employee
Kazan, Kazan, Russian Federation
The study was carried out with the aim of solving the problem of replacing equipment and creating a mathematical model of the problem of controlled optimization, as the most complete and realistic description of the production process. The Bellman principle of optimality was applied in the study, since when solving dynamic programming problems, this principle is general. For the solution, the Bellman functional equation was chosen as the initial mathemat cal model: The advantage of such a mathematical model is the possibility of modifying the problem. At the first step, it is proposed to sell the replaced equipment at the price (R(tk)-Z(tk))p, 0
mathematical model, hardware, dynamic programming, optimization, hardware replacement, Bellman's principle of optimality
Введение. Одна из современных проблем производства – замена старого оборудования, которое изнашивается, теряя производительность и стоимость, морально устаревает. Необходимо составить план замены и ремонта оборудования на заданный период его работы. Такой план – управляемая, оптимальная стратегия за это время.
Постановка задачи управляемой оптимизации – наиболее полное и приближенное к реальности описание производственного процесса [1].
Принцип оптимальности Беллмана в задаче динамического программирования в наибольшей мереслужит обобщенным математическим описанием таких задач [2, 3, 4] При такой постановке достаточно просто вносить изменения в задачу: в целевую функцию, в структуру вектора управления, в ограничения задачи.
За основу математической модели исследованиявыбрана модель задачидинамического программирования и составлено функциональное уравнение.
Рассмотрим модельный пример классической задачи динамического программирования:
оборудование эксплуатируется 5 лет (этапы с k=1 по k=5);
состояние системы определяет параметр tk– возраст оборудования;
стоимость покупки и замены нового оборудования – 40 тыс. руб.;
годовой выпуск продукции R(tk) – в стоимостном выражении;
ежегодные затраты, связанные с содержанием и ремонтом оборудованияZ(tk);
замененное оборудование списывается.
Управление:u1 – решение о сохранении оборудования, u2 – оборудование заменяется новым.
Для решения применим функциональное уравнение Беллмана:
Такая постановка задачидает возможность вносить различные модификации.
На первом шаге предлагается продавать замененное оборудование по цене (R(tk)-Z(tk)), умноженной на процент (скидку). Например, 70% от (R(tk)-Z(tk)).
Величина (R(tk)-Z(tk)) – ориентир цены оборудования, возраст которого – tk, где k – номер года или номер этапа в многошаговом процессе.
Для покупки оборудованиянеобходимо сделать скидку – продать его по цене (R(tk)-Z(tk))p, 0<p<1, p – коэффициент уценки при продаже.
Размер процента скидки при продаже p – входная величина в реализуемой программе. Далее устанавливаемое оборудование может быть не новым и приобретенным по цене ((R(tk)-Z(tk))q, 0<q<1. Здесь q – коэффициент уценки при покупке и задается на входе. Оборудование, бывшее в употреблении, дешевле нового, продажа замененного оборудования так же вносит добавку в прибыль. В вектор управления необходимо добавить новые компоненты – возраст устанавливаемого оборудования (не нового). Структура управления становится более сложной и реалистичной. При многочисленных испытаниях программы эффект «проклятия размерности» не проявляется.
Цель исследования – расширение поставленной задачи динамического программирования с использованием набора различных модификаций
Условия, материал и методы. Рассмотрим функциональное уравнение Беллмана для задачи о замене оборудования:
где u1– оборудование не меняется, u2 – оборудование заменяется на новое, С – стоимость замены и покупки нового оборудования, Fk(tk) – функция Беллмана – суммарная прибыль, полученная начиная сk-го до последнего года эксплуатации оборудования, R(tk) – годовой выпуск продукции в стоимостном выражении, Z(tk) – ежегодные затраты, связанные с содержанием и ремонтом оборудования.
Возможны три модификации задачи о замене оборудования.
1. Замененное можно не выбрасывать, а продать по цене (Rk(tk)-Zk(tk))p, где p – коэффициент уценки 0<p<1.
