Sankt-Peterburg, St. Petersburg, Russian Federation
This paper is devoted to analysis of Dandelin spheres problem based on the constructive geometric approach. In the paper it has been demonstrated that the traditional approach used to this problem solving leads to obtaining for only a limited set of heterogeneous solutions. Consideration of the problem in the context of plane and space’s projective properties by structural geometry’s methods allows interpret this problem’s results in a new way. In the paper it has been demonstrated that the solved problem has a purely projective nature and can be solved by a unified method, which is impossible to achieve if conduct reasoning and construct proofs only on affine geometry’s positions. The research’s scientific novelty is the discovery and theoretical justification of a new classification feature allowing classify as Dandelin spheres the set of spheres pairs with imaginary tangents to the quadric, as well as pairs of imaginary spheres with a unified principle for constructive interrelation of images, along with real solutions. The work’s practical significance lies in the extension of application areas for geometric modeling’s constructive methods to the solution of problems, in the impro vement of geometric theory, in the development of system for geometric modeling Simplex’s functional capabilities for tasks of objects and processes design automation. The algorithms presented in the paper demonstrate the deep projective nature and interrelation of such problems as Apollonius circles and spheres one, Dandelin spheres one and others, as well as lay the groundwork for researches in the direction of these problems’ multidimensional interpretations. The problem solution can be useful for second-order curves’ blending function realization by means of circles with a view to improve the tools of CAD-systems’ design automation without use of mathematical numerical methods for these purposes.
geometric modeling, projective geometry, imaginary geometry, Dandelin spheres, quadric, second-order curve, involution, conic, focus, Simplex.
Задача о сферах Данделена является одной из наиболее известных геометрических задач, связывающих квадратичные образы трехмерного пространства и плоскости, имеющая изящную визуальную интерпретацию. Впервые геометрическая конструкция, обосновывающая существование двух сфер, касающихся прямого кругового конуса и пересекающей его плоскости, была получена Данделеном [1], а в дальнейшем распространена и на другие разновидности квадрик [3; 6; 21; 23; 28]. В исходной постановке задача о шарах Данделена утверждает следующее: пусть дан прямой круговой конус; если конус пересекается плоскостью, то можно построить две сферы, единовременно касающиеся и конуса, и сферы, причем касание плоскости происходит в фокальных точках коники, возникающей от пересечения плоскости и конуса. Как уже было отмечено ранее, задача о сферах Данделена может быть распространена на случай произвольной квадрики вращения, а не только прямого кругового конуса, однако в этом случае сферы, касающиеся поверхности и плоскости в фокальных точках кривой сечения, существуют не всегда [13]. Задача данной статьи — дать конструктивное [2] проективное обоснование решения задачи о сферах Данделена и показать, что к таким сферам следует причислять и иные сферы (как действительные, так и мнимые), которые выпадали из поля зрения исследователей данной задачи. Предлагаемое в статье обобщенное решение призвано продемонстрировать, что классификация объектов задачи должна осуществляться не на чисто визуальной оценке их композиции [23; 28], а на более глубоких взаимосвязях, проявляющих единый принцип их геометрического взаимодействия. В результате анализа алгоритма действия конструк-
тивной геометрической схемы, являющейся причиной визуального причисления наблюдаемых сфер к объектам особого типа, будет сделан вывод о том, что класс объектов, называемых сферами Данделена, должен быть расширен сферами, ранее к таковым не причислявшимися. На начальном этапе рассуждений рассмотрим конструктивный алгоритм построения сфер Данделена для квадрики вращения, используя для этих целей модель G2 2 3, — эпюр Монжа [5; 26]. Для анализа задачи будет достаточно построить только одну проекцию данной модели. Пусть квадрика σ будет задана очерком s и осью вращения i (рис. 1). Без потери общности плоскость сечения зададим следом α. Для определения местоположения фокальных точек, в которых сферы должны будут касаться плоскости, используем метод дополнительного ортогонального проецирования и построим кривую a, возникающую от пересечения плоскости и квадрики. Результат такого пересечения — коника, для однозначного определения которой необходимо наличие пяти известных точек. Две из них (P1 и P2) уже имеются, поскольку они
образуются от пересечения следа плоскости α и очерка s. Для построения недостающих точек проведем следы двух вспомогательных плоскостей β и γ, ортогональных к оси вращения i. Линии b и g пересечения плоскостей β и γ с поверхностью квадрики — суть окружности, диаметры которых определяются точками пересечения очерка квадрики со следами. Зная точки пересечения следа α со следами β и γ, определим превышения точек Δb и Δg, которые необходимо отложить от этих точек по направлению, перпендикулярному к следу α. Таким образом, недостающие точки P3, P4 и P5 искомого конического сечения a найдены. Теперь при наличии самой коники a не составит труда найти ее фокальные точки F1 и F2, для чего можно использовать любой известный конструктивный алгоритм, например [30].
