Algorithm and program of calculation and display on map a trajectory of satellite that has a circular orbit with preset height, inclination and ascension are developed. The algorithm is based on satellite’s position representation in space on circular orbit at any time as two quaternions: satellite’s position vector P and orbit’s quaternion J. As imaginary parts of these quaternions at any time are mutually perpendicular vectors, their dot product is equal 0, that allows to calculate unambiguously the components of satellite’s position vector P as functions of time and orbit’s quaternion component J.
orbits of satellites, cartographical projections, quaternions.
Задача отображения траектории спутника на карту поверхности планеты в определенной системе картографических проекций представляет собой частный случай задачи преобразования трехмерных координат точек на поверхности планеты, являющихся точками пересечения поверхности планеты с отрезками, соединяющими текущие положения спутника с центром масс планеты, в двухмерные координаты заданной картографической проекции.
Для решения данной задачи предлагается использовать упрощенную модель. Она подразумевает следующие допущения:
- планета является идеальным шаром фиксированного радиуса R;
- орбиты являются идеальными окружностями с центрами, совпадающими с центром планеты, и имеют радиус (R + H) для любого из спутников, где Н — расстояние от спутника до поверхности планеты;
- вращение планеты относительно оси происходит с равномерной угловой скоростью без учета явления прецессии.
Существует множество различных методов решения данной задачи. Один из них основан на представлении положения спутника в пространстве на круговой орбите в любой момент времени в виде двух кватернионов: вектора положения спутника P и орбиты J. Действительная компонента кватерниона орбиты определяется как косинус половины дугового угла окружности орбиты между вектором начального и текущего положения спутника, а нормальный вектор плоскости орбиты определяет мнимые компоненты. Поскольку мнимые части этих кватернионов в любой момент времени суть взаимно перпендикулярные векторы, их скалярное произведение равно 0, что позволяет однозначно рассчитать компоненты вектора Р как функции времени и компонент кватерниона орбиты J [1].
Если рассматривать вектор Р как кватернион, не имеющий действительной компоненты, мнимые компоненты вектора Р определяются из соотношения:
где: N — начальное положение спутника, например, в момент пересечения экваториальной плоскости; определяется углом восхождения орбиты (рис. 1).
Рис. 1
1. Branets V.N., Shmyglevskiy I.P. Primenenie kvaternionov v zadachakh orientatsii tverdogo tela. - M: Glavnaya redaktsiya fiziko-matematicheskoy literatury, Izd-vo «Nauka», 1973.
2. Miloserdov E.P. Nekotorye svoystva sovokupnostey perspektivno-azimutal'nykh izobrazheniy poverkhnosti sfery. Tez. dokl. Mezhdunar. nauchn.-tekhn. konf. «10 Benardosovskie chteniya». - Ivanovo, 2001. T. 2 - S. 56.
