employee from 01.01.2011 until now
Kursk, Kursk, Russian Federation
employee
Kursk, Kursk, Russian Federation
Russian Federation
UDK 629.735.45 Вертолеты
UDK 623.746.-519 беспилотные
There is a problem of quickly obtaining reliable and sufficient information about the environment, including in hard-to-reach areas where there is no communication or long-term stationary monitoring is required in order to ensure the safety or security of important objects. The paper discusses the issues of mathematical modeling of automated cable parking of an unmanned aerial vehicle (platform) in a vertical plane. The aim of the research is to create tools for the design of tethered flying platforms equipped with an automated cable restraint system, taking into account external random atmospheric disturbances during vertical flight. To achieve this aim, it is necessary to carry out mathematical modeling of the flight of tethered unmanned aerial platforms, taking into account external active and reactive forces, as well as disturbing forces – random air flows, which can be significant in strength and variable in direction, which undoubtedly affects the stable position tethered platform. The use of the extended Kalman filter algorithm as an observer of the tethered flying platform state in mathematical modeling of the platform's flight makes it possible to take into account random disturbances of the atmosphere as a partially deterministic environment in order to reduce the position error of the aircraft during its control. To solve the problem, methods of classical mechanics, motion stability theory, optimal control, estimation theory, and parametric optimization were used. The results of mathematical modeling of a tethered flying platform – a tethered copter – flight are presented, taking into account random atmospheric disturbances. The results of computational experiments made it possible to establish that random atmospheric disturbances can have a significant impact on the position control of an aircraft.
tethered platform, modeling, Kalman filter, state observer
Введение. Стремительное развитие информационных технологий, микропроцессорной техники, систем автоматического управления и связи для беспилотных летательных аппаратов (БЛА) с одной стороны и ограничения или подавление их оптико-электронных компонентов приводит к переосмыслению концепции применения БЛА.
Существует ряд задач по сбору информации и стационарному наблюдению за объектами в труднодоступных местах (леса, горные ущелья, геологические разработки и др.), где прием сигналов затруднен, подавляется или отсутствует вовсе. Ограниченное время работы бортового аккумулятора (в среднем 20–40 мин. для аппаратов среднего класса), и, соответственно, время нахождения летательного аппарата в воздухе требует постоянного присутствия оператора для его обслуживания: подзарядки или замены.
Применение проводного наземного источника питания для летательного аппарата позволит решить задачу длительности нахождения аппарата в воздухе и позволит нести полезную нагрузку в виде контролирующих приборов, тепловизоров и др., а проводная сеть передачи данных, например, волоконно-оптический кабель, канал которого не подвержен наличию помех, позволит обезопасить передачу сведений независимо от действия РЭБ.
Однако, наличие «привязи» накладывает ограничения на рабочее пространство и динамику в связи с необходимостью удержания летательного аппарата с полезной нагрузкой (до 10–30 кг) на высоте 20–100 м с помощью кабель-троса для электрической нагрузки 10–15кВт [1].
Применение беспилотных коммуникационных платформ с привязанным к ним на кабель-тросе оборудованием для нужд аэрогеофизики, например, для гамма-спектрометрии (рис. 1-а), явилось преддверием для развития привязных стационарных телекоммуникационных платформ [2] (рис. 1-б).
Системы привязных летательных платформ NTFPs (англ. Networked Tethered Flying Platforms – сетевые привязные летающие платформы), являются частью телекоммуникационных структур и промежуточным звеном между спутниками и наземной связью. Кабель-трос обеспечивает непрерывную передачу данных и питания, источником которого может служить генератор, электростанция и т.п. С точки зрения беспроводной телекоммуникационной связи использование NTFPs значительно дешевле спутников и башен-вышек. Но существуют и ограничения на применение рассматриваемых платформ, например, отсутствие мобильности, ограниченная длина кабель-троса, надежность винтомоторной группы используемых беспилотных летательных аппаратов (БЛА). Поэтому сферами применения NTFPs являются сбор и передача информации по экологической, биологической, научно-исследовательской и военной деятельности [3–5].