Функциональное уравнение Беллмана соответственно модифицируется:
Очевидно, что значение целевой функции увеличится.
2. Можно увеличить прибыль, если покупать не новое оборудование.
Например, однолетнее u3, двухлетнее u4, трехлетнее u5.Очень старое оборудование, в нашем примере возрастом более 3-х лет, наверное, покупать не стоит, хотя все зависит от значений функций Rk(tk), Zk(tk) – производительности и затрат на ремонт и обслуживания соответственно, tk– возраст оборудования к началу k-го года.
Уравнение Беллмана примет вид:
Следует учесть, что компонента C состоит из двух слагаемых:
первое (Rk(tk)-Zk(tk))q – стоимость покупки не нового оборудования возраста tk, или нового плюс продажа старого оборудования (Rk(tk)-Zk(tk))p, где p,q – коэффициенты оценки 0<q<1, q<p;
второе– стоимость установки оборудования.
Вектор управления (u1,u2,u3,u4,u5) – содержит пять компонент.
3. Возможно добавление еще одной компоненты в вектор управления u6 – «омолаживающий» ремонт оборудования. После такого ремонта возраст оборудования становится, например, на год меньше. Затраты на ремонт берутся из графика зависимости полученной прибыли от стоимости ремонта, построенного по результатам прогонов программы: Автоматизация расчета оптимального управления заменой, продажей и ремонтом оборудования [5].
Объединение рассмотренных модификаций в одно целое представляют собой математическую модель задачи о замене оборудования, которая положена в основу программыавтоматизации расчета оптимального управления заменой, продажей и ремонтом оборудования.
Исходные данные, представленныенарисунке 1, могут быть взяты, например, из обработанных статистических данных работы оборудования на предприятии. В нашей работе были взяты тестовые данные, наиболее полно раскрывающие специфику задачи, полученные в результате нескольких прогонов программы.
Рис. 1 – Исходные данные
Функции Z(t) и R(t)аппроксимированы из результатов наблюдений или из законов теории надежности, могут быть заданы в аналитическом виде.
Дополнительные данные, которые вводятся в таблице на рисунке 2, определяют расширение задачи, по сравнению с модельной.
Дополнительные данные определяют вариативность условий установки, продажи старого и покупки устанавливаемого оборудования.
Рис. 2 – Дополнительные данные
Период эксплуатации оборудования выбирается обычно в интервале 5…10 лет. При более длительной работе оно морально устаревает, сильно изнашивается, накапливаются усталостные эффекты [6].
Понижающий коэффициент продажи старого оборудования считается меньшим, чем для покупки не нового оборудования, что может быть связано, например, с предпродажной подготовкой(это не абсолютное утверждение). Программаавтоматизации расчета оптимального управления заменой, продажей и ремонтом оборудования отработает и другие варианты величинуказанных коэффициентов.Затраты на приобретение и установку оборудования могут быть разделены.
Результаты и обсуждение. Результатом работы программы служит построение сетевого графа, отражающего вариативность оптимальных планов управления.
В функциональном уравнении Беллмана управление выбирается путем расчета максимума целевой функции. Её одинаковые значения возможны при разных вариантах управлениях. В результате получаются разветвления в управляющей стратегии, приводящие к одинаковым значениям целевой функции. Такое разнообразие вариантов управления позволяет проанализировать его стратегию и осуществить выбор, учитывая, например, ранее не рассмотренные факторы [7-10].
Кроме того, для каждой итерации расчёта составляются таблицы условно оптимальных решений и системы функциональных уравнений Беллмана [11, 12]. Это позволяет контролировать реализацию и отладку вычислительного алгоритма в программе, а также изменять структуру входных данных.
