employee
Moskva, Moscow, Russian Federation
student
Moskva, Moscow, Russian Federation
GRNTI 67.23 Архитектурно-строительное проектирование
BBK 386 Технология строительного производства
The article is devoted to the calculation of a bent plate of local discontinuous loadings. We use generalized equations of finite difference method (FDM). These equations allow to solve a problem taking into account the discontinuities of a required function, its first-order derivative and the right-hand side of a primitive differential equation within integration domain. The Germain–Lagrange dynamic plate differential equation comes to two numerical similarities. Obtained equations are set down for every computational point. The proposed method is shown in the example of the calculation of an unrestrained plate with pin-bearing support in the center and an unrestrained plate with pin-bearing support in four points under uniformly distributed load. The calculation data with the minimum number of partitions is compared to the known solution of S.P. Timoshenko and Finite Element Method (FEM). These results illustrate the convergence of solution, so numerical method can be applied.
bent plate, refined, isotropic, discontinuous loadings, local, computational solution, generalized equations of finite difference method
Для расчета тонкой изгибаемой плиты на локальные и разрывные нагрузки в работе использовались обобщённые уравнения метода конечных разностей (МКР). Численное решение сводится к составлению разностных уравнений, которые позволяют учитывать конечные разрывы искомой функции, правой части исходных дифференциальных уравнений, а также – разрывы производных функций. Решены следующие задачи: шарнирно опёртая плита, загруженная равномерно распределённой нагрузкой с опорой в центре и на 4-х опорах. При этом исследовался вопрос сходимости решения. Расчёт проводился при разном числе разбиений. Результаты сравнивались с известным решением [1].
Дифференциальные уравнения изгиба тонкой изотропной плиты [1] запишем в безразмерном виде:
(1)
(2)
где 
– интенсивность нагрузки в какой-либо точке; 
– коэффициент Пуассона;
– цилиндрическая жесткость; 
– сторона плиты; 
–прогиб.
Численные аналоги уравнений (1), (2) [2] на квадратной сетке с шагом h:
(3)
(4)
Часть (фрагмент) сетки, на которой строится решение показана на рис.1.
Рис 1. Шаблон с расчётными точками
Безразмерные изгибающие моменты определяются по формулам:
(5)
(6)
Для квадратной плиты в центральной точке 1:
(7)
Уравнения (1) и (2), записанные для всех внутренних точек плиты с учетом граничных условий, позволяют определить напряженно-деформированное состояние.
1. Рассмотрим квадратную шарнирно опёртую по контуру плиту с опорой в центре на действие равномерно распределённой нагрузки q=1. Для решения задачи реакцию, возникающую в колонне, заменим нагрузкой типа «крест» распределённой по линейному закону с максимальной интенсивностью r. Таким образом, задача сводится к расчёту плиты на совместное действие равномерно
распределённой нагрузки и нагрузки типа «крест», расположенной в центре и направленной в противоположную сторону. Данная нагрузка будет учтена в виде скачка равного величине r:
. При шарнирном опирании на контуре:
Принимаем 
.
Запишем уравнения (3) и (4) для каждой из шести расчетных точек плиты. Прогиб в центральной точке равен нулю, а неизвестной будет являться величина скачка r. Для дальнейших вычислений удобнее точки обозначать одним индексом, расчетная схема показана на рис. 2, в силу симметрии изображена только четверть плиты, на рис. 3 показана центральная часть плиты с изображением нагрузки типа «крест».
Рис. 2. Четверть расчетной схемы к задаче 1.
Рис. 3. Аппроксимация реакции в центральной точке
Приведем в качестве иллюстрации решения уравнения (3) и (4) для точек 1 и 2, где 
учитывает полосовую нагрузку.
(8)
Откуда
,
где
(9)
Безразмерные изгибающие моменты вычисляются по (5) с учётом (6) и (7) при 
:
(10)
(11)
Выполним расчет, следуя методике [1]. Под равномерной нагрузкой интенсивностью q пластинка вызовет в колонне реакцию R. Устранив из системы колонну получим шарнирно опёртую квадратную плиту, несущую лишь заданную нагрузку q, прогибы производимые этой нагрузкой - 
. Далее устранив нагрузку q и проложив в центре сосредоточенную силу получим прогибы 
. Из условия что пластинка в центральной точке не прогибается получим значение реакции 
. Значения моментов в расчётных точках получены методом суперпозиции.
В таблице приведены значения изгибающих моментов на опоре и в четверти пролёта, а также значение реакции в колонне при разном числе разбиения. Одновременно расчет выполнялся МКЭ с использованием программного комплекса ЛИРА-САПР 2013 R3.
Таблица 1
Результаты расчёта задачи 1
|
|
R |
|
Изгибающий момент в четверти пролёта |
|
|
1/4 |
-0.2946 |
-0.0261 |
||
|
1/6 |
-0.3170 |
-0.0443 |
|
|
|
1/8 |
-0.3283 |
-0.0570 |
0.001 |
0.0192 |
|
МКЭ |
- |
-0.0482 |
0.0009 |
0.019 |
|
по [1] |
-0.3584 |
-0.0588 |
0.0004 |
0.0174 |
Расчет проводился на сетке с разным шагом. Из таблицы видно, что полученные значения R на опоре увеличиваются с уменьшением шага. Особенность в центральной точке связана с характером сосредоточенного воздействия на плиту.