а) б)
Рис. 1. Квадрокоптер: а – с исследовательским оборудованием; б – привязной коптер
Вопросами применения привязных платформ начали уделять внимание совсем недавно. Прародителями NTFPs можно считать аэростаты – аппараты легче воздуха, к которым относятся: воздушные шары, стратостаты, дирижабли [6-9]. Так дирижабли, активно строившиеся во второй половине 19 века, имели ёмкости, которые заполнялись газом низкой плотности, например, гелием, и за счет разностей плотностей газа и воздуха могли не только перемещаться в любом направлении, но и долго находиться на определенном месте без затрат горючего, отключив двигатели. Использовались и привязные дирижабли для подъёма ретрансляторов, защиты от налетов авиации и пр., которые при подъёме, стоянке на высоте и спуске удерживались специальным тросом, нижний конец которого закреплялся на лебедке. Таким образом, происходила регулировка высоты подъёма и/или перемещение в горизонтальной плоскости. Стратостаты и воздушные шары используются и в настоящее время для наблюдений, сбора данных и экспериментов в атмосфере для метеорологии, географических исследований, аэрологии и в коммерческих целях. Продолжительность полета на воздушном шаре может варьироваться в зависимости от различных факторов, таких как погодные условия, выбранная траектория полета, и происходит в нижних слоях атмосферы. В среднем, полет на воздушном шаре длится около часа. В отличии от воздушных шаров полет стратостатов проходит на больших высотах, в стратосфере.
На сегодняшний день недостаточно изучена проблема моделирования привязных беспилотных летательных платформ, которые подвержены влиянию случайных воздушных потоков. Этот фактор является одним из основных, влияющих на устойчивое положение привязной платформы, так как сила ветра может быть значительной по силе и переменной по направлению [10].
Целью работы является создание инструментальных средств проектирования привязных летательных платформ, оснащенных автоматизированной тросовой системой удержания с учетом внешних случайных возмущений атмосферы при вертикальном полёте.
Методы, оборудование, материалы. Рассмотрим расчетную схему привязной стационарной платформы, которая состоит из беспилотного летательного аппарата, например, гексакоптера (далее коптер) - 1, кабель-троса - 2, наматываемого на барабан-лебёдку - 3 и электрогенератора - 4 (рис. 2). Функциями кабель-троса 2 являются: удержание летательного аппарата в воздухе и его стабилизация, передача электропитания к двигателям, передача данных по оптоволокнам.
Движение летательного аппарата рассматривается в инерциальной системе отсчета ОXYZ, связанной с землей. Центр масс корпуса коптера С совпадает с началом подвижной системы координат СX1Y1Z1. Ориентация летательного аппарата задаётся самолетными углами крена j, тангажа q и рысканья y [10–12].
На БЛА (рис. 2) действуют приведенные к центру масс С силы: тяги несущих винтов , тяжести корпуса и кабель-троса
, сопротивления движению воздуха относительно корпуса (возмущающее воздействие)
и натяжения кабель-троса
. Считаем, что кабель-трос находится в натяжении, создаваемом механизмом лебёдки 3. Проекции силы
на оси инерциальной системы отсчета определим как
,
где - проекция силы
на плоскость OXY.
Рис. 2. Расчетная схема привязной стационарной платформы
Проекцией центра масс С коптера на плоскость OXY является точка СXY, положение которой определим геометрически с помощью радиус-векторов, образующих треугольник DОАСXY (рис. 2):
,
;
тогда углы a и g могут быть найдены исходя из выражений:
, .
Следует учесть, что масса кабель-троса является переменной величиной, зависящей от его длины, поэтому считаем силу тяжести как
,
где m – общая масса коптера и кабель-троса;
g – ускорение свободного падения;
m0 – масса коптера;
m1(Z) – масса кабель-троса, зависящая от его длины Z.
