гребнем рельса при вхождение подвижного состава в криволинейный участок пути [8]. Моделирование скорости изнашивания можно осуществить на основе теории подобия.
К определяющим факторам отнесём
Р − давление гребня на рельс (максимальное) в криволинейном участке пути; КС − ударная вязкость более мягкого материала (бандажа); характеристики смазочного материала: η − динамическая вязкость; τ − напряжение сдвига в пластичном смазочном материале; условия протекания процесса изнашивания: L − путь трения; V − объём, отделяемый в процессе изнашивания; υ − скорость изнашивания.
Для определения числа независимых решений воспользуемся π-теоремой Букингема. Наличие трёх тел в зоне контакта при рассмотрении факторов, оказывающих влияние на скорость изнашивания, позволил получить критериальное уравнение. Так как ранг матрицы равен 3, тогда число независимых решений, то есть критериев подобия, s = 4:
Достоверность влияния на износ различных факторов устанавливалась методами регрессионного анализа. Критерий значимости отдельных коэффициентов представляет собой проверку значения переменных. С учетом всех критериев получено линейное уравнение регрессии:
I=185,366+0,243H2-22,297μ+24,796fтр+232905,486IH2, (11)
где H2 – выделение водорода в процессе трения; μ – вязкость, Па·с; fтр − коэффициент трения; IH2 – интенсивность выделения водорода.
Значение F свидетельствует о значимости регрессионной модели. Значение коэффициента детерминации R2 подтверждает, что величина износа обусловлена вариацией исследуемых переменных. Полученные результаты свидетельствуют о том, что износ зависит главным образом от вязкости смазочного материала, и интенсивности выделения водорода и гораздо меньше от выделения диффузионно-активного водорода, коэффициента трения и температуры в зоне трения.
Полученная по теореме Букингема система уравнений имеет единственное решение если определитель матрицы не равен нулю
det ≠ 0, который можно найти, используя минор матрицы. Критерий π1 определили по анализу размерностей:
. (12)
Из выражения (12) видно, что отношение величины объёма изношенного материала V на путь трения L это объёмная интенсивность изнашивания Iv=V/L. Отношение давления к ударной вязкости Кс характеризует способность материала разрушаться при ударных нагрузках. Критерии подобия имеют нулевую размерность, с учетом этого имеем выражение: π1(υ) = 1; , откуда с учетом критериев π2, π3, π4 поучим скорость изнашивания
.
В рассматриваемой системе критерий π2 должен характеризовать процесс трения, тогда f(π2) = fтр. Критерий π3 запишем как характеристику активности водорода в зоне трения: f(π3) = IH2. Критерий π4 характеризует отклик системы (под откликом понимается изменение системы в процессе трения) и может быть определен эмпирически. Тогда скорость изнашивания гребня бандажа колеса локомотива:
. (13)
Используя эмпирические значения, можно провести расчет по выражению (13). По результатам лабораторных испытаний на износ пары трения гребень-рельс получено значение скорости изнашивания для смазочного материала Пума υэксп = 3·10–7 м/с. Время испытаний 10 мин на пути трения L = 94,2 м, давление в зоне контакта находили исходя из теории Герца. Площадь контакта можно определить по модели предложенной модели контактного взаимодействия.
Интенсивность выделения диффузионно-активного водорода определяли по методики и выражению, представленному в работе [9]. Объем изношенного материала определим как фактор свойств материала . Где dm − изменение массы частиц износа; ρ – плотность материала г/см3. Анализируя результаты теоретических расчётов и экспериментальных исследований, было получено значение критерия π4 = 10–9. Тогда
. (14)
Сопоставление расчетной модели и результатов стендовых испытаний для смазочного материала Пума представлено на рис. 10.
Приведенная на рис. 10 зависимость скорости изнашивания гребня железнодорожного колеса показала эффективность применения теории подобия при исследовании процесса износа твердых тел с учетом множества факторов, характеризующих свойства самих твердых тел и применяемого смазочного материала.
Выводы
- Предложены модели шероховатой поверхности, соответствующие разным уровням контактного взаимодействия.
- Рассмотрены условия перехода от одной модели к другой для слабонагруженного стыка шероховатых поверхностей с учетом их фрактальных особенностей.
- Разработана модель изнашивания твердых тел на уровне субшероховатости и физико-механических свойств поверхности и смазочного материала.
- Приведена методика прогнозирования ресурса работоспособного состояния узла трения на основе полученных закономерностей скорости изнашивания с учетом наличия смазочного материала.
1. Fundamental basics of technological provision, and reliability improvement of the machine building items / ed. by A.G. Suslov. Moscow: Innovative engineering. 2022. 552 p.
2. Suslov A.G., Gorlenko A.O., Shalygin M.G., Shohien A.N. Scientific foundations of the creation of high-tech tribotechnologies // Science-intensive technologies in mechanical engineering. 2025, no. 6. pp. 2−10. DOI: https://doi.org/10.30987/2223-4608-2025-5-3-10
3. Zhao Y., Yang C., Cai L., Shi W., Hong, Y. Stiffness and Damping Model of Bolted Joints with Uneven Surface Contact Pressure Distribution. Strojniški vestnik. Journal of Mechanical Engineering, 62 (11). Pp. 665−677. doi:http://dx.doi.org/10.5545/sv-jme.2016.3410
4. Majumdar A. Bhushan B. «Role of fractal geometry in roughness characterization and contact mechanics of surfaces» Trans. ASME: J. Tribology. Pp. 205−216.
5. Tikhomirov V.P., Shalygin M.G., Izmerov M.A., Krutov A.V. Fractal dimension of discrete contact // Science-intensive technologies in mechanical engineering. 2024. no. 1. pp. 41−48. DOI: https://doi.org/10.30987/2223-4608-2024-41-48
6. Suslov A.G. Wear and friction problems in machine elements // Friction and wear. 1990. no. 5. pp. 801−807.
7. Shalygin M.G., Vashchishina A.P. Mathematical modeling of the wear rate of the friction pair of a locomotive wheel-rail. Journal of Friction and Wear-2023. T. 44, № 5. P. 279−285.
8. Shalygin M.G., Vashchishina A.P. Forecasting of the inter-repair mileage of a wheel pair based on a model of wear of the locomotive wheel flange // Bulletin of Mechanical Engineering. 2025. vol. 104. no. 4. pp. 267−269. DOIhttps://doi.org/10.36652/0042-4633-2025-104-4-267-269.
9. Khrustalev Yu.A., Lyakhov B.F., Balabanov V.I., Mamykin S.M. Hydrogen charging of the rolling surface of a wheel set // Vestnik Mashinostroeniya, 1997. no. 11. pp. 23–26.
