employee
Bryansk, Bryansk, Russian Federation
UDK 621.01 Теория машиностроения (машиноведение). Механика как теоретическая основа машиностроения
BBK 302 Проектирование
The study objective is to analyze the own frequencies and small-amplitude oscillations of a plane manipulator having parallel structure and to determine the influence of elastic and inertial properties of intermediate links and the drive on own frequencies and forms. The paper is devoted to solving the problem of ensuring vibration stability of manipulators. Analytical methods of the theory of oscillations and computational experiments in the software package "Universal Mechanism" are used. The novelty of the work is in defining the dependence of the own frequencies and oscillation forms of a plane parallel manipulator on the ratio of elastic and inertial properties of the links and the drive. As a result of the research, analytical and several computer models of a plane manipulator with three degrees of freedom are developed, own frequencies and oscillation forms for the developed models are determined. Conclusions: the replacement of absolutely rigid intermediate links with elastic rods led to the appearance of own frequencies and own modes corresponding to them , on which the output link oscillates in the vertical plane perpendicular to the plane of the manipulator links movement; the oscillations of the output link in the vertical and horizontal planes on their own forms are separated; the values of own frequencies at which the output link oscillates in the vertical plane do not depend on the coefficient of rigidity of the drive, but are determined by the elastic and inertial properties of the rods; the values of own frequencies at which the output link oscillates in the horizontal plane depend on the ratio of the drive and rods compliance; the influence of the elastic link masses on the values of their own frequencies is determined by the type of their own forms and the ratio of inertial parameters of the output link and rods.
manipulator, structure, oscillations, frequencies and forms, modeling
Введение
Манипуляторы нового типа с параллельной структурой благодаря высоким показателям по быстродействию, грузоподъёмности и точности находят всё большее применение в различных транспортных и технологических машинах [1, 2]. Одной из задач, возникающих при проектировании манипуляторов, является обеспечение виброустойчивости их конструкции. Решение этой задачи связано с определением собственных частот и форм малых колебаний манипулятора. На движение выходного звена манипулятора как параллельной, так и последовательной структуры, существенное влияние оказывают колебания, обусловленные упругостью промежуточных звеньев кинематической цепи [3, 4]. Однако при определении собственных частот колебаний манипуляторов параллельной структуры используют, как правило, аналитические методы и упрощённые расчётные схемы, в которых упругие и инерционные свойства промежуточных звеньев не учитывают. Так, в работе [5] на примере плоского механизма разработана методика расчёта аналитическим методом собственных частот колебаний манипулятора с параллельной структурой, в которой учитывают инерционные свойства выходного звена и упругие свойства приводов, а промежуточные звенья считают невесомыми и абсолютно жёсткими. Предложенная методика не предусматривает определение собственных форм колебаний. В работе [6] с использованием данной методики выполнен расчёт собственных частот пространственного поступательно направляющего манипулятора с тремя степенями свободы, у которого выходное звено описывается как материальная точка. Аналогичные допущения приняты при расчёте свободных и вынужденных колебаний поступательно направляющих манипуляторов иной параллельной структуры [7-9].
Настоящая работа посвящена анализу собственных частот и форм малых колебаний плоского манипулятора параллельной структуры и определению влияния упругих и инерционных свойств промежуточных звеньев, а также податливости привода на собственные частоты и формы. Для вычислительных экспериментов использован программный комплекс «Универсальный механизм» [10, 11]. С целью подтверждения достоверности численных результатов в работе выполнен сравнительный расчёт собственных частот колебаний манипулятора аналитическим и численным методами.
Материалы, модели, эксперименты и методы
Аналитическое моделирование. Аналитический расчёт собственных частот колебаний манипулятора с абсолютно жёсткими звеньями выполняем в соответствии с методикой [5]. Рассмотрим плоский манипулятор с тремя степенями свободы в фиксированном положении в горизонтальной плоскости xoy и заторможенными приводами (рис. 1).
Рис. 1. Кинематическая схема манипулятора
Fig. 1. Kinematic diagram of the manipulator
Начало неподвижной декартовой системы координат расположим в центре масс выходного звена, изображённого в виде треугольника A1A2A3, массой m и моментом инерции I. Массой промежуточных звеньев, выполненных в виде стержней одинаковой длины L, пренебрегаем. В качестве обобщённых координат q1, q2, q3 выбираем углы поворота входных звеньев B1C1, B2C2, B3C3. Упругость приводов учитываем заданием в приводных кинематических парах восстанавливающих пар сил с коэффициентом жёсткости c. Для составления дифференциальных уравнений свободных колебаний манипулятора используем уравнение Лагранжа второго рода
(1)
где 
, 
– соответственно потенциальная и кинетическая энергия системы; 
– проекции скорости центра масс выходного звена на оси координат и его угловая скорость.