Движение коптера можно описать шестью независимыми дифференциальными уравнениями второго порядка. Методика построения уравнений подробно изложена в [10-12]. В общем виде их можно представить в векторно-матричной форме следующим образом:
, (1)
где – оператор инерционности системы, E - единичная матрица,
– тензор инерции мультикоптера;
- оператор, задающий пространственное положение аппарата,
- угол, определяющий ориентацию аппарата, относительно центра масс С;
– оператор скорости,
– абсолютная скорость центра масс С тела в неподвижной системе отчета,
– угловая скорость вращения аппарата в подвижной системе отсчета;
- вектор внешних сил;
– вектор управляющих воздействий:
– вектор тяговых сил в проекциях на оси неподвижной системы отчета,
– вектор главного момента внешних сил относительно подвижной системы отсчета, Т10 - матрица поворота систем координат СX1Y1Z1 относительно ОXYZ [12].
На основании теорем об изменении импульса и кинетического момента системы относительно центра масс аппарата С, преобразуем уравнение (1) к виду [13–15]:
. (2)
Здесь – кинетический момент.
Вектор силы сопротивления движению корпуса коптера в воздушной среде:
,
, (3)
где m, k - матрицы эмпирических коэффициентов сопротивления, зависящие от геометрических параметров корпуса коптера, угла атаки несущих винтов;
- относительная скорость центра масс коптера, которая является разностью векторов скоростей центра масс
системы координат OZ и вектора скорости воздушного потока
:
. (4)
Силу RC будем рассматривать как случайное возмущающее воздействие на систему в форме «белого» гауссового шума. Случайные величины w1, w2, w3, действующие соответственно на величины , составляют вектор шума w(t):
,
характеризующегося ковариационной матрицей вида
,
где - координата, скорость и ускорение центра масс коптера; t – некоторый момент времени;
,
,
– дисперсии случайных величин w1, w2, w3 соответственно.
Основная часть. Опишем в дискретном времени k модель вертикального взлета (посадки) коптера как управляемой системы следующими выражениями [16–18]:
, (5)
, (6)
где v(k) – величина шума измерения, характеризуется дисперсией R;
k – некоторый текущий момент времени;
(k + 1) – следующий за текущим момент времени;
z(k) – вектор состояния управляемой системы, переменные состояния которого – z1(k), z2(k), z3(k), имеют вид
;
u(k) – управляющее воздействие;
y(k) – величина выхода системы;
F(•) – вектор-функция процесса изменения состояния размерностью 3;
H(•) – вектор-функция процесса наблюдений размерностью 3;
g – вектор постоянных возмущающих воздействий размерностью 3;
w(k) – вектор шума процесса, размерность вектора 3 – характеризуется ковариационной матрицей Q.
Определим функцию, задающую общую подъемную силу коптера:
где FM – общая подъемная сила коптера;
Z(k) – текущая высота полета коптера;
Z*(k) – требуемая высота полета коптера;
FLOAD(k) – сила нагрузки (сила тяжести коптера и кабель-троса плюс сила натяжения кабель-троса);
FMAX – максимальная подъемная сила одного привода (винтомоторной группы) коптера;
Δt – период времени (сек.) между моментом времени (k–1) и моментом времени k;
N – количество приводов (винтомоторных групп) коптера;
P, I, D – коэффициенты ПИД-регулятора: P – коэффициент пропорциональной составляющей, I – коэффициент интегральной составляющей, D – коэффициент дифференциальной составляющей;
ZE(k) – текущая ошибка вертикальной координаты коптера;
ZE(k–1) – предыдущая ошибка вертикальной координаты коптера;
ZI(k) – текущая ошибка интегральной составляющей;
ZI(k–1) – предыдущая ошибка интегральной составляющей;
F(k) – вычисленная текущая общая подъемная сила приводов коптера, 0 < F ≤ N∙FMAX.
Зададим функцию, определяющую массу кабель-троса зависимой от высоты Z(k) полета коптера:
,
где km – коэффициент, задающий массу 1 метра кабель-троса (зависит от плотностей компонентов кабель-троса и его сечения);
Z(k) – высота полета коптера в некоторый момент времени k.
