Russian Federation
The article discusses the solution of computational problems for a simple electrical circuit with one or several series–connected resistors. A graphic model is proposed for calculations. Current, voltage, and resistance are represented by the length of a straight–line segment. The application of the model is shown for calculating the current in the circuit, the voltage across each of the resistances, as well as the selection of the missing resistance under the condition of limiting the voltage or current on the payload. The graphic model can be parameterized in parametric CAD and reused.
hyper–fractal, algebraic fractal, multidimensional geometry, Julia set, Mandelbrot set, object design
1. Подавляющее большинство научно–методических работ в области геометро-графического образования в последнее время посвящено вопросам 3D–моделирования и применения современных САПР при решении типовых задач начертательной геометрии и инженерной графики [1–5]. В связи с чем возникает отношение к начертательной геометрии, как к науке «устаревшей» и не нужной [6–7], поскольку для построения чертежей деталей и сборочных единиц проще и удобнее применять системы 3D-моделирования и САПР.
В действительности начертательная геометрия является одним из инструментов геометрического моделирования вообще, которое, в свою очередь, является методом математического моделирования, и может быть использована по необходимости при решении задач любой предметной области геометрическим или геометро-графическим способом [8–10].
Настоящая работа продолжает цикл публикаций, начатый в [10], и посвященный решению негеометрических задач геометрическими или геометро-графическими способами. В ней рассматривается один подход к расчету простых электрических контуров.
2. Рассмотрим простой электрический контур с одним источником ЭДС и одним сопротивлением (рис. 1).
Пренебрегая сопротивлением источника, можем записать формулу для определения тока в контуре [11]:
I = U/R (1)
Построим геометрическую модель задачи. Для этого необходимо выразить U, R и I в виде параметров геометрических объектов, например, длин отрезков. Модель может быть, к примеру, такой, как показано на рис. 2. Здесь две неподвижные шкалы U и R и подвижная шкала I, отступающая от точки на шкале R на единицу вправо. Меняя начальные значения U и R, на шкале I мы будем получать соответствующие значения величины тока в контуре.
Докажем это. Поскольку параллельные прямые (вертикальные) отсекают на сторонах угла пропорциональные отрезки, запишем: R/1=U/I или I/1=U/R, т.е. получим формулу (1). Использованное построение известно, как графическое умножение или деление [12–13].
Поскольку математическая модель, определяемая формулой (1), включает три величины, ее геометрический аналог – поверхность трехмерного пространства с координатами (U, R, I). В изображении на плоскости объектов 3-мерного пространства состоит предмет начертательной геометрии, при этом существуют различные способы такого изображения, так называемые плоские интерпретации или плоские модели. Классическими являются эпюр Монжа, аксонометрическая проекция и проекция с числовыми отметками, но существуют и другие [14]. Выбранный нами способ изображения порождает еще одну подобную интерпретацию.
3. Предположим, что в контур добавлено сопротивление (рис. 3, а). Поскольку сопротивление участка цепи при последовательном соединении равно сумме сопротивлений [11] (R=R1+R2), а сумма длин отрезков легко реализуется графически, геометро-графическая модель изменится, как показано на рис. 3, б.
Из рис. видно, что геометро-графическая модель мгновенно начинает работать и в другую сторону – позволяет найти ток в контуре и показывает напряжения на каждом из сопротивлений. Очевидно, сказанное справедливо для любого числа последовательно соединенных сопротивлений.
4. Предположим, что R1 – полезная нагрузка и напряжение на ней не должно превышать некоторого значения Umax. Модель позволяет определить сопротивление R2, которое требуется добавить в контур для достижения этого значения, а также соответствующее значение тока в контуре (рис. 4).
Ранее отмечалось, что модель содержит три величины и соответствует поверхности трехмерного пространства с координатами (U, R, I). Считая U постоянным, мы получаем плоскую кривую, которая является сечением этой поверхности плоскостью U=const. Построенная диаграмма токов является проекцией этого сечения в выбранной нами интерпретации.
Отмечая на диаграмме точку Imax, находим требуемое сопротивление R2. Диаграмма для данного значения U строится один раз и может использоваться многократно.