Вектор скоростей выходного звена 
и вектор обобщённых скоростей 
связаны между собой соотношением:
(2)
A = 
;
B = 
;
– функции, связывающие в неявной форме обобщённые координаты и перемещения выходного звена,
i = 1, 2, 3,
где, в частности, при i = 1 имеем 
Принимаем радиусы R1 = 0,1 м и R2 = 0,2 м, длины стержней L = 0,15 м, координаты точек B1, B2, B3 соответственно (0; – 0,2), (0,173; 0,1), (– 0,173; 0,1), точек A1, A2, A3 соответственно (0; – 0,1), (0,0866; 0,05), (– 0,0866; 0,05). Тогда матрицы A, B и Y имеют вид
Подставив значения величин с учётом выражения (2) в уравнение (1), получим в матричной форме систему дифференциальных уравнений свободных колебаний манипулятора с абсолютно жёсткими звеньями в горизонтальной плоскости:
(3)
где 
, 
, M и C – соответственно матрицы инерционных и упругих коэффициентов.
При массе платформы m = 1 кг, моменте инерции I = 0,01 кг∙м2 и коэффициентах жёсткости приводов c = 100 Н∙м матрицы M и C имеют вид
M = 10-3 
; C = 
Частные решения системы дифференциальных уравнений (3) ищем в виде
(4)
Подставив решения (4) в уравнения (3), получим систему однородных алгебраических уравнений относительно амплитуд A1, A2, A3:
(5)
Приравняв к нулю определитель, составленный из коэффициентов при A1, A2, A3, получим частотное уравнение
(6)
Корнями частотного уравнения являются круговые частоты свободных колебаний.
Компьютерное моделирование. При построении компьютерных моделей для вычислительных экспериментов манипулятор представляется в трёхмерном пространстве системой твёрдых тел, образующих между собой подвижные соединения. В соответствии с требованиями программного комплекса «Универсальный механизм» принимаем, что все твёрдые тела в кинематической цепи механизма обладают ненулевыми инерционными параметрами, которые или задаются в виде массы и тензора инерции или вычисляются в программе по созданным графическим образам.
Каждое промежуточное упругое звено (стержень) в кинематической цепи манипулятора рассматривается как совокупность n абсолютно твёрдых тел, образующих между собой четырёхподвижные соединения. Каждое такое соединение накладывает на относительное движение тел две геометрические связи, запрещая линейные перемещения в плоскости, перпендикулярной продольной оси стержня. В четырёхподвижное соединение по каждой обобщённой координате i введён линейный упругий элемент с коэффициентом жёсткости ci. Коэффициентам жёсткости присваиваем следующие значения:
Коэффициенты крутильной cк, продольной cп и изгибной cи жёсткости рассчитываются по известным формулам
(7)
где E и G – соответственно модуль упругости первого и второго рода материала стержня; S – площадь поперечного сечения стержня; l – длина абсолютно жёсткого элемента стержня, l = L/n; Jp, J – полярный и осевой моменты инерции поперечного сечения стержня.
В работе принято, что стержни могут быть выполнены из стали или из алюминия, имеют круглое сплошное или кольцевое поперечное сечение.
Для круглого сечения диаметром D
Для трубки с внешним диаметром D и внутренним диаметром d
(9)
Масса mi и главные центральные моменты инерции каждого абсолютно жёсткого i-го элемента стержня в виде трубки определяются по известным формулам
(10)
где r – плотность материала стержня; x – ось местной системы координат, проходящей вдоль стержня. Для стержня с круглым поперечным сечением момент инерции Ixi = miD2/8. Принимаем для стали E = 210 ГПа, G = 80 ГПа, r = 7800 кг/м3; для алюминия – E = 71 ГПа, G = 26 ГПа, r = 2700 кг/м3.
