Belgorod, Belgorod, Russian Federation
VAC 05.17.00 Химическая технология
VAC 05.23.00 Строительство и архитектура
GRNTI 20.53 Технические средства обеспечения информационных процессов
By means of stationary discrete vortexes a mathematical model of flow separation at the entrance to a round thin-walled suction duct at the presence of approach flow was constructed. There were determined: the shape of separation area, the efficient suction radius and the jet contraction coefficient in a suction inlet depending on the approach flow speed. The extreme trajectories of dust particles of various sizes and the dependence of their aspiration coefficients on the velocity of low-speed approach flow were constructed.
flows near suction inlets, separation flows, discrete vortex methods, dust particles, extreme trajectories
1. Введение
Круглый всасывающий канал является элементом многих технологических устройств. В частности, это местный вентиляционный отсос для улавливания загрязняющих веществ либо элемент устройства для отбора проб аэрозолей в измерительные приборы.
Отрывное течение на входе в щелевидный всасывающий канал при наличии набегающего потока исследовалось в работе [1]. С использованием методов теории функций комплексного переменного была определена форма отрывной области, ширина эффективного всасывания и коэффициент сжатия струи.
Течение на входе в круглый тонкостенный патрубок при наличии набегающего потока исследовалось в работах [2, 3]. Использовался как метод граничных элементов без учета отрыва потока, так и метод расчета вязкой несжимаемой жидкости методом конечных объемов в среде программы FLUENT.
Отрывные течения на входе во всасывающие каналы, в том числе круглой формы, при помощи стационарных дискретных вихрей, исследованы в работах [4–6], при использовании нестационарных вихревых особенностей – в работах [7–12], с использованием теории функций комплексного переменного – в работах [13–15], но нигде не учитывался набегающий поток.
Целью настоящей статьи является разработка с использованием стационарных дискретных вихрей модели отрывного течения на входе во всасывающий круглый канал при наличии набегающего потока, определение радиуса эффективного всасывания, коэффициента сжатия струи, формы отрывной области. Представляет интерес изучение поведения пылевых частиц в данных условиях.
2. Разработка математической модели и вычислительного алгоритма
Для разработки математической модели отрывного течения на входе в круглый отсос-раструб воспользуемся дискретными бесконечно тонкими вихревыми кольцами. Границу отсоса раструба дискретизируем набором присоединенных вихревых колец и контрольных точек (произвольных точек на окружности, охватывающей отсос-раструб). Свободная поверхность тока начинается на острой кромке раструба, для нее задается начальное приближение. Дискретная модель в меридиональной полуплоскости изображена на рис.1. Крестиками изображены контрольные точки, в них выполняется условие непроницаемости – скорость вдоль направления нормали равна нулю. Закрашенные кружочки - это присоединенные кольцевые вихри. Полые кружочки - свободные вихревые кольца.
Обозначим через N – количество присоединенных вихревых колец; – количество свободных вихревых колец;
– контрольная точка,
.
Скорость в произвольной точке x вдоль направления вычисляется с помощью формулы:
, (1)
где – точка расположения q-го присоединенного вихревого кольца с циркуляцией
,
– заданная циркуляция свободного вихревого кольца,
– точка расположения q-го свободного вихревого кольца.
Рис.1. Отрывное течение на входе в круглый всасывающий канал:
а) к постановке задачи; б) дискретизация границы области
Функция выражает собой влияние на точку x вихревого кольца с единичной циркуляцией, расположенного в точке
.
,
,
,
;;
;
;
взяты из таблиц [16].
Если расстояние от точки x до точки меньше шага дискретности
, то данная функция вычисляется по формуле:
, где
– шаг дискретности (расстояние между соседними вихревыми кольцами). В случае
функция
.
Вычислительный алгоритм строится следующим образом. После задания точек расположения присоединенных вихрей и начального приближения для свободных вихрей формируется матрица . Начинается первая итерация. Формируется столбец свободных членов:
. Решается система линейных алгебраических уравнений:
, откуда определяются неизвестные
. Строится свободная линия тока, начиная с острой кромки A. С использованием формулы (1), при
вычисляется составляющая скорости
, при
– составляющая скорости
. Последующая точка
определяется из предыдущей
с использованием формул:
где
- шаг, который выбирается достаточно малым.
В случае достижения свободной поверхностью тока стенки патрубка, она отодвигается от стенки на расстояние шага дискретности.
Свободная поверхность тока будет состоять из свободных вихревых колец, удаленных друг от друга на расстояние шага дискретности . То есть, в процессе вычислений, на каждом этапе проверяется расстояние до предыдущего свободного вихревого кольца. Как только в некоторой точке это расстояние становится равным, с точностью до малой погрешности, шагу дискретности, то в эту точку помещается следующее вихревое кольцо. Построение продолжается до сечения, в котором дискретная модель стенок патрубка прерывается.
