Введение. Для момента трещинообразования изгибаемых железобетонных элементов в отечественной научно-технической и нормативной литературе известна формула:

,                        (1)

где  – нормативная прочность бетона при растяжении;  – упругопластический момент сопротивления сечения, равный

,                               (2)

где  – упругий момент сопротивления приведённого сечения; γ – коэффициент пластичности.

Впервые она была предложена в работе [1] и после вошла в российские Нормы по проектированию железобетонных конструкций. Однако значение коэффициента γ для прямоугольных сечений в СНиП 2.03.01-84* было принято равным 1,75, а в актуализированном СП 63.13330.2012 – равно 1,3. Разница в значениях составляет почти 35 %. В связи с этим возникает вопрос: по какой методике считать? какая из них даёт более близкие к эксперименту результаты?

При этом стоит заметить, что в евпропейских нормах, как описано в [2], такого понятия как «расчёт на образование трещин» нет, а для фигуруриюущего в расчётах деформаций момента появления трещин не приведено никакого математического выражения. В руководстве к Еврокоду 2 [3] этот момент предлагается определять приближенно, как для упругого тела, причём рассматривая только бетонное сечение и исключая арматуру (в таком случае коэффициент γ=1,0). Такой же подход принят и в американской научно-технической и нормативной литературе [4].

Методология. К ответу на поставленный выше вопрос подойдём двояко:

1 – теоретически: произведём аналитический разбор формул (1) и (2) с использованием общих принципов сопротивления материалов и механики железобетона;

2 – практически: выполним сравнение результатов расчёта по двум методикам с известными в научной литературе опытными данными для .

Основная часть. Расчёт упругого момента сопротивления приведённого сечения –  – одинаков в обеих методиках и основывается на известных выражениях сопротивления однонаправленных композитов. При выводе формулы упругопластического момента сопротивления сечения –  – могут быть нюансы, поскольку напрямую этот параметр в методиках не вычисляется. Поэтому для получения расчётного выражения  за основу примем допущения методики СНиП 2.03.01-84* и рассмотрим рис. 1, на котором показаны схема усилий, напряжений и деформаций для бетонного и железобетонного сечений, находящихся в стадии Iа НДС. Вначале выполним анализ для неармированного сечения. Для этого запишем два уравнения равновесия (принимая ), одно совместности деформаций и два физических соотношения соответственно:

                   (3)

                          (4)

                                (5)

                            (6)

                    (7)

Рис. 1. Схемы усилий, напряжений и деформаций бетонного сечения (а) и железобетонного (б); диаграмма

деформирования бетона в растянутой зоне (в): 1 – эпюра нормальных напряжений в растянутой зоне бетона

по СНиП 2.03.01-84*; 2 – то же по СП 63.13330.2012

При этом выражение (5) получается из подобия соответствующих геометрических
фигур – треугольников – на эпюре деформаций. Необходимо также записать дополнительное физическое соотношения для растянутого бетона в конце стадии I:

                        (8)

Переходя от усилий к напряжениям в формуле (3), получим:

             (9)

Для дальнейших рассуждений примем следующее выражение, характеризующее диаграмму деформирования рис. 1, в:

,                        (10)

где k – некий коэффициент, который, как показывает анализ расчётных предпосылок СНиП 2.03.01-84*, может быть принят равным 2. Его введение позволяет в дальнейших расчётах использовать только нормируемый модуль  и исключить секущий .

Из условия (5) вытекает , а из (8): . В рассматриваемой методике присутствует ещё одно допущение: . Поставляя полученные выражения в (6), будем иметь:

                             (11)

Подставляя (11) в (9), придём к следующему выражению: . Сокращая и приводя подобные, получим:

   (12)

где  – упругий момент сопротивления бетонного сечения, а выражение в скобках – есть коэффициент пластических деформаций:

                        (13)

В случае k=2:  и , что соответствует ранее полученной Гвоздевым А.А. формуле.

Стоит отметить, что значение  в формуле (13) (т.е. если не учитывать пластические деформации) достигается при k=0,5, что некорректно с точки зрения физического смысла этого коэффициента, поскольку в этом случае предельные деформации  должны совпадать с упругими , т.е. должно быть k=1. Однако, к такому результату привели изначальные предпосылки методики, упрощающие расчёт.