В тестовом примере программного комплекса «Универсальный механизм» при расчёте собственных частот изгибных колебаний консольная балка разделялась на десять подвижных частей, и первые пять собственных частот определялись с относительной погрешностью менее 2,5 % по сравнению с аналитическим решением [12]. Поэтому принимаем в компьютерной модели каждого упругого стержня в кинематической цепи механизма n = 10.
Анализ собственной формы на каждой собственной частоте выполняем с использованием анимационного окна программы, в котором изображается движение графического образа механизма.
В работе все расчёты с использованием программного комплекса «Универсальный механизм» выполняются для двух геометрически подобных кинематических схем манипулятора (см. рис. 1). Одна схема выполнена с короткими стержнями (L = 0,15 м), а другая – с длинными (L = 1,5 м). В кинематических схемах для устранения избыточных связей согласно [13, 14] шарниры Bi и Ci описаны как вращательные кинематические пары, а шарниры Ai – как трёхподвижные сферические пары. На основе этих кинематических схем построены восемь компьютерных моделей манипулятора, отличающихся геометрическими, упругими и инерционными свойствами звеньев. Модели № 1 и № 2 применяются для расчёта манипуляторов с абсолютно жёсткими невесомыми стержнями и сравнения численного решения с аналитическим, модели № 3 и № 4 используются для анализа спектра собственных частот и оценки влияния на собственные частоты манипулятора коэффициентов жёсткости привода, модели № 5-8 применяются для анализа влияния упругих и инерционных свойств стержней. Во всех компьютерных моделях для выходного звена задаётся масса m и тензор инерции в виде диагональной матрицы T, для которой элементы t11 = t22 = t33 = I.
Модель № 1 соответствует плоской расчётной схеме с короткими стержнями, принятой в аналитическом решении: для выходного звена m = 1 кг, I = 0,01 кг∙м2; коэффициенты жёсткости приводов одинаковы c = 100 Н∙м; стержни абсолютно жёсткие малоинерционные с пренебрежимо малыми массой (10-7 кг) и тензором инерции (10-9 кг∙м2).
Модель № 2 соответствует модели № 1, но кинематическая схема выполнена с длинными стержнями.
Модель № 3 выполнена на основе модели № 1, но имеет следующие отличия: стержни манипулятора выполнены в виде малоинерционных алюминиевых трубок диаметрами D = 26 мм и d = 12 мм, коэффициенты жёсткости приводов варьируются от 1 до 1∙1010 Н∙м.
Модель № 4 выполнена на основе модели № 2, но имеет следующие отличия: стержни выполнены в виде алюминиевых трубок с диаметрами D = 50 мм и d = 30 мм. Для каждого абсолютно жёсткого элемента стержня длиной li = 0,15 м задаются масса mi = 0,509 кг и ненулевые диагональные элементы тензора инерции T: t11 = Ix = 2,04∙10-4 кг∙м2, t22 = Iy = 9,54∙10-4 кг∙м2, t33 = Iz = 9,54∙10-4 кг∙м2, для выходного звена m = 2 кг и I = 0,01 кг∙м2, коэффициенты жёсткости приводов варьируются от 1 до 1∙1010 Н∙м.
Модель № 5 выполнена на основе модели № 1, имеет следующие отличия: c = 1000 Н∙м, малоинерционные алюминиевые стержни манипулятора выполнены со сплошным круглым сечением диаметром D, который варьируется от 8 до 44 мм.
Модель № 6 аналогична модели № 5, но массы и тензоры инерции стержней вычисляются в программе автоматически.
Модель № 7 выполнена на основе модели № 2, но имеет следующие отличия: стальные малоинерционные стержни имеют круглое поперечное сечение диаметром D, который варьируется от 20 до 100 мм, для выходного звена m = 2 кг и I = 0,1 кг∙м2, c = 10000 Н∙м.
Модель № 8 аналогична модели № 7, но инерционные параметры стержней вычисляются в программе автоматически.
Результаты
Сравнение собственных частот и форм для разных моделей. Для аналитической модели манипулятора, решая частотное уравнение (6), получим круговые частоты: ω1 = 124,9 рад/с, ω2 = 135,6 рад/с, ω3 = 172,7 рад/с. Собственные частоты колебаний f1А = 19,89 Гц, f2А = 21,59 Гц, f3А = 27,50 Гц.
