Irkutsk, Russian Federation
Hayfa, Israel
Hayfa, Israel
We study the combined effect of the shear flow velocity and its (stable) vertical stratification on the evolution of the three-dimensionally localized vortical disturbance induced by the initial temperature perturbation embedded at the initial time into a local region of the flow. Small geometric scales of perturbations compared to the characteristic scales of velocity and temperature variation of the background flow allow to consider vertical gradients of the horizontal velocity and temperature to be not dependent on the coordinates. Assuming a disturbance sufficiently weak, we use linear theory to calculate fields of vorticity and temperature. The problem is solved analytically using a three-dimensional Fourier transform of the basic set of equations and further transition to a Lagrange variables in the Fourier space. It is shown that the growth of the intensity of the vortex (a measure of which are enstrophy and circulation) is obliged to both stratification and shear. However, the character of this growth (monotonous or oscillating) depends on what of two factors dominates. In the case where the dissipation effects are negligible, enstrophy grows indefinitely (in the framework of the linear theory), but dissipative factors (viscosity and thermal diffusivity) modified this growth and make it only transient, so that eventually the perturbation decays. Perturbation domain stretches along the direction of flow, but its vertical and horizontal movement as a whole in the framework of the linear theory doesn’t occur, since it is the nonlinear effect. Nonlinear evolution of the vortex induced by temperature disturbance is considered in a separate paper.
shear flow, stratification,evolution of disturbances, enstrophy, circulation
1.ВВЕДЕНИЕ
Течения, индуцированные эффектами плавучести, носят как естественный, так и техногенный характер. Примерами могут служить выбросы газов из заводских выхлопных труб, сброс сточных вод в реки, разливы нефти в океанах и т. д. Все эти течения включают две составляющие: первичное, фоновое, течение и вторичный поток, инжектированный в первичное течение, или возмущение, помещенное внутри первичной среды. Эффекты плавучести проявляются благодаря разнице в температурах или благодаря смешиванию разных жидкостей (например, океанические течения с различной соленостью). Согласно [Тернер, 1977], в случае, когда вторичный поток инжектируется непрерывно, течение классифицируется как плюм (plume - шлейф). В случае же, когда он инжектируется дискретно или периодически, течение называют «термиком» (thermal) или «плавучим возмущением» (buoyant disturbance). В данной работе мы будем говорить только о термиках (плавучих возмущениях). Мы будем рассматривать генерацию вихря как результат начальной разности температур (а не как прямое следствие переменности плотности). Примером может служить капля нагретой воды в воде комнатной температуры (но не капля соленой воды в пресной воде). Основной интерес исследователей вызывают такие характеристики термиков, как циркуляция скорости в них, высота подъема, геометрическая форма.
В этой работе мы изучаем эволюцию трехмерно локализованного вихря в сдвиговом течении стратифицированной жидкости, генерированного начальным компактным возмущением температуры. Развитие такого вихря управляется двумя факторами: плавучестью и сдвигом скорости невозмущенного течения. Вихри, вызванные эффектом плавучести, изучались многими исследователями. Прекрасный обзор этих работ содержится в книге [Тернер, 1977]. Результаты более поздних исследований довольно подробно описаны в вводном разделе статьи [Weiss Tewner et al., 2015]. Отметим, что в основном изучалось поведение вихрей, вызванных эффектом плавучести, в покоящейся среде или в движущейся среде, но без сдвига скорости. Вопрос о совместном влиянии стратификации и сдвига скорости (шира) на динамику вихря до сих пор изучен недостаточно. Настоящая работа является попыткой восполнить этот пробел. Мы ограничиваемся случаем достаточно слабых возмущений и будем использовать только линейную теорию. Более общий случай нелинейного развития вихря при наличии плавучести и шира рассмотрен нами в статье [Weiss Tewner et al., 2015].
____________________________________________________________________________________________
* На английском языке статья опубликована в журнале "Physics of Fluids". 2015. V. 27. 024103. На русском языке публикуется впервые по лицензии издательства AIP Publishing LLC.
Reprinted with permission from Ilia G. Shukhman, Shoshana Weiss Tewner and Jacob Cohen, Vortical disturbances in a linearly stratified linear shear flow. I. Linear theory. Physics of Fluids, 27, 024103 (2015). © 2015, AIP Publishing LLC.
1. Abramowitz M., Stegun I.A. (eds.) Spravochnik po spetsial′nym funktsiyam s formulami, grafikami u matema-ticheskimi tablitsami. [Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs and Mathematical Tables]. Мoscow, Nauka Publ., 1979, 832 p. (in Russian). (English edition: Abramowitz M., Stegun I.A. (eds.) Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs and Mathematical Tables. US National Bureau of Standards, Applied Mathematics Series, 1964, 1046 p.)
2. Alon G., Philip J., Cohen J. The development of a buoyant vortex in stationary and plane stagnation flows. European Journal of Mechanics B/Fluids. 2011, vol. 30, pp. 288-298. DOI:https://doi.org/10.1016/j.euromechflu.2011.02.001
3. Bayly B.J. Three-dimensional instability of elliptical flow. Phys. Rev. Lett. 1986, vol. 57, pp. 2160-2163. DOI: 10.1103/ PhysRevLett.57.2160.
4. Cohen J., Shukhman I.G., Karp M., Philip J. An analytical-based method for studying the nonlinear evolution of localized vortices in planar homogenous shear flows. J. Comp. Phys. 2010, vol. 229, pp. 7765-7773. DOI:https://doi.org/10.1016/j.jcp.2010.06.035.