Исходя из уравнения динамики вертикального полета коптера:
,
,
где Z(k), ,
- высота полета, скорость и ускорение коптера как материальной точки;
– функция, определяющая массу кабель-троса;
μ – коэффициент вязкости среды (вязкого сопротивления);
TC – проекция силы натяжения кабель-троса на ось Z;
RC – проекция силы сопротивления движению корпуса коптера в воздушной среде на ось Z;
– функция, задающая подъемную силу коптера;
– функция, задающая требуемую высоту полета коптера.
Выразим вектор-функцию процесса изменения состояния F(•) системы коптера:
где ;
Δt – период времени между моментом времени (k – 1) и моментом времени k.
Определим вектор-функцию H(•) процесса наблюдений:
таким образом, единственной наблюдаемой величиной системы является высота Z(k) полета коптера.
Проведем линеаризацию вектор-функций F(•) и H(•) – получим матрицу Якоби и векторы
и
:
при условии, что: ,
,
,
имеем:
; ,
при условии, что имеем:
Вектор постоянных возмущающих воздействий имеет вид: .
Используя полученные матрицу и векторы
и
, перепишем выражения (5) и (6):
, (7)
. (8)
С целью математического моделирования вертикального полета коптера с кабелем-тросом в качестве наблюдателя состояния был использован алгоритм расширенного фильтра Калмана (РФК, англ. extended Kalman filter – EKF), который в настоящее время широко используется в робототехнике [19-21].
Для проведения численного эксперимента определим функцию, задающую требуемую высоту полета коптера:
,
где k0, k1, k2, k3 – моменты времени, k0 < k1 < k2 < k3;
s – начальное постоянное значение функции при k £ k0;
p – установившееся постоянное значение функции при ;
d – конечное постоянное значение функции при .
В ходе математического моделирования вертикального полета коптера принимались следующие значения описанных параметров:
Δt = 10–3 сек, m0 = 6 кг, μ = 10, TC = 10 Н, km = 0,06 кг, FMAX = 15 Н, N = 6, P = 200, I = 10, D = 10, ; начальные условия моделирования (при k = 0): Z(0) = 0 м,
= 0 м/с,
= 0 м/с2.
Вычислительные эксперименты выполнялись с использованием ПО MathWorks MATLAB.
Результаты. На рисунках 3–4 представлены результаты математического моделирования полета коптера при значениях аргументов функции Z*:
s = 0 м, p = 20 м, d = 0 м, k0 = 0 сек, k1 = 60 сек, k2 = 180 сек, k3 = 240 сек,
, т.е. предполагается, что на величину Z оказывает влияние случайная сила RC – «белый» гауссовый шум c нулевым математическим ожиданием и диапазоном случайных величин -3 … 3 (так как элемент матрицы Q1,1 = 1). На рисунках 3-а, 3-б, 3-в приведены результаты моделирования при R = 0,1, на рисунках 4-а, 4-б, 4-в – при R = 10.
Рисунки 3-а, 3-б, 3-в демонстрируют значительное отклонение координаты Z коптера от требуемых значений координаты Z* при наборе коптером высоты. На рисунках 4-а, 4-в, напротив, показана минимальная ошибка ZE вертикальной координаты коптера вследствие значения дисперсии R, характеризующей величину шума измерения, большего значения элемента матрицы Q1,1, характеризующего величину шума процесса для величины Z, то есть R > Q1,1. Наблюдатель состояния с данным соотношением дисперсий может быть применен при использовании в системе управления коптером датчика высоты с относительно высокой погрешностью. С другой стороны, при R >> Q, происходит чрезмерное «сглаживание» оценок значений переменных состояния системы, и, как следствие этого, их искажение.
а) б)
в)
Рис. 3. Временные диаграммы изменения значений: а – Z *, Z, ZE, б – Z, ,
, в – Z, ZE, FM
Проведено исследование влияния максимальной подъемной силы FMAX одного привода на диапазон изменения подъемной силы FM коптера – результаты представлены на рис. 5.