Для компьютерной модели № 1 собственные частоты манипулятора c малоинерционными стержнями f1 = fx = 20,59 Гц, f2 = fy = 20,74 Гц, f3 = fφz = 27,53 Гц. Здесь и далее fx, fy, fφz – собственные частоты, которым соответствуют собственные формы x, y, φz. На собственной форме x выходное звено совершает возвратно-поступательное движение в горизонтальной плоскости c частотой fx с максимальной амплитудой вдоль оси x неподвижной системы координат. Аналогично, на собственной форме y выходное звено колеблется с частотой fy с максимальной амплитудой вдоль оси y. На собственной форме φz выходное звено колеблется вокруг вертикальной оси z. Максимальная относительная погрешность численного решения
Для компьютерной модели № 2, имеющей геометрически подобную кинематическую схему с увеличенными в 10 раз длинами стержней, собственные частоты fx = 2,059 Гц и fy = 2,074 Гц уменьшились в 10 раз, а частота fφz = 27,53 Гц не изменилась.
Увеличение в 10 раз момента инерции I, при сохранении без изменения остальных параметров компьютерной модели № 2, привело к уменьшению в 3,16 раза частоты fφz = 8,71 Гц. Остальные частоты fx = 2,059 Гц и fy = 2,074 Гц остались без изменения, что подтверждает независимость поступательного и вращательного движения выходного звена на собственных формах для рассмотренного положения механизма с малоинерционными жёсткими звеньями.
Для компьютерной модели № 3 с упругими стержнями при c = 100 Н∙м общее число собственных частот равно 219. Из них первые шесть низших собственных частот имеют значения: fx = 20,58 Гц, fy = 20,85 Гц, fφz = 27,51 Гц, fφx = 137,7 Гц, fφy = 138,0 Гц, fz = 195,1 Гц, которые существенно отличаются от ближайшей большей частоты f7 = 35565 Гц. Здесь и далее f φx и fφy – собственные частоты, которым соответствуют собственные формы φx и φy, на которых выходное звено имеет максимальные амплитуды колебаний соответственно вокруг осей x и y. На собственной форме z выходное звено совершает возвратно-поступательное движение с частотой fz вдоль оси z. Замена абсолютно жёстких стержней упругими привела к появлению собственных частот и форм, на которых выходное звено колеблется в вертикальной плоскости. Колебания выходного звена в вертикальной и горизонтальной плоскостях на собственных формах разделены. Разделены также вращательные и поступательные движения выходного звена в каждой плоскости, а колебания на собственных формах с близкими частотами fx и fy, а также fφx и fφy взаимосвязаны.
Для компьютерной модели № 4 с упругими инерционными стержнями при c = 10000 Н∙м спектр первых девяти собственных частот более плотный чем в модели № 3: fx = 3,97 Гц, fy = 3,98 Гц, fφz = 4,56 Гц, fz = 8,56 Гц, fφx = 10,03 Гц, fφy = 10,04 Гц, fz2 = 13,9 Гц, fφx2 = 14,569 Гц, fφy2 = 14,572 Гц. Далее следуют три частоты 52,8 Гц, 53,7 Гц и 53,8 Гц, на собственных формах которых выходное звено практически неподвижно, а стержни совершают изгибные колебания в горизонтальной плоскости. На следующих трёх собственных формах с частотами fφz2 = 64,8 Гц, fx2 = 66,2 Гц, fy2 = 66,3 Гц выходное звено колеблется в горизонтальной плоскости вследствие изгиба стержней и с меньшими амплитудами, чем на частотах fφz, fx, fy. В конце спектра, начиная с частоты f175 = 5997 Гц и заканчивая f219 = 7126 Гц, собственные формы определяются продольными колебаниями стержней.
Численные эксперименты с варьированием коэффициента жёсткости привода. В процессе вычислительных экспериментов на модели № 3 коэффициенты жёсткости привода изменялись от 1 до 1∙1010 Н∙м. Установлено, что собственные частоты fz, f φx, fφy, соответствующие собственным формам с колебаниями выходного звена в вертикальной плоскости, не зависят от величины коэффициента жёсткости привода.