На этом первая итерация заканчивается. Заметим, что значение при этом может изменится. Также задаются новые значения элементов массива расположения свободных вихревых колец, которые будут использоваться на следующей итерации.
Итерационный процесс заканчивается, если положение свободной поверхности тока в заданной внутри патрубка точки перестает изменяться с точность до заданной погрешности. Либо можно задать фиксированное количество итераций, уточняющих положение свободной поверхности тока.
После находятся параметры отрывной области течения.
Средняя скорость внутри трубы определялась из выражения
, (2)
где - скорость в точке
, где
;
,
. Суммирование в числителе (2) производилось до тех пор пока
.
Траектории пылевых частиц строились с использованием дифференциального уравнения ее динамики [7]:
, (3)
где - скорость воздуха;
- плотность воздуха;
- скорость частицы;
- плотность частицы; dе - эквивалентный диаметр частицы;
- ускорение свободного падения;
- площадь миделевого сечения частицы; c - коэффициент ее динамической формы; y - коэффициент сопротивления воздуха, вычисляемый по формулам Стокса, Клячко, Адамова:
,
, где
,
- коэффициент динамической вязкости воздуха.
Уравнение (3) преобразуется к системе обыкновенных дифференциальных уравнений, которая решается методом Рунге-Кутта четвертого порядка точности.
Определение предельной траектории осуществлялось следующим с использованием метода половинного деления. Задавался диаметр пылевой частицы, начальное ее положение ,
. Начальные скорости полагались равными нулю. В переменную
помещалась ордината частицы, улавливаемой патрубком, а в переменную
- осаждающейся. В начальном приближении полагалось
,
. Переменная
. Далее организовывался цикл, который выполняется до тех пор пока истинно условие
. Внутри организовывался цикл, где строились траектории частиц. Он выполнялся до тех пор, пока
и
. При выходе из внутреннего цикла проверялось условие
. Если оно истинно, то переменная
, в противном случае
. Далее величины получают следующие значения:
,
,
,
,
. На этом внешний цикл заканчивается. Описанный алгоритм верен, когда скорость набегающего восходящего потока выше скорости витания пылевых частиц. Пылевые частицы не будут улавливаться отсосом, если скорость их витания больше скорости восходящего воздушного потока. Только некоторые такие частицы с точкой вылета выше всасывающего отверстия улавливаются в результате совокупного действия спектра всасывания и набегающего потока.
Рис. 2. Линии тока на входе в патрубок при разных скоростях набегающего потока:
а) ;
; b)
;
; c)
;
; d)
;
; e)
;
; f)
;
; g)
; h)
;
3. Результаты расчета и их обсуждение
Картины течения при разных скоростях набегающего потока изображены на рис.2. Пунктиром изображено примерное положение разделительной линии тока. Как видно, при увеличении скорости набегающего потока (рис. 2.a-f) и стремлении отношения скоростей , точка разделения линий тока стремится к острой кромке A. При отсутствии набегающего потока, либо в случае нисходящего потока, такой разделительной линии тока нет (рис. 2.g-h).
Зависимости радиуса эффективного всасывания и коэффициента сжатия струи практически линейны относительно :
, при
и
при
, (4)
при
. (5)
Угол между прямыми (4) и (5) порядка 5 градусов. На рис.3 приведена для сравнения ширина эффективного всасывания для щелевидного всасывающего отверстия [1].
Рис. 3. Зависимость эффективного радиуса патрубка от величины :
1 – изменение безразмерной величины эффективного радиуса ; 2 – изменение коэффициента
сжатия струи ; 3 – изменение безразмерной величины эффективного всасывания
для щелевидного отверстия [1]
Предельные траектории (рис.4) имеют параболическую форму, но ветви параболы могут быть направлены в разные стороны. При малых скоростях набегающего потока (рис.4 а) ветви предельных траекторий частиц диаметрами 40мкм, 50мкм, 80 мкм направлены вдоль стенок патрубка, т.е. по направлению потока. При увеличении скорости набегающего потока до 0,25м/с, такая траектория остается только для частиц диаметром 80 мкм (рис.4 b). В остальных представленных расчетах ветви направлены в противоположную сторону.
Как видно из рис.5 коэффициент аспирации имеет разный характер поведения в зависимости от диаметров пылевых частиц и скорости набегающего потока. Он может возрастать (кривые 1-2), иметь немотонный характер (кривая 3) и убывать (кривая 4) при возрастании диаметра пылевых частиц.
Заключение
Найденные зависимости радиуса эффективного всасывания, коэффициента сжатия струи и формы отрывной области, а также некоторые полученные сведения о поведении пылевых частиц на входе в круглый всасывающий канал, могут быть полезны при решении задач аэродинамики обеспыливающей вентиляции.