1. Adler A. Teorija geometricheskih postroenij [Theory of geometric constructions]. Leningrad, Uchpedgiz Publ., 1940. 232 p. (in Russian)
2. Akopyan A.V., Zaslavskiy A.A. Geometricheskie svoystva krivyh vtorogo poryadka [Geometric properties of second order curves]. Moscow, MTsNMO Publ., 2007. 136 p. (in Russian)
3. Bakelman I.Ya. Inversija [Inversion]. Moscow, Nauka Publ., 1966. 79 p. (in Russian)
4. Valkov K. I. Vvedenie v teoriju modelirovanija [Introduction to the theory of modeling]. Leningrad, LISI Publ., 1974. 152 p. (in Russian)
5. Vasilieva V.N., Heifetz A.L. Realizacija obobshhennoj teoremy Dandelena dlja proizvol'nyh kvadrik vrashhenija v AutoCAD [The implementation of the generalized theorem is given for arbitrary rotation quadrics in AutoCAD]. Geometrija i grafika [Geometry and graphics]. Moscow, INFRA-M Publ., 2014, V. 2, pp. 9-14. DOI:https://doi.org/10.12737/5584. (in Russian)
6. Voloshinov D.V. Geometricheskaja laboratorija. Novyj geometricheskij instrument [Geometric laboratory. New geometric tool]. VII Mezhdunarodnaya internet-konferentsiya KGP-2017 [VII international online conference, HACO-2017]. Available at: http://dgng.pstu.ru/conf2017/papers/60 (in Russian)
7. Voloshinov D.V. O perspektivah razvitija geometrii i ee instrumentarija [About prospects of development of geometry and its tools]. Geometrija i grafika [Geometry and graphics]. Moscow, INFRA-M Publ., 2014, V. 1, I. 1, pp. 15-21. DOI:https://doi.org/10.12737/3844. (in Russian)
8. Voloshinov D.V., Solomonov K.N. Konstruktivnoe geometricheskoe modelirovanie kak perspektiva prepodavanija graficheskih disciplin [Constructive geometric modeling as a perspective of teaching graphic disciplines]. Geometrija i grafika [Geometry and graphics]. Moscow, INFRA-M Publ., 2013, V. 1, I. 2, pp. 10-13. DOI:https://doi.org/10.12737/778. (in Russian)
9. Voloshinov D.V. Konstruktivnoe geometricheskoe modelirovanie. Teorija, praktika, avtomatizacija [Constructive geometric modeling. Theory, practice, automation]. Saarbrücken: Lambert Academic Publ., 2010. 355 p. (in Russian)
10. Volberg A.O. Osnovnye idei proektivnoj geometrii [Basic ideas of projective geometry]. Moscow-Leningrad, Uchpedgiz Publ., 1949. 188 p. (in Russian)
11. Gil'bert D., Kon-Fossen S. Naglyadnaya geometriya [Visual Geometry]. Moscow, Nauka Publ., 1981. (in Russian)
12. Hirsch A.G. Zadanie i postroenie kvadriki [Definition and Construction of the quadric]. Geometrija i grafika [Geometry and graphics]. Moscow, INFRA-M Publ., 2017, V. 5, I. 2, pp. 39-44. (in Russian)
13. Hirsh A.G. Mnimosti v geometrii [The imaginary in geometry]. Geometrija i grafika [Geometry and graphics]. Moscow, INFRA-M Publ., 2014, V. 2, I. 2, pp. 9-4. DOI:https://doi.org/10.12737/5583. (in Russian)
14. Hirsh A.G. Kompleksnaya geometriya - evklidova i psevdoevklidova [Complex geometry - Euclidean and pseudo-Euclidean]. Moscow, Maska Publ., 2013. (in Russian)