2. Рассмотрим теперь квадратную шарнирно опёртую плиту на четырёх опорах, на действие равномерно распределённой нагрузки q=1. Расчетная схема представлена на рис. 4. Система разрешающих уравнений аналогична первой задаче, за исключением того, что скачки учитываются в точке 4, а не в точке 1. Откуда получаем решение:
Безразмерные изгибающие моменты вычисляются по (5) с учётом (6) и (7) при 
:
(12)
(13)
В таблице приведены значения изгибающих моментов при разном числе разбиения.
Рис. 4. Четверть расчетной схемы к задаче 2
Таблица 2
Результаты расчёта задачи 2
|
|
h=1/6 |
h=1/9 |
||
|
№ точки |
4 |
5 |
6 |
момент на опоре |
|
|
-0.0109 |
0.00018 |
0.0066 |
-0.0168 |
|
МКЭ |
-0.0119 |
0.00018 |
0.0054 |
-0.0119 |
|
|
-0.0109 |
0.0095 |
0.0066 |
- |
|
МКЭ |
-0.0119 |
0.0079 |
0.0054 |
- |
Анализ результатов, приведенных в таблице 2, показывает, что при достаточно редком разбиении значения изгибающих моментов в расчетных точках близки к значениям полученным методом конечных элементов. Относительная погрешность момента в точке 4 (на опоре) при h=1/6 составляет 9 %. Это позволяет судить о сходимости результата на минимальной сетке. Предложенный алгоритм решения можно использовать как дополнительный вариант расчета, наряду с другими методами.
Выводы. Решение тестовых задач на ряде сеток и использование принципа суперпозиции позволило подтвердить достоверность полученных результатов и решить новые задачи о расчете безбалочного перекрытия.
1. Timoshenko S.P., Voynovskiy-Kriger S. Plastinki i obolochki per. s angl. M., Nauka, 1966. 635 s.
2. Gabbasov R.F., Gabbasov A.R., Fila-tov V.V. Chislennoe postroenie razryvnyh resheniy zadach stroitel'noy mehaniki. M.: Izd-vo ASV, 2008. 280 s.
3. Kiselev V.A. Raschet plastin. M: Stroyizdat, 1973. 151 s.
4. Rukovodstvo po proektirovaniyu zhe-lezobetonnyh konstrukciy s bezbalochnymi perekrytiyami / NII betona i zhelezobetona Gosstroya SSSR, Centr. n.-i. i proekt.-eksperim. in-t prom. zdaniy i soor. Gosstroya SSSR, Ural. proekt. i n.-i. in-t Gosstroya SSSR. M.: Stroyizdat, 1979. 63 s.
5. Vaynberg D.V. Spravochnik po prochno-sti, ustoychivosti i kolebaniyam plastin. K.: Budivel'nik, 1973. 488 s.
6. Mihaylov B.A. Plastinki i obolochki s razryvnymi parametrami. L.: Izd-vo Le-ningradskogo universiteta, 1980. 196 s.
7. Zolotov A.B., Akimov P.A., Sidorov V.N. Mozgaleva M.L. Chislennye i analitiche-skie metody rascheta stroitel'nyh kon-strukciy. M.: Izd-vo ASV, 2009. 336 s
8. Vardanyan G.S., Andreev V.I., Atarov N.M., Gorshkov A.A. Soprotivlenie materia-lov s osnovami teorii uprugosti i plastich-nosti. Izd-vo: M.: Infra-M; izdanie 2-e, ispr. i dop. 2011. 638 s.
9. Li C., Zeng F. Finite difference methods for fractional differential equations // Interna-tional Journal of Bifurcation and Chaos in Ap-plied Sciences and Engineering. 2012. T. 22. № 4. S.1230014
10. Samohvalova E.O., Ivanov A.D. Styk kolonny s bezbalochnym beskapitel'nym pe-rekrytiem v monolitnom zdanii. Inzhener-no-stroitel'nyy zhurnal. 2009. № 3. S. 33-37.
11. Sharipov L.Sh., Muminov I.S. Bezbalochnoe perekrytie dlya stroitel'stva mnogoetazhnyh zdaniy iz monolitnogo zhele-zobetona. Vestnik Tadzhikskogo tehnicheskogo universiteta. 2014. T. 4. № 28. S. 107-110.
12. Rogalevich V.V., Timashev S.A. Novyy priblizhennyy metod rascheta gibkih plastin postoyannoy i peremennoy zhestkosti. Akademicheskiy vestnik UralNII-Proekt RAASN. 2012. № 1. S. 52-56.
13. Abrashitov V.S., Zhukov A.N., Karev M.N., Kislicin N.M., Lodyanoy K.A. Raschet kvadratnoy plastiny na izgib. For-mirovanie lokal'noy matricy zhestkosti. V sbornike: Effektivnye stroitel'nye kon-strukcii: teoriya i praktika sbornik statey XVI Mezhdunarodnoy nauchno-tehnicheskoy konferencii. Pod redakciey N.N. Las'kova 2016. S.24-35.
14. Zhilkin V.A. Raschet sharnirno opertyh pryamougol'nyh plastin metodom konechnyh raznostey v MathCAD. APK Rossii. 2017. T. 24. №1. S. 119-129.
15. Bayshev A.Yu., Bayshev Yu.P., Golubeva E.A., Godzevich E.V., Plohih V.I. Innovacionnye podhody k arhitekturno-stroitel'nomu proektirovaniyu zhelezobe-tonnyh perekrytiy mnogoetazhnyh zdaniy. Akademicheskiy vestnik UralNIIproekt RA-ASN. 2017. №1 (32). S. 69-73.