В качестве дополнительного функционала впрограмме,возможно,строить график зависимости полученной прибыли от стоимости ремонта оборудования, выраженной в условных единицах. На основе его анализа можно определить, при какой стоимости ремонтрационален, а при какой нет. Такой анализ позволяет определиться с вводом значения входного параметра «стоимость ремонта», исходя из ранее полученных результатов работы программы [13, 14, 15].
Пример результатов работы программы с тестовыми параметрами
В начале работы программы вводятся исходные и дополнительные данные (интерфейс ввода данных представлен на рис. 1,2)
В результате работы программы на экран выводится сетевой взвешенный граф – сетевая модель оптимальной стратегии замены оборудования (рис.3).Каждая дуга графаобозначает переходсистемы в следующее временное состояние (в следующий год). При этом весадуг (подписи снизу) указывают на компоненту вектора управления:
u1 – оставить оборудование;
u2 – заменить на новое оборудование;
b1 – заменить на 1 – летнее оборудование;
b2 – заменить на 2 – летнее оборудование;
b3 – заменить на 3 – летнее оборудование;
b4 – заменить на 4 – летнее оборудование;
r1 – отремонтировать старое оборудование
Верхняя надпись – это прибыль от работы оборудования, накопленная к соответствующему году (целевая функция).
Рис.3 – Интерфейс вывода в виде сетевой модели.
В результате прогона программы на экран так же выводится график зависимостиприбыли от стоимости ремонта (рис. 4). Анализируя полученный график можно определить целесообразность «омолаживающего» ремонта. Это актуально только в том случае, если цена «омолаживающего» ремонта (оборудование становится моложе на 1 год) не превосходит стоимости покупки и установки аналогичного по возрасту оборудования.Эта диаграмма интерактивна. При наведении курсора мыши на точку на карте появляется информация о возможной прибыли, связанной с ремонтом оборудования за такую цену.
Рис.4 – Зависимость полученной прибыли от стоимости ремонта.
Программа выводит на экран так же и математическую запись функционального уравнения Беллмана, что дает возможность следить за логикой вычислительного процесса [16, 17].
Математическое представление задачи в виде функционального уравнения Беллмана облегчает программную реализацию алгоритма.
Рассмотренная модель позволяет проводить ряд модификаций и осуществлять их программную реализацию.
Модификации расширяют модель, делая ее более реалистичной.
1. Mezentsev YuA, Korotkova YuL, Estraikh IV. [An efficient algorithm for solving an applied problem of scheduling optimization for a parallel-serial system].Informatsionnyetekhnologii. 2021; 27. 12. 642-650 p. doi:https://doi.org/10.17587/it.27.642-650.
2. Xinyu L.,Liang G. An effective hybrid genetic algorithm and tabu search for flexible job shop scheduling problem // International Journal of Production Economics. 2016. No. 174. P. 93-110.
3. Jie H., Qingguo L., Dehua X. Scheduling two parallel machines with machine-dependent availabilities // Computers & Operations Research. 2016. No. 72. P. 31-42.
4. A multi objective optimization approach for flexible job shop scheduling problem under random machine breakdown by evolutionary algorithms / A. Ehsan, Z. Mostafa, F. Mojtaba, et al. // Computers & Operations Research. 2016. No. 73. P. 56-66.
5. Filippov EG, Chelmakin AN, Nazmetdinov RL. [Automation of the calculation of the optimal management of the replacement, sale and repair of equipment].Svidetel'stvo o registratsiiprogrammydlya EVM RU 2019614241, 01.04.2019. Zayavka № 2019613015 ot 26.03.2019.
6. Barankov VV, Koroleva VV, Filippov EG. [Options for setting the task of operational-calendar planning]. Matematicheskoeiprogrammnoeobespecheniesistem v promyshlennoiisotsial'noisferakh. 2015; 2. 41-49 p.
7. Fedoseev AS, Vozhakov AV, Gitman MB. [A model for optimal production planning at the tactical level with fuzzy constraints and criteria].Vestnik MGTU im. Nosova. 2009; 4. 57-64 p.