5. Craik A.D.D. The stability of unbounded two- and three-dimensional flows subject to body forces: Some exact solutions. J. Fluid Mech. 1989, vol. 198, pp. 275-292. DOI: 10.1017/ S0022112089000133.
6. Craik A.D.D., Allen H.R. The stability of three-dimensional time-periodic flows with spatially uniform strain rates. J. Fluid Mech. 1992, vol. 234, pp. 613-627. DOI:https://doi.org/10.1017/S0022112092000934.
7. Craik A.D.D., Criminale W.O. Evolution of wavelike disturbance in shear flows: A class of exact solutions of Navier-Stokes equations. Proc. R. Soc. Lond. A. 1986, vol. 406, pp. 13-26. DOI:https://doi.org/10.1098/rspa.1986.0061.
8. Farrell B.F., Ioannou P.J. Optimal excitation of three-dimensional perturbations in viscous constant shear flow. Phys. Fluids A. 1993, vol. 5, no. 6, pp. 1390-1400. DOI: 10.1063/ 1.858574.
9. Gradshteyn I.S., Ryzhik I.M. Tablitsy integralov, summ, ryadov i proizvedenii. [Tables of Integrals, Sums, Series, and Products]. Moscow, Fizmatgiz Publ., 1963, 1100 p. (in Russian). (English edition: Gradshteyn I.S., Ryzhik I.M. Tables of Integrals, Sums, Series, and Products. 7 Edition, Academic Press, Elsevier Inc., 2007, 1171 p.).
10. Lagnado R.R., Phan-Thien N., Leal L.G. The stability of two-dimensional linear flows. Phys. Fluids. 1984, vol. 27, pp. 1094-1101. DOI:https://doi.org/10.1063/1.864755.
11. Majda A.J., Shefter M.G. Elementary stratifed flows with instability at large Richardson number. J. Fluid Mech. 1998. vol. 376, pp. 319-350. DOI:https://doi.org/10.1017/S0022112098003085.
12. Shariff K., Leonard A. Vortex rings. Annu. Rev. Fluid Mech. 1992, vol. 24, pp. 235-279. DOI:https://doi.org/10.1146/annurev. fl.24.010192.001315.
13. Shukhman I.G. Evolution of a localized vortex in plane nonparallel viscous flows with constant velocity shear. I: Hyperbolic flow. Phys. Fluids. 2006, vol. 18, 097101. DOI:https://doi.org/10.1063/1.2337319.
14. Shukhman I.G. Evolution of localized vortex in viscous flow with elliptic streamlines, Issledovano v Rossii [Investigated in Russia]. 2006, no. 254, pp. 2438-2462. Available at: http://www.sci-journal/articles/2006/254.pdf (accessed 03.04.2015) (in Russian).
15. Shukhman I.G. Evolution of a localized vortex in plane nonparallel viscous flows with constant velocity shear. II: Elliptic flow. Phys. Fluids. 2007, vol. 19, 017106. DOI:https://doi.org/10.1063/1.2424678.
16. Shukhman I.G. Evolution of localized vortex in viscous flow with hyperbolic streamlines, Issledovano v Rossii [Investigated in Russia]. 2007, no. 1, pp. 1-26. Available at: http://www.sci-journal/articles/2007/001.pdf (accessed 02.04. 2015) (in Russian).
17. Shukhman I.G., Levinski V.B. Evolution of three-dimensional localized vortices in shear layers. Linear stage, Issledovano v Rossii [Investigated in Russia]. 2003, no. 6, pp. 47-87. Available at: http://www.sci-journal/articles/2003/ 006.pdf (accessed 01.04.2015) (in Russian). (English version available at: http://arxiv.org/abs/physics/0212101 (accessed 01.04.2015)).
18. Shukhman I.G., Levinski V.B. On the formation of hairpin vortex in viscous circular shear layer, Issledovano v Rossii [Investigated in Russia]. 2004, no. 4, pp. 23-50. Available at: http://www.sci-journal/articles/2004/004.pdf (accessed 02. 04.2015) (in Russian).
19. Shukhman I.G., Levinski V.B. Temporal evolution of a localized weak vortex in viscous circular shear flows. Phys. Fluids. 2005, vol. 17, 017104. DOI:https://doi.org/10.1063/1.1828125.
20. Suponitsky V., Cohen J., Bar-Yoseph P.Z. The generation of streaks and hairpin vortices from a localized vortex embedded in unbounded uniform shear flow. J. Fluid Mech. 2005, vol. 535, pp. 65-100. DOI:https://doi.org/10.1017/S0022112005004453.
21. Thomson W. (Kelvin Lord) Stability of fluid motion: Rectilinear motion of viscous fluid between two parallel plates. Phil. Mag. 1887, vol. 24, no. 147, pp. 188-196. DOIhttps://doi.org/10.1080/14786448708628078.
22. Turner J.S. Effekty plavuchesti v zhidkosyah. [Buoyancy Effects in Fluids]. Moscow, Mir Publ., 1977, 432 p. (in Russian). (English edition: Turner J.S. Buoyancy Effects in Fluids. Cambridge Univesity Press, 1973, 367 p.).
23. Weiss Tewner S., Cohen J., Shukhman I.G. Vortical Disturbances in linearly stratified shear flow. II. Nonlinear evolution. Phys. Fluids. 2015, vol. 27, 024104. DOI: 10.1063/ 1.4907187.