Рисунок 5 демонстрирует временные диаграммы изменения подъемной силы FM коптера при разных значениях максимальной подъемной силы одного привода FMAX и при значениях аргументов функции Z *: s = 0 м, p = 1 м, d = 0 м, k0 = 0 сек, k1 = 3 сек, k2 = 9 сек, k3 = 12 сек, на величину Z сила RC не оказывала влияние. Временные диаграммы 1 и 2 (рис. 5) дают информацию о недостаточной тяговооруженности для вертикального полета коптера; с другой стороны, временные диаграммы 3 и 4 позволяют говорить о достаточных возможностях приводов для взлета.
а) б)
в)
Рис. 4. Временные диаграммы изменения значений: а – Z *, Z, ZE, б – Z, ,
, в – Z, ZE, FM
Рис. 5. Временные диаграммы изменения подъемной силы FM коптера при значениях Fmax:
1 – Fmax = 5 Н, 2 – Fmax = 10 Н, 3 – Fmax = 15 Н, 4 – Fmax = 20 Н
Выводы. Предложена математическая модель привязной летательной платформы (NTFP), описывающая процесс взлета/посадки коптера с учетом влияния случайных возмущений атмосферы на высоту полета коптера.
Математическая модель полета привязной платформы, описанная в пространстве состояний, может быть использована для построения наблюдателей состояния подобных устройств на основе расширенного фильтра Калмана. Фильтр Калмана, используемый при математическом моделировании полета привязной платформы, позволяет получить оценку переменных состояния данного летательного аппарата и учитывать случайные возмущения атмосферы как частично детерминированной среды с целью уменьшения ошибки позиционирования привязной платформы во время управления ею.
1. Vishnevsky V.M., Kozyrev D.V., Rykov V.V., Nguyen Z.F. Modeling the reliability of an unmanned high-altitude module of a tethered telecommunications platform [Modelirovaniye nadozhnosti bespilotnogo vysotnogo modulya privyaznoy telekommunikatsionnoy platformy]. Information technologies and computing systems. 2020. No. 4. Pp. 26–38. DOI:https://doi.org/10.14357/20718632200403 (rus)
2. Parshin A.V., Tsirel V.S., Rzhevskaya A.K., Methodological recommendations for performing low-altitude aeromagnetic surveys using UAVs [Metodicheskiye rekomendatsii po vypolneniyu malovysotnoy aeromagnitnoy s"yemki s primeneniyem BPLA]. Problems of geocosmos, 2018. Pp. 190–195. (rus)
3. Belmekki B.E.Y., Alouini M.S. Unleashing the potential of networked tethered flying platforms: Prospects, challenges, and applications. IEEE Open Journal of Vehicular Technology. 2022. Vol. 3. Pp. 278–320. DOI:https://doi.org/10.1109/OJVT.2022.3177946
4. Belmekki B.E.Y., Alouini M.S. On the Usage of Networked Tethered Flying Platforms for Massive Events-Case Study: Hajj Pilgrimage. arXiv preprint arXiv:2111.00900. 2021. DOI:https://doi.org/10.48550/arXiv.2111.00900
5. Lou Z., Belmekki B.E.Y., Alouini M.S. HAPS in the non-terrestrial network nexus: Prospective architectures and performance insights. IEEE Wireless Communications. 2023. Vol. 6(30). Pp. 52–58. DOI:https://doi.org/10.1109/MWC.004.2300198
6. Kanoria A.A., Pant R.S. Winged aerostat systems for better station keeping for aerial surveillance. International Conference on Mechanical and Aerospace Engineering (CMAE 2011). Advanced Materials Research. 2011. Vol. 433–440. Pp. 6871–6879. DOIhttps://doi.org/10.4028/www.scientific.net/AMR.433-440.6871
7. Khoury G.A., Gillett J.D. Airship Technology. Cambridge Aerospace Series, 2004. 560 p.
8. Rajani A., Pant R.S., Sudhakar K. Dynamic Stability Analysis of a Tethered Aerostat. AIAA Journal of Aircraft. 2010. Vol. 47(5). Pp. 1531–1538. DOI:https://doi.org/10.2514/1.47010.