8. Vozhakov AV, Gitman MB, Fedoseev SA. [Comprehensive evaluation when choosing the optimal production plan at the tactical level, taking into account fuzzy criteria and restrictions].Upravlenie bol'shimisistemami. 2012; 30.164-179 p.
9. Ibyatov RI, ZiganshinBG. [About modeling random processes in the agro-industrial complex].Vestnik Kazanskogo gosudarstvennogo agrarnogo universiteta. 2022; 17. 1(65). 50-55 p. - DOIhttps://doi.org/10.12737/2073-0462-2022-50-55. - EDN SXOJGE.
10. Mathematical modeling of the grain trajectory in the workspace of the sheller with rotating decks / R. I. Ibyatov, A. V. Dmitriev, B. G. Ziganshin [et al.] // International Scientific-Practical Conference “Agriculture and Food Security: Technology, Innovation, Markets, Human Resources ” (FIES 2019): International Scientific-Practical Conference “Agriculture and Food Security: Technology, Innovation, Markets, Human Resources” (FIES 2019), Kazan, November 13-14, 2019. Vol. 17. - Kazan: EDP Sciences, 2020. - P. 00093. - DOIhttps://doi.org/10.1051/bioconf/20201700093. - EDN KYZZLO.
11. Ivanov B.L., Ziganshin B.G., Rudakov A.I., Lushnov M.A. Estimation of the distribution of drops of disinfectant liquid on the treated surface // Bulletin of Kazan State Agrarian University. 2019. Vol. 14. No. 3(54). pp. 103-107.
12. Rudakov A.I., Nafikov I.R., Ivanov B.L. Improving the energy efficiency of freeze-drying of agricultural materials // Bulletin of the Kazan State Agrarian University. 2007. Vol. 2. No. 2(6). pp. 101-105.
13. To determine the parameters affecting the flexible working element of the topper / M. N. Kalimullin, R. K. Abdrakhmanov, D. M. Ismagilov, I. I. Valiev // Bulletin of the Kazan State Agrarian University. - 2019. - T. 14. - № 4-2(56). - Pp. 54-58. - DOIhttps://doi.org/10.12737/2073-0462-2020-54-58. - EDN SFYYEB.
14. Ibyatov, R. I. Numerical calculation of filtration of suspension of non-Newtonian behavior in alluvial filters / R. I. Ibyatov // Bulletin of Kazan State Agrarian University. - 2022. - Vol. 17. - No. S2(66). - PP. 68-73. - DOIhttps://doi.org/10.12737/2073-0462-2022-68-73. - EDN OYOFEM.
15. Optimization of plow adjustment / D. T. Khaliullin, A. Belinsky, A. R. Valiev [et al.] // International Scientific-Practical Conference “Agriculture and Food Security: Technology, Innovation, Markets, Human Resources” (FIES 2020) : International Scientific-Practical Conference “Agriculture and Food Security: Technology, Innovation, Markets, Human Resources” (FIES 2020), Kazan, May 28-30, 2020. - Kazan: EDP Sciences, 2020. - P. 000103. - DOIhttps://doi.org/10.1051/bioconf/20202700103.
16. Theoretical fundamentals for determining soil erosion potential (energy concept) part 1 / I. I. Maksimov, N. R. Adigamov, A. A. Mustafin [et al.] // PeriodicoTcheQuimica. - 2019. - Vol. 16. - No 31. - P. 540-557.
17. Theoretical justification of design and technological parameters of hulling machine main working bodies / D. Khaliullin, I. Badretdinov, I. Naficov, R. Lukmanov // Engineering for Rural Development: 20, Virtual, Jelgava, May 26-28, 2021. - Virtual, Jelgava, 2021. - P. 1501-1506. - DOIhttps://doi.org/10.22616/ERDev.2021.20.TF321. systems. - No. 30. - 2012. - S. 164-179.