Собственные частоты fx, fy, fφz, на которых выходное звено колеблется в горизонтальной плоскости, зависят от величины коэффициента жёсткости привода аналогичным образом (табл. 1). Полулогарифмический график fx(lg c) (рис. 2) имеет три участка с различной кривизной, что можно объяснить свойствами последовательного соединения двух упругих элементов: привода и стержней, связывающих выходное звено и неподвижное основание в каждой из трёх упругих связей. Общая податливость последовательного соединения элементов есть сумма податливостей привода и стержней. На первом участке, для которого значения коэффициента жёсткости привода малы c ≤ 1000 Н∙м (lg c ≤ 3), суммарная податливость системы определяется податливостью привода, а податливость стержней пренебрежимо мала. Это объясняет, почему при с = 100 Н∙м в модели № 3 с упругими звеньями получены значения собственных частот fx = 20,58 Гц, fy = 20,85 Гц, fφz = 27,51 Гц, мало отличающиеся от значений для модели № 1 с жёсткими звеньями. На третьем участке при lg c ≥ 6 податливость привода пренебрежимо мала по сравнению с податливостью стержней, поэтому дальнейшее увеличение жёсткости и, соответственно, уменьшение податливости привода не изменяет собственные частоты колебаний. На промежуточном втором участке податливости стержней и привода сопоставимы. Для сравнения, коэффициенты жёсткости в соединении двух абсолютно жёстких элементов упругого стержня в соответствии с формулами (7), (9) cи = 1,01∙105 Н∙м, cк = 7,42∙104 Н∙м, cп = 1,98∙109 Н/м.
Рис. 2. Зависимость fx(lg c)
Fig. 2. Dependence of fx(lg c)
Для манипулятора с абсолютно жёсткими звеньями собственные частоты постоянно растут с ростом коэффициента жёсткости привода. Например, при c = 1∙109 Н∙м для модели № 1 fx = 65107 Гц, fy = 65582 Гц, fφz = 87073 Гц. Второй и третий участки графика fx(lg c) в этом случае отсутствуют.
Аналогичная картина сохраняется и для модели № 4 при других значениях геометрических, инерционных и упругих параметров промежуточных звеньев. Низшие собственные частоты с собственными формами, соответствующими колебаниям выходного звена в вертикальной плоскости, равны fz = 8,56 Гц, fφx = 10,03 Гц, fφy = 10,04 Гц, не зависят от величины коэффициента жёсткости привода. Значения собственных частот для двух собственных форм с колебаниями выходного звена в горизонтальной плоскости приведены в табл. 1.
Таблица 1
Значения низших собственных частот f для моделей № 3 и № 4, Гц
Table 1
Values of the lowest natural frequencies f for models No. 3 and No. 4, Hz
|
f |
Собственная форма |
Номер модели № |
lg c, Н∙м |
|||||||||
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
|||
|
fx |
x |
3 |
6,91 |
20,6 |
64,2 |
181 |
330 |
376 |
382 |
383 |
383 |
383 |
|
4 |
0,15 |
0,434 |
1,36 |
3,97 |
7,89 |
9,36 |
9,56 |
9,58 |
9,58 |
9,58 |
||
|
fφz |
φz |
3 |
8,22 |
27,5 |
86,0 |
243 |
442 |
504 |
512 |
513 |
513 |
513 |
|
4 |
0,16 |
0,50 |
1,60 |
4,60 |
9,10 |
10,9 |
11,2 |
11,2 |
11,2 |
11,2 |
||
Численные эксперименты с варьированием диаметра сечения стержней. На первом этапе для оценки влияния только упругих свойств стержней выполняем расчёты на модели № 5 при c = 1000 Н∙м для разных значений диаметра D коротких алюминиевых стержней круглого поперечного сечения с пренебрежимо малыми массой и тензором инерции. В соответствии с формулами (7), (8) при увеличении диаметра увеличиваются коэффициенты изгибной, крутильной и продольной жёсткости. Массы и тензоры инерции звеньев, при этом, остаются без изменения. На втором этапе для оценки влияния инерционных свойств стержней выполняем аналогичные расчёты на модели № 6, для которой масса и тензор инерции каждого жёсткого элемента стержня автоматически рассчитываются в программе по формулам (10) и зависят от диаметра. Результаты вычислительного эксперимента для моделей № 5 и № 6 приведены в табл. 2.
