In the paper is considered regularization of the Cauchy problem for systems of elliptic type equations of the first order with constant coefficients factorable Helmholtz operator in two-dimensional bounded domain.
Cauchy problem, factorization, fundamental solution, regular solution.
УДК: 517.946
ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА ПЕРВОГО ПОРЯДКА В СПЕЦИАЛЬНОЙ ОБЛАСТИ
THE CAUCHY PROBLEM FOR SYSTEMS ELLIPTIC TYPE EQUATIONS OF THE FIRST ORDER AT SPECIAL DOMAIN
Жураев Д. А., старший преподаватель
Каршинский государственный университет,
город Карши, Узбекистан
DOI: 10.12737/14447
Аннотация: В работе рассмотрена регуляризация задача Коши для системы уравнений эллиптического типа первого порядка с постоянными коэффициентами факторизуемым оператором Гельмгольца в двухмерной ограниченной области.
Summary: In the paper is considered regularization of the Cauchy problem for systems of elliptic type equations of the first order with constant coefficients factorable Helmholtz operator in two-dimensional bounded domain.
Ключевые слова: задача Коши,факторизация, фундаментальное решение, регулярное решение.
Keywords: Cauchy problem, factorization, fundamental solution, regular solution.
В некорректных задачах теорема существования не доказывается, существование предполагается заданным априори. Более того, предполагается, что решение принадлежит некоторому заданному подмножеству функционального пространства, обычно компактному. Единственность решения следует из общей теоремы Хольмгрена [6]. Условная устойчивость задачи следует из работы А.Н. Тихонова [5], если сузить класс возможных решений до компакта. Следуя А.Н. Тихонову [5], семейство вектор-функций назовем регуляризованным решением задачи. Регуляризованное решение определяет устойчивый метод приближенного решения задачи. Для специальных областей задача продолжения ограниченных аналитических функций в случае, когда данные задаются точно на части границы, было рассмотрена Т. Карлеманом [2]. Использование классической формулы Грина для построения регуляризованного решения задачи Коши для уравнения Лапласа было предложено академиком М.М. Лаврентьевым [3], в его известной монографии. Используя идеи М.М. Лаврентьева [3], Ш. Ярмухамедовым было построено в явном виде регуляризованное решение задачи Коши для уравнения Лапласа [4]. Система, рассматриваемая в данной работе, была введена Н.Н. Тархановым [1]. Задача восстановления, решения системы уравнений эллиптического типа первого порядка с постоянными коэффициентами факторизуемым оператором Гельмгольца, является одной из актуальных задач теории дифференциальных уравнений [8].
1. Tarkhanov N.N. Ob integral´nom predstavlenii resheniy sistem lineynykh differentsial´nykh uravneniy 1-go poryadka v chastnykh proizvodnykh i nekotorykh ego prilozheniyakh. Nekotorye voprosy mnogomernogo kompleksnogo analiza. Institut fiziki AN SSSR, Krasnoyarsk, 1980 g. - S. 147-160.
2. Carleman T. Les fonctions quasi analytiques, Paris. Gautier-Villars et Cie. 1926.
3. Lavrent´ev M.M. O zadache Koshi dlya uravneniya Laplasa. Izv. AN SSSR. Ser. mat. 1956. T. 20. - S. 819-842.
4. Yarmukhamedov Sh. Funktsiya Karlemana i zadacha Koshi dlya uravneniya Laplasa. Sib. mat. zhurnal. 2004. - T. 45. -№ 3. - S. 702-719.
5. Tikhonov A.N. O reshenii nekorrektno postavlennykh zadach i metode regulyarizatsii. Dokl. AN SSSR. 1963. - T. 151. -№ 3. - S. 501-504.
6. Bers A., Dzhon F., Shekhter M. Uravneniya s chastnymi proizvodnymi. - M.: Mir, 1966. - 351 s.
7. Gradshteyn I. S., Ryzhik I. M. Tablitsy integralov, summ, ryadov i proizvedeniy, (Nauka, Moskva, 1971).
8. D.A. Zhuraev Zadacha Koshi dlya sistem uravneniy ellipticheskogo tipa pervogo poryadka s postoyannymi koeffitsientami faktorizuemym operatorom Gel´mgol´tsa v ogranichennoy oblasti. Trudy nauchnoy mezhdunarodnoy konferentsii «Problemy sovremennoy matematiki». Karshi 22-23 aprelya 2011 g. S. 123-126.