9. Lambert C., Nahon M. Stability Analysis of a Tethered Aerostat. Journal of Aircraft. 2003. Vol. 40(4). Pp. 705–715. DOI:https://doi.org/10.2514/2.3149
10. Vishnevsky V.M., Mikhailov E.A., Tumchenok D.A. et al. Mathematical Model of the Operation of a Tethered Unmanned Platform under Wind Loading. Mathematical Models and Computer Simulations. 2020. Vol. 12. Pp. 492–502. DOI:https://doi.org/10.1134/S2070048220040201
11. Kiribayashi S., Ashizawa J., Nagatani K. Modeling and design of tether powered multicopter. Proceedings of the 2015 IEEE International Symposium on Safety, Security, and Rescue Robotics, 2015. Pp. 1–7. DOI:https://doi.org/10.1109/SSRR.2015.7443016.
12. Kwon H-M, Lee D-K. Modeling and Simulation of Heavy-Lift Tethered Multicopter Considering Mechanical Properties of Electric Power Cable. Aerospace. 2021. Vol. 8(8). 208. Pp. 1–18. DOI:https://doi.org/10.3390/aerospace8080208
13. Pavlovsky M.A., Akinfieva L.Yu., Boychuk O. F. Theoretical mechanics: Dynamics [Teoreticheskaya mekhanika: Dinamika]. Kiev: Vyshcha shkola, 1990, 480 p. (rus)
14. Lyapunov A.M., Lectures on theoretical mechanics [Lektsii po teoreticheskoy mekhanike]. Kiev: Naukova dumka, 1982. p. 632. (rus)
15. Jatsun S., Emelyanova O., Lushnikov B., Leon A.M., Morocho L.M., Pechurin A., Sarmiento C.N. Hovering control algorithm validation for a mobile platform using an experimental test bench. IOP Conference Series: Materials Science and Engineering. 2021. Vol. 1027. 012008. DOI:https://doi.org/10.1088/1757-899X/1027/1/012008
16. Zaid A.A., Belmekki B.E.Y., Alouini M.S. Aerial-Aided mmWave VANETs Using NOMA: Performance Analysis, Comparison, and Insights. IEEE Transactions on Vehicular Technology. 2024. Vol. 73 (4). Pp. 4742–4758. DOI:https://doi.org/10.1109/TVT.2023.3330306
17. Dinh T.D., Vishnevsky V., Larionov A., Vybornova A., Kirichek R. Structures and deployments of a flying network using tethered multicopters for emergencies. Distributed Computer and Communication Networks. DCCN 2020. Lecture Notes in Computer Science. 2020. Vol. 12563. DOI:https://doi.org/10.1007/978-3-030-66471-8_3
18. Alpago D., Dörfler F., Lygeros J. An extended Kalman filter for data-enabled predictive control. IEEE Control Systems Letters/ 2020. Vol. 4. Pp. 994–999. DOI:https://doi.org/10.1109/LCSYS.2020.2998296.
19. Sun H., Madonski R., Li S., Zhang Y., Xue W. Composite control design for systems with uncertainties and noise using combined extended state observer and Kalman filter. IEEE Transactions on Industrial Electronics. 2021. Vol. 69(4). Pp. 4119–4128. DOI:https://doi.org/10.1109/TIE.2021.3075838
20. Schmidt S.F. Application of state-space methods to navigation problems. Advances in Control Systems, 1966. Vol. 3. Pp. 293–340. DOI:https://doi.org/10.1016/B978-1-4831-6716-9.50011-4
21. Bezmen P.A. Integration of Mobile Robot Control System Data Using the Extended Kalman Filter [Kompleksirovaniye dannykh sistemy upravleniya mobil'nym robotom s ispol'zovaniyem rasshirennogo fil'tra Kalmana]. Proceedings of the Southwest State University, 2019. No. 2. Pp. 53–64. DOI:https://doi.org/10.21869/2223-1560-2019-23-2-53-64 (rus)