Таблица 2
Значения низших собственных частот f для моделей № 5 и № 6, Гц
Table 2
Values of the lowest natural frequencies f for models No. 5 and No. 6, Hz
|
f |
Собственная форма |
Номер модели № |
Диаметр стержня D, мм |
|||||||||
|
8 |
12 |
16 |
20 |
24 |
28 |
32 |
36 |
40 |
44 |
|||
|
fx |
x |
5 |
32,5 |
51,6 |
59,7 |
62,7 |
63,9 |
64,5 |
64,7 |
64,9 |
65,0 |
65,0 |
|
6 |
31,4 |
47,6 |
52,1 |
51,2 |
48,7 |
45,8 |
42,8 |
40,0 |
37,4 |
35,0 |
||
|
fφz |
φz |
5 |
43,6 |
69,1 |
80,0 |
84,0 |
85,6 |
86,3 |
86,7 |
86,8 |
87,0 |
87,0 |
|
6 |
41,4 |
61,6 |
66,0 |
63,6 |
59,4 |
54,9 |
50,6 |
46,8 |
43,3 |
40,2 |
||
|
fz |
z |
5 |
18,3 |
42,5 |
75,6 |
118 |
170 |
232 |
302 |
383 |
473 |
572 |
|
6 |
18,7 |
41,8 |
73,2 |
112 |
150 |
211 |
268 |
330 |
394 |
462 |
||
|
f φx |
φx |
5 |
13,4 |
30,0 |
53,4 |
83,4 |
120 |
164 |
214 |
270 |
334 |
404 |
|
6 |
13,3 |
29,8 |
52,5 |
81,3 |
116 |
156 |
200 |
250 |
303 |
359 |
||
Значения частот fx, fy и fφz зависят от диаметра D аналогичным образом. Значения частоты fx при невесомых стержнях (рис. 3, график 1) асимптотически приближаются к максимальному значению 65,1 Гц, полученному при c = 1000 Н∙м для модели № 1 с абсолютно жёсткими звеньями. Вид кривой fx(D) для невесомых стержней также, как и рис. 2, объясняется сложением податливостей привода и стержней.
Для собственных частот fz, fφx, fφy с собственными формами, на которых выходное звено колеблется в вертикальной плоскости, зависимости от диаметра D при невесомых стержнях существенно отличаются, так как эти колебания не зависят от жёсткости привода (рис. 4, график 1). При увеличении диаметра стержня в два раза, с 12 мм до 24 мм, коэффициенты изгибной и крутильной жёсткости стержней увеличились по формулам (7) и (8) в 16 раз, а собственная частота fz увеличилась в четыре раза с 42,5 Гц до 170 Гц, что хорошо согласуется с теорией колебаний. Кривая 1 на рис. 4 близка к параболе.
Введение в расчётную схему масс звеньев приводит к снижению значений собственных частот. Вид зависимостей fx(D) и fz(D) с учётом масс звеньев (график 2, рис. 3, 4) можно объяснить тем, что при малых значениях диаметра D масса выходного звена для модели № 6 существенно превышает суммарную массу стержней и определяет массу динамической системы, как в модели № 5 (график 1, рис. 3, 4). Например, при D = 20 мм суммарная масса шести стержней составляет 0,76 кг, а масса выходного звена – 1 кг. При больших значениях диаметра D масса системы определяется уже суммарной массой стержней, которая пропорциональна квадрату диаметра стержня, поэтому графики 1 и 2 на рис. 3, 4 расходятся с ростом D. Начиная с D = 24 мм, график 2 на рис. 3 близок к гиперболе, а график 2 на рис. 4 – к прямой.
|
Рис. 3. Зависимость fx(D) для моделей № 5 и № 6: 1 – без учёта масс стержней; 2 – с учётом масс Fig. 3. The dependence of fx(D) for models No. 5 and No. 6: 1 – without taking into account the masses of the rods; 2 – taking into account the masses |
|
Рис. 4. Зависимость fZ(D) для моделей № 5 и № 6: 1 – без учёта масс стержней; 2 – с учётом масс Fig. 4. Dependence fZ(D) for models No. 5 and No. 6: 1 – without taking into account the masses of the rods; 2 – taking into account the masses |
Для моделей № 7 и № 8 с длинными стальными стержнями результаты вычислений приведены в табл. 3.