Сравнительный анализ методик двух Нормативов показывает, что их расчётные предпосылки несколько отличаются. Так, в отличии от «старого» СНиПа в актуализированном СП:

1 – эпюра напряжений в растянутой зоне не прямоугольная, а трапециевидная;

2 – коэффициент  (в СП 63.13330.2012 для двухлинейной диаграммы используется обозначение  вместо );

3 – модуль деформации бетона при растяжении не равен модулю при сжатии –  
(  в зависимости от класса бетона).

Уточнение первой предпосылки повлияет на выражение (9), которое примет вид:

.

Упрощая и подставляя , получим:

        (14)

По аналогии с предыдущим использовать далее формулу (11), подставляя её в (14), не позволяет предпосылка . Поэтому формула (11) должна быть изменена следующим образом:

,            (15)

где  – коэффициент, зависящий от класса бетона (для бетонов обычных классов ; например, для В3,5, В20 и В60 соответственно

, , ).

Подставляя (15) в (14), будем иметь:

                          (16)

В этом случае коэффициент пластических деформаций равен:

                    (17)

Таким образом, при k=1,875 и  получим , что не соответствует принятому в актуализированном СП . Видимо, значение этого коэффициента взято по каким-то иным соображениям, т.е. вопреки теоретическим предпосылкам, заложенным в методику. Отметим, что если принять , то по формуле (17) . А если при этом взять k=2, то , что хорошо согласуется с результатами формулы (13) – разница всего 3,7%.

Также стоит отметить, что значение γ=1,0 в формуле (17) (т.е. если не учитывать пластические деформации) достигается при k=0,732…0,934, что, как и в предыдущем случае для формулы (13) некорректно с точки зрения физического смысла этого коэффициента. Однако, если принять , т.е. , то получим k=1. Тогда методика становится логически непротиворечивой.

Рассуждая совершенно аналогично для армированного элемента (рис. 1, б) придём к следующей формуле для приведённого момента трещинообразования:

                          (18)

где выражение во внешних скобках – есть упруго-пластический момент сопротивления приведённого сечения – . Известное выражение для упругого момента сопротивления приведённого сечения:

                             (19)

позволяет вычислить коэффициент пластических деформаций:

                                           (20)

Если подставить выражения для  и  в (20), то получится довольно громоздкая формула, которую приводить не будем, но результаты расчёта по ней представим в табличной форме ниже (табл. 1, значения вне скобок). При этом рассмотрены изгибаемые железобетонные элементы только с одиночным армированием в растянутой зоне – стержнями из арматуры, имеющей модуль деформаций равный 200000 МПа.

Таблица 1

Результаты расчёта коэффициента γ

Кроме того, в табл. 1 в скобках приведены значения γ, вычисленные по диаграммной методике [5, 6].

По полученным данным можно сделать следующие выводы:

– для рассмотренных железобетонных элементов коэффициент пластических деформаций получился больше, чем для бетонных – до 12,6 %
( );

– такой не учёт влияния арматуры на пластические деформации растянутого бетона в Нормах занижает значение момента трещинообразования и, как следствие, в некоторых случаях должен приводить к заметному перерасходу материалов;

– с увеличением класса бетона по прочности коэффициент γ уменьшается, но незначительно, оставаясь практически постоянным, поэтому за расчётное значение этого коэффициента можно принять величину, соответствующую максимальному нормируемому классу бетона (для рассмотренных элементов – В60);

– с увеличением процента армирования от
0,1 % до 10 % коэффициент γ увеличивается
до 12,0 %;

– диаграммная методика [5, 6] отличается по γ от предложенных формул (19,20) на
+19,4...-12,3 %, что зависит от класса бетона и коэффициента армирования;

– несмотря на заметное различие в значениях γ в обоих подходах неизменно сохраняется общая для них тенденция: с увеличением класса бетона γ несколько понижается, а с увеличением процента армирования – γ растёт, причём существенно.

На основе полученных теоретических результатов и с учётом выполненного сравнения с экспериментами для уточнения значения коэффициента γ предлагается следующая зависимость:

      (21)

При этом  только при .

Перейдём к практической части работы: сравнению полученных теоретических результатов с экспериментальными данными. Сравнение представлено в таблице 2.

Таблица 2

Сравнение теоретических и экспериментальных данных M_crc, кН·м