15. Glagolev N.A. Proektivnaja geometrija [Projective geometry]. Moscow, Vysshaya shkola Publ.,1963. 342 p. (in Russian)
16. Dorfman A.G. Optika konicheskih sechenij [Optics of conical sections]. Moscow, Fizmatgiz. Publ., 1959. 32 p. (in Russian)
17. Zhizhilkin I.D. Inversija [Inversion]. Moscow, MTsNMO Publ., 2009. 72 p. (in Russian)
18. Ivanov G.S., Dmitrieva I.M. O zadachah nachertatel'noj geometrii s mnimymi reshenijami [On problems of descriptive geometry with imaginary solutions]. Geometrija i grafika [Geometry and graphics]. Moscow, INFRA-M Publ., 2015, V. 3, I. 2, pp. 3-8. DOI:https://doi.org/10.12737/12163. (in Russian)
19. Coxeter G.S., Greitzer S.P. Novye vstrechi s geometriej [A new meeting with the geometry]. Moscow, Nauka Publ., 1978, V. 14, 224 p. (in Russian)
20. Litzman V. Staroe i novoe o kruge [Old and new about the circle]. Moscow, Fizmatgiz Publ., 1960. 60 p. (in Russian)
21. Korotky V.A. Dvojnoe prikosnovenie v puchke poverhnostej vtorogo porjadka [Double tangency in a bunch of surfaces of the second order]. Geometrija i grafika [Geometry and graphics]. Moscow, INFRA-M Publ., 2014, V. 1, pp. 9-14. DOI:https://doi.org/10.12737/3843. (in Russian)
22. Loginovsky A.N., Kheifetz A.L. Reshenie zadach na osnove parametrizacii v pakete AutoCAD [Solution of problems based on the parameterization in AutoCAD package]. Geometrija i grafika [Geometry and graphics]. Moscow, INFRA-M Publ., 2013, V. 2, pp. 61-64. DOI:https://doi.org/10.12737/793. (in Russian)
23. Peklich V.A. Mnimaja nachertatel'naja geometrija [Imaginary descriptive geometry]. Moscow, ASV Publ., 2007. 104 p. (in Russian)
24. Rosenfeld B.A. Apollonij Pergskij [Apollonius of Perga]. Moscow, MTsNMO Publ., 2004. 176 p. (in Russian)
25. Sobolev N.A. Obshhaja teorija izobrazhenij [General image theory]. Moscow, Archtecture S. Publ., 2004. 672 p. (in Russian)
26. Florensky P.A. Mnimosti v geometrii. Rasshirenie oblasti dvuhmernyh obrazov geometrii (opyt novogo istolkovanija mnimostej) [Imaginary in geometry. Expansion of the area of two-dimensional images of geometry (experience of new interpretation of imaginary)]. Moscow, Lazur Publ., 1991. 96 p. (in Russian)
27. Kheifetz A.L. Koniki kak sechenija kvadrik ploskost'ju (obobshhennaja teorema Dandelena) [Conics as sections of quadrics by plane (a generalized theorem of Dandelin]. Geometrija i grafika [Geometry and graphics]. Moscow, INFRA-M Publ., 2017, V. 5, I. 2, pp. 45-58. (in Russian)
28. Chetverukhin N.F. Proektivnaja geometrija [Projective geometry]. Moscow, Prosveshenie Publ., 1953. 360 p. (in Russian)
29. Shal' M. Istoricheskiy obzor proiskhozhdeniya i razvitiya geometricheskikh metodov [Historical overview of origin and development of geometric methods]. Moscow, Moscow Mathematical Society Publ., 1883. (in Russian)
30. Dandelin G. Mémoire sur l’hyperboloïde de révolution, et sur les hexagones de Pascal et de M. Brianchon // Nouveaux mémoires de l’Académie Royale des Sciences et Belles- Lettres de Bruxelles, V. III., 1826, pp. 3-16.