Значения низших собственных частот для моделей № 7 и № 8, Гц
Table 3
Values of the lowest natural frequencies for models No. 7 and No. 8, Hz
|
f |
Собственная форма |
Номер модели № |
Диаметр стержня D, мм |
||||||||
|
20 |
30 |
40 |
50 |
60 |
70 |
80 |
90 |
100 |
|||
|
fx |
x |
7 |
7,68 |
11,8 |
13,5 |
14,1 |
14,4 |
14,5 |
14,5 |
14,6 |
14,6 |
|
8 |
2,76 |
2,90 |
2,49 |
2,08 |
1,76 |
1,53 |
1,34 |
1,19 |
1,08 |
||
|
fφz |
φz |
7 |
45,9 |
70,8 |
80,7 |
84,3 |
85,7 |
86,3 |
86,6 |
86,8 |
86,9 |
|
8 |
3,26 |
3,28 |
2,77 |
2,30 |
1,95 |
1,68 |
1,47 |
1,31 |
1,18 |
||
|
fz |
z |
7 |
4,59 |
10,3 |
18,4 |
28,7 |
41,3 |
56,2 |
73,4 |
92,9 |
115 |
|
8 |
2,86 |
4,8 |
6,70 |
8,56 |
10,4 |
12,2 |
14,0 |
15,8 |
17,6 |
||
|
f φx |
φx |
7 |
14,5 |
32,6 |
58,0 |
90,6 |
131 |
178 |
232 |
294 |
362 |
|
8 |
3,46 |
5,27 |
7,06 |
8,85 |
10,6 |
12,4 |
14,2 |
16,0 |
17,7 |
||
Результаты расчёта хорошо согласуются с данными для моделей № 5 и № 6. Например, для модели № 7 при увеличении диаметра D стержня в 2 раза (с 20 мм до 40 мм) собственная частота fz с собственной формой z увеличилась с 4,59 Гц до 18,4 Гц – в 4 раза, а коэффициенты изгибной и крутильной жёсткости, согласно формулам (7), (8), увеличились в 16 раз. Так как масса системы не меняется, то собственная частота на собственной форме z должна увеличиться примерно в 4 раза, что и наблюдается.
В модели № 8 в отличие от модели № 6 суммарная масса стержней превышает массу выходного звена уже при небольших значениях диаметра, так как стержни стальные и длинные. Поэтому графики 1 и 2 (рис. 5, 6) с ростом диаметра расходятся сразу, начиная с D = 20 мм. Кривая 2 на рис. 6 – прямая, а кривая 2 на рис. 5, начиная с D = 50 мм, близка к гиперболе.
|
Рис. 5. Зависимость fx(D) для моделей № 7 и № 8: 1 – без учёта масс стержней; 2 – с учётом масс Fig. 5. The dependence of fx(D) for models No. 7 and No. 8: 1 – without taking into account the masses of the rods; 2 – taking into account the masses |
|
Рис. 6. Зависимость fZ(D) для моделей № 7 и № 8: 1 – без учёта масс стержней; 2 – с учётом масс Fig. 6. Dependence fZ(D) for models No. 7 and No. 8: 1 – without taking into account the masses of the rods; 2 – taking into account the masses |
Заключение
Построена аналитическая модель плоского манипулятора параллельной структуры с тремя степенями свободы, а также его компьютерные модели в программном комплексе «Универсальный механизм» для расчёта собственных частот и форм малых колебаний.
Определены три собственные частоты fx, fy, fφz колебаний манипулятора с абсолютно жёсткими невесомыми промежуточными звеньями в горизонтальной плоскости движения механизма аналитическим и численным методом. Для рассмотренной конфигурации плоского манипулятора поступательное и вращательное движения выходного звена на собственных формах разделены и не зависят друг от друга. Допустимая разность аналитического и численного решений подтверждает адекватность принятых расчётных схем и алгоритмов.
Замена абсолютно жёстких промежуточных звеньев упругими стержнями привела к появлению собственных частот fz, fφx, fφy и соответствующих им форм, на которых выходное звено колеблется в вертикальной плоскости, перпендикулярной плоскости движения манипулятора. Поэтому, для анализа собственных колебаний плоского манипулятора недостаточно использовать плоскую кинематическую схему с абсолютно жёсткими звеньями. Установлено, что колебания выходного звена в вертикальной и горизонтальной плоскостях на собственных формах разделены. Учёт инерционных свойств упругих промежуточных звеньев привёл к появлению собственных частот и форм в нижней части спектра, на которых выходное звено совершает те же движения, что и на более низких частотах, но с меньшей амплитудой.
