from 01.01.2018 to 01.01.2019
Saint Petersburg University of the Ministry Internal Affairs of Russian Federation (department of economic security and management of socio-economic processes, professor of the department)
from 01.01.2020 until now
Russian Federation
An axisymmetric contact problem of the elasticity theory of the rigid rough-surfaced spherical punch indentation into an elastic transversely isotropic half-space with the functionally-graded transversely isotropic coating is considered. Elastic moduli of the coating vary with depth according to the arbitrary continuous or piecewise constant independent functions. The technique based on the integral transformations is used to reduce the problem to the integral equation. The punch roughness is modeled by the Fourier-Bessel series. Special approximation for the kernel transform is used to obtain the approximated analytical solution to the integral equation. The resulting solution is asymptotically exact for both small and large values of the relative thickness of the coating. A method of construction of the compliance functions is presented for the case of the simultaneous action of the arbitrary axisymmetric normal and tangential loadings.
contact, elasticity, spherical punch, roughness, coating, inhomogeneity, functionally-graded and layered materials.
.Контактным задачам для функционально-градиентных материалов и покрытий посвящено большое количество современных исследований. Однако, большинство известных в литературе результатов получены лишь для частных случаев изменения упругих свойств в покрытии. Возникающие при этом интегральные уравнения решаются в основном численно и полученные решения эффективны лишь в некотором ограниченном диапазоне значений геометрического параметра задачи (относительная толщина покрытия) [1–3].
При проведении эксперимента по наноиндентированию используют штампы с различной формой наконечника. Наиболее распространены штампы сферической, пирамидальной или конической формы. Однако, в процессе изготовления штампа не удаётся добиться идеальной формы наконечника, кроме того форма штампа может изменяться в процессе эксплуатации [4]. Перед проведением экспериментов форма наконечника индентора обычно отдельно изучается с помощью, например, растрового электронного микроскопа [5, 6]. Однако, математическое моделирование, позволяющее учесть отличие формы штампа от идеальной, изучено очень слабо.
В настоящей работе разработана модель, позволяющая учесть неровности поверхности штампа и непрерывно-неоднородную или кусочно-однородную анизотропную структуру покрытия. Рассмотрена контактная задача о вдавливании недеформируемого штампа в трансверсально-изотропное полупространство с функционально-градиентным покрытием. Основное отличие от аналогичной задачи для изотропных материалов состоит в схеме построения трансформанты ядра интегрального уравнения (функции податливости среды). В работе предложена схема построения функций податливости при действии произвольных осесимметричной нормальной и касательной нагрузок. Считается, что форма штампа неидеальна, неровности поверхности модулируются отрезком ряда Фурье-Бесселя. Построено приближенное аналитическое решение контактной задачи, асимптотически точное для малых и больших значений относительной толщины покрытия и обладающее высокой точностью для покрытий средней толщины.
1. Liu, T.-J., Wang, Y.-S., Zhang, C. Axisymmetric frictionless contact of functionally graded materials. Archive of Applied Mechanics, 2008, vol. 78, iss. 4, pp. 267-282.
2. Ma, J., Ke, L.-L., Wang, Y.-S. Frictionless contact of a functionally graded magneto-electro-elastic layered half-plane under a conducting punch. International Journal of Solids and Structures, 2014, vol. 51, pp. 2791-2806.
3. Guler, M. A., Erdogan, F. Contact mechanics of graded coatings. International Journal of Solids and Structures, 2004, vol. 41, pp. 3865-3889.
4. Golovin, Y.I. Nanoindentirovanie i ego vozmozhnosti. [Nanoindentation and its possibilities.] Moscow: Mashi-nostroenie, 2009, 312 p. (in Russian).
5. Chicot, D., et al. Influence of tip defect and indenter shape on the mechanical properties determination by indentation of a TiB2-60%B4C ceramic composite. International Journal of Refractory Metals and Hard Materials, 2013, vol. 38, pp. 102-110.
6. Lim, Y. Y., Chaudhri, M. M. Indentation of elastic solids with a rigid Vickers pyramidal indenter. Mechanics of Materials, 2006, vol. 38, iss. 12, pp. 1213-1228.
7. Aizikovich, S. М., Alexandrov, V.M. Osesimmetrichnaya zadacha o vdavlivanii kruglogo shtampa v uprugoe, ne-odnorodnoe po glubine poluprostranstvo. [Axisymmetric problem of round punch indentation in elastic nonuniform in depth half-space.] Izvestia: Mechanics of Solids, 1984, no. 2, pp. 73-77 (in Russian).
8. Vigderovich, I.E., Lamzyuk, V.D., Privarnikov, A.K. O reshenii granichnykh zadach teorii uprugosti dlya sloistykh tel proizvol´noy formy. [On solution of boundary value problems of elasticity theory for layered arbitrary shaped bodies.] IV Vsesoyuzn. s´´ezd po teoreticheskoy i prikladnoy mekhanike. Annotatsii dokladov. [IV All-Union Congress on Theoretical and Applied Mechanics. Abstracts.] Kiev: Naukova dumka, 1976, p. 86 (in Russian).
9. Aizikovich, S. М. Asymptotic solutions of contact problems of elasticity theory for media non-homogeneous with depth. Journal of Applied Mathematics and Mechanics, 1982, vol. 46, pp. 116-124.
10. Aizikovich, S.M., et al. Analytical solution of the spherical indentation problem for a half-space with gradients with the depth elastic properties. International Journal of Solids and Structures, 2002, vol. 39, iss. 10, pp. 2745-2772.
11. Aizikovich, S. М., Vasiliev, A. S. A bilateral asymptotic method of solving the integral equation of the contact problem for the torsion of an elastic halfspace inhomogeneous in depth. Journal of Applied Mathematics and Mechanics, 2013, vol. 77, pp. 91-97.
12. Vasiliev, A. S., et al. Axisymmetric contact problems of the theory of elasticity for inhomogeneous layers. ZAMM Zeitschrift fur Angewandte Mathematik und Mechanik, 2014, vol. 94, pp. 705-712.
13. Aizikovich, S. М, Vasiliev, A. S., Volkov, S.S. The axisymmetric contact problem of the indentation of a conical punch into a half-space with a coating inhomogeneous in depth. Journal of Applied Mathematics and Mechanics, 2015, vol. 79, pp. 500-505.
14. Vasiliev, A. S., Sadyrin, E.V., Fedotov, I.A. Kontaktnaya zadacha o kruchenii kruglym shtampom transversal´no-izotropnogo uprugogo poluprostranstva s neodnorodnym transversal´no-izotropnym pokrytiem. [Contact problem on torsion of transversely isotropic elastic half-space with inhomogeneous transversely isotropic coating by round die.] Vestnik of DSTU, 2013, vol. 70-71, no. 1-2, pp. 25-34 (in Russian).
15. Vasiliev, A. S., et al. Torsion of a circular punch attached to an elastic half-space with a coating with periodically depth-varying elastic properties. Archive of Applied Mechanics, 2016, vol. 86, iss. 7, pp. 1247-1254.