В данной работе не удалось рассмотреть случай, когда набегающий поток имеет скорость выше, чем скорость во всасывающем канале. Для этого случая необходимо изменение математической модели. При задании величины скорости во всасывающем канале, а не циркуляции на свободной линии тока, данную задачу возможно решить.
Рис. 4. Предельные траектории пылевых частиц: a) ;
b) ; с)
; d)
; e)
Рис. 5. Зависимость коэффициента аспирации
от диметра пылевых частиц при разных скоростях набегающего потока: 1 – ;
2 – ; 3 –
; 4 –
*Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 16-08-00074_а).
1. Varsegova E.V., Posohin V.N. O forme otryvnyh zon na vhode v schelevoy vsasyvayuschiy patrubok // Izvestiya Kazanskogo gosudarstvennogo arhitekturno-stroitel'nogo universiteta. 2015. № 3. S. 98-102.
2. Gil'fanov A.K., Zaripov Sh.H. Matematicheskie modeli aspiracii aerozoley v tonkostennye probootborniki. Kazan': Kazan. un-t, 2012. 120 s.
3. Gil'fanov A.K., Zaripov Sh.H., Maklakov D.V. Raschet koncentraciy chastic v zadache aspiracii aerozolya v tonkostennuyu trubku // Izvestiya RAN. Mehanika zhidkosti i gaza. 2009. №6. S.89-99.
4. Logachev K.I., Posohin V.N. Raschet techeniya vblizi kruglogo vsasyvayuschego patrubka// Izvestiya vysshih uchebnyh zavedeniy. Aviacionnaya tehnika. 2004. № 1. S. 29-32.
5. Averkova O.A., Logachev I.N., Logachev K.I. Modelirovanie otryva potoka na vhode vo vsasyvayuschie kanaly v oblastyah s razrezami // Vychislitel'nye metody i programmirovanie: novye vychislitel'nye tehnologii. 2012. T. 13. № 1 (25). S. 298-306.
6. Averkova O.A., Logachev I.N., Logachev K.I., Logachev A.K. Zakonomernosti otryvnogo techeniya pri vhode v vystupayuschiy kanal s ekranami // Uchenye zapiski CAGI. 2013. T. XLIV. № 2. S. 33-49.
7. Logachev K.I., Puzanok A.I. Chislennoe modelirovanie pylevozdushnyh techeniy vblizi vraschayuschegosya cilindra-otsosa// Izvestiya vysshih uchebnyh zavedeniy. Stroitel'stvo. 2005. № 2. S. 63-70.
8. Averkova O.A., Zorya V.Yu., Logachev K.I. Osobennosti povedeniya aerozol'nyh chastic v aspiracionnom ukrytii standartnoy konstrukcii // Himicheskoe i neftegazovoe mashinostroenie. 2007. № 11. S. 34-36.
9. Logachev K.I., Puzanok A.I., Posohin V.N. Raschet vihrevogo techeniya u schelevidnogo bokovogo otsosa // Izvestiya vysshih uchebnyh zavedeniy. Stroitel'stvo. 2004. № 6. S. 64-69.
10. Logachev K.I., Logachev I.N., Puzanok A.I. Chislennoe issledovanie povedeniya pylevoy aerozoli v aspiracionnom ukrytii // Izvestiya vysshih uchebnyh zavedeniy. Stroitel'stvo. 2006. № 5. S. 65-71.
11. Logachev K.I., Puzanok A.I., Posohin V.N. Raschet techeniy na vhode v otsosy-rastruby metodom diskretnyh vihrey // Izvestiya vuzov. Problemy energetiki. 2004. № 7-8. S.61-69.
12. Logachev K.I., Posohin V.N., Puzanok A.I. Geometricheskie harakteristiki techeniy na vhode v otsosy, vypolnennye v vide zontov // Inzhenernye sistemy. AVOK Severo-Zapad. 2005. № 1. S.12-14.
13. Posohin V.N., Salimov N.B., Logachev K.I., Zhivov A.M. K raschetu techeniya vblizi schelevidnogo otsosa-rastruba // Izvestiya vuzov. Stroitel'stvo. 2002. Soobschenie 1. № 8. S.70-76.
14. Posohin V.N., Salimov N.B., Logachev K.I., Zhivov A.M. K raschetu techeniya vblizi schelevidnogo otsosa-rastruba // Izvestiya vuzov. Stroitel'stvo. 2002. Soobschenie 2. № 9. S. 80-85.
15. Posohin V.N., Salimov N.B., Logachev K.I., Zhivov A.M. K raschetu techeniya vblizi schelevidnogo otsosa-rastruba // Izvestiya vuzov. Stroitel'stvo. 2002. Soobschenie 3. № 10. S.81-85.
16. Abramovica M., Stigan I. Spravochnik po special'nym funkciyam. M.: Nauka, 1979. 832 s.