В результате вычислительных экспериментов с использованием разработанных компьютерных моделей определены зависимости значений собственных частот, соответствующих шести первым неизменным формам колебаний, от коэффициента жёсткости привода и от диаметра D стержней круглого поперечного сечения. Установлено, что для манипулятора с упругими стержнями значения частот fx, fy, fφz зависят от соотношения податливостей привода и стержней, образующих последовательное соединение, и с ростом коэффициента жёсткости привода не увеличиваются до бесконечности, как при абсолютно жёстких звеньях, а асимптотически приближаются к постоянным значениям парциальных частот упругих колебаний стержней. Поэтому введение упругих муфт в привод может существенно снизить собственные частоты колебаний манипулятора в горизонтальной плоскости. Значения собственных частот fz, fφx, fφy не зависят от коэффициента жёсткости привода, определяются упругими и инерционными свойствами стержней и увеличиваются с ростом диаметра невесомых стержней по квадратичному закону.
Влияние масс упругих звеньев на значения собственных частот определяется соотношением инерционных параметров выходного звена и стержней и видом собственных форм. В случае, когда масса системы определяется массой стержней, то значения частот fx, fy, fφz обратно пропорциональны диаметру D, а значения частот fz, fφx, fφy – прямо пропорциональны.
В результате исследования спектра собственных частот, сравнения значений коэффициентов изгибной, крутильной и продольной жёсткости в подвижных соединениях, анализа зависимости значений собственных частот от диаметра стержней установлено, что продольная жёсткость стержней не оказывает влияния на значения собственных частот в нижней части спектра.
1. Merlet JP. Parallel Robots. 2nd ed. Dordrecht: Springer; 2006.
2. Ganiev RF, Glazunov VA. Manipulation mecha-nisms of parallel structure and their applications in modern technology. Dokladi Akademii Nauk. 2014;459(4):428. DOIhttps://doi.org/10.7868/S086956521434009X.
3. Maslov AN. Positioning of non-rigid link of the robot manipulator taking into account control re-strictions. Vestnik Moscovskogo Energeticheskogo Instituta. Vestnik MEI. 2011;2:5-9.
4. Antonov AV, Glazunov VA. Influence of elastic forces on the movement accuracy of the parallel manipulator. Extreme Robotics. 202;1(1):47-55.
5. Heylo SV, Shirinkin MA, Glazunov VA. Determi-nation of natural oscillation frequencies of a paral-lel manipulator. Proceedings of Higher Educational Institutions. Textile Industry Technology. 2011;4(333):120-124.
6. Nosova NYu. Development and study of spatial mechanisms of a parallel structure with articulated parallelograms with various number of degrees of freedom [dissertation]. [Moscow (RF)] Mechanical Engineering Research Institute of the Russian Academy of Sciences; 2021.
7. Demidov SM, Artemenko YuN, Glazunov VA. Analysis of dynamic properties of parallel mecha-nisms. Mashinostroenie I Inzhenernoe Obrazovanie. 2012;1(30):36-41.
8. Skvortsov SA, Lysogorsky AE, Glazunov VA. Dy-namical analysis of parallel structure mechanism executing translational motions. Proceedings of the Southwestern State University. Series: Engineering and Technologies. 2015;2(15):70-79.
9. Glazunov VA, Heylo SV, Kostyukov AM. Study of oscillations of parallel structure mechanism. Collec-tion of Scientific Papers of the XII International Conference, May 18-20, 2016: Vibration Technol-ogies, Mechatronics and Controlled Machines; Southwest State University. Kursk; 2016. p. 23-28.
10. Pogorelov DY. On numerical methods of modeling large multibody systems. Mechanism and Machine Theory. 1999;34(5):791-800. DOIhttps://doi.org/10.1016/S0094-114X(98)00055-X.
11. Pogorelov DYu, Tolstosheev AK, Kovalev RV. Dynamic analysis and synthesis of mechanisms us-ing UM programs. Bryansk: Publishing House of Bryansk State Technical University; 1997.
12. Universal mechanism 9. User Manual: Getting started [Internet]; 2021 [cited 2022 May 30]. Avail-able from: http://www.universalmechanism.com/download/90/rus/gs_um.pdf
13. Tolstosheev AK, Tatarintsev VA. Structural analy-sis of robot machine mechanisms with parallel kin-ematics. Bulletin of Bryansk State Technical Uni-versity. 2017;1(54):33-43. DOIhttps://doi.org/10.12737/24889.
14. Shirinkin MA. Structural analysis of spatial mecha-nisms of a parallel structure with four and six de-grees of freedom. Mashinostroenie I Inzhenernoe Obrazovanie. 2011;2:17-21.