6. Основные результаты.
Было показано применение геометрического (геометро-графического) подхода к решению негеометрической задачи расчета простого контура для случая 1..n последовательно соединенных сопротивлений.
Была показана одна из возможных геометрических моделей указанной задачи. Она легко параметризуется в параметрической САПР типа «Компас–3D» или T–Flex, после чего начинает работать как вычислительная программа, причем не требуется характерное для аналитического подхода преобразование формул, выражение одних величин через другие.
Представляет интерес дальнейшее исследование для случая параллельного соединения сопротивлений, использования катушек индуктивности и конденсаторов, выявления алгоритма конструирования моделей для произвольных контуров, а также исследование интерпретации трехмерного пространства, стоящей за предложенной моделью.
1. Fedoseeva M.A. Metodika podgotovki studentov tehnicheskih vuzov graficheskim disciplinam // Geometriya i grafika. - 2019. - №1. - S. 68-73. - DOI:https://doi.org/10.12737/article_5c91 fed8650bb7.79232969
2. Usataya T.V., Deryabina L.V., Reshetnikova E.S. Sovremennye podhody k proektirovaniyu izdeliy v processe obucheniya studentov komp'yuternoy grafike // Geometriya i grafika. - 2019. - №1. - S. 74-82. - DOI:https://doi.org/10.12737/article_5c91fd2bde0ff7.07282102
3. Filimonova O.S. Disciplina «Inzhenernaya i komp'yuternaya grafika» v sisteme vysshego voennogo obrazovaniya // Geometriya i grafika. - 2018. - №4. - S. 88-99. - DOI:https://doi.org/10.12737/article_5c21fba3f26c35.85693389
4. Panchenko V.A. Sovremennye sredstva obucheniya graficheskim disciplinam studentov zaochnoy formy obucheniya // Geometriya i grafika. - 2018. - №4. - S. 72-87. - DOI:https://doi.org/10.12737/article_5c21fa732f6b62.81431444
5. Polikarpov Yu.V. Soderzhanie vuzovskogo kursa nachertatel'noy geometrii v epohu tret'ey promyshlennoy revolyucii // Geometriya i grafika. - 2018. - №3. - S. 49-55. - DOI:https://doi.org/10.12737/article_5bc453447db654.91666264
6. Tunakov A.P. Zachem prepodavat' studentam umirayuschie discipliny // Poisk. - 2007. №11 (929).
7. Heyfec A.L. Nachertatel'naya geometriya kak «beg v meshkah» // Problemy kachestva graficheskoy podgotovki studentov v tehnicheskom vuze: tradicii i innovacii. - 2015. - T. 1. - S. 298-325.
8. Savel'ev Yu.A., Cherkasova E.Yu. Vychislitel'naya grafika v reshenii netradicionnyh inzhenernyh zadach // Geometriya i grafika. - 2020. - №1. - S. 33-44. - DOI: 10.12737/ 2308-4898-2020-33-44
9. Voloshinov D.V. Konstruktivnoe geometricheskoe modelirovanie. Teoriya, praktika, avtomatizaciya: monografiya / D.V.Voloshinov. - Saarbrücken: Lambert Academic Publishing, 2010. - 355 c.
10. Belim S.S., Boykov A.A., Korovina A.V. O postroenii fazovyh diagramm dvuhkomponentnyh sistem v SAPR «Kompas-3D» geometricheskim sposobom // Zhurnal tehnicheskih issledovaniy. - 2020. - T.6, №2. - S. 9-14.
11. Borisov Yu.M. Elektrotehnika / Yu.M. Borisov, D.N. Lipatov, Yu.N. Zorin. - Moskva: Energoatomizdat, 1985. - 552 s.
12. Golovnin D.N. Graficheskaya matematika. - M.-L.: GNTI, 1931. - 216 s.
13. Runge K. Graficheskie metody matematicheskih vychisleniy. - M.-L.: Gostehizdat, 1932. - 168 s.
14. Peklich V.A. Vysshaya nachertatel'naya geometriya. - Moskva: ASV, 2000. - 344 s.
