The spatial contact problem with an unknown contact domain is investigated for a transversely isotropic elastic half-space the boundary of which is perpendicular to the planes of isotropy For a circular punch, the contact zone, as a rule, is not a circle because the stiffness of the elastic solid boundary depends on the direction. The problem is reduced to an integral equation (IE) with respect to the contact pressure the kernel of which does not include quadratures. Galanovs numerical method which makes it possible to determine simultaneously the contact zone and the contact pressure is used to solve the IE. The simple form of the IE kernel allows regularizing it by using a parameter which depends on mesh intervals as well as on anisotropy parameters. A well-known exact solution to a punch in the form of an elliptical paraboloid is used to verify the computer program. The numerical analysis has been made for different transversely isotropic materials contacting with conical and pyramidal punches.
theory of elasticity, contact problem, transversely isotropic half-space, Galanov´s method.
Введение. Механические свойства трансверсально-изотропных материалов вызывают интерес у исследователей, поскольку касаются ряда важных материалов, имеющих гексагональную кристаллическую решётку [1]. Развиваемый метод позволяет эффективно оценивать твёрдость и контактную прочность материалов, приповерхностные свойства которых могут существенно зависеть от направления. Ядро интегрального уравнения контактной задачи ранее было получено в виде двойного интегрального преобразования Фурье [2]. Затем при помощи теории обобщённых функций удалось представить это ядро в виде свободном от квадратур [3]. Такой вид ядра, ввиду простоты его регуляризации в особых точках, сделал возможным применить для решения контактной задачи с неизвестной областью контакта метод нелинейных граничных ИУ типа Гаммер-штейна, развитый Галановым [4, 5]. Твёрдость по Бринеллю для эллиптического штампа может быть оценена на основе точного решения для эллиптического параболоида [2]. В представленной работе сделаны расчёты для разных материалов при внедрении конического штампа и штампа в форме четырёхугольной пирамиды (твёрдость по Виккерсу). Определены области контакта, давления и значения вдавливающей силы при заданной осадке штампа.
1. Ding, Н., Chen, W., Zhang, L. Elasticity of transversely isotropic materials. Dordrecht: Springer, 2006, 435 p.
2. Fabrikant, V. I. Non-traditional contact problem for transversely isotropic half-space. Quarterly Journal of Mechanics and Applied Mathematics, 2011, vol. 64, no. 2, pp. 151-170.
3. Davtyan, D. В., Pozharskiy, D. A. Deystviye polosovogo shtampa na transversalno-izotropnoye poluprostranstvo. [Band stamp effect on transversally isotropic half-space.] Prikladnaya matematika i mexanika, 2012, vol. 76, iss. 5, pp. 783-794 (in Russian).
4. Galanov, B. A. Metod granichnykh uravneniy tipa Gammershteyna dlya kontaktnykh zadach teorii uprugosti v sluchaye neizvestnykh oblastey kontakta. [Hammerstein boundary equation method for elasticity theory contact problems in case of contact unknown domains.] Prikladnaya matematika i mekhanika, 1985, vol. 49, iss. 5, pp. 827-835 (in Russian).
5. Alexandrov, V. M., Pozharskiy, D. A. Neklassicheskiye prostranstvennyye zadachi mekhaniki kontaktnykh vzaimodeystviy uprugikh tel. [Nonclassical spatial problems of elastic bodies contact interaction mechanics.] Moscow : Faktorial, 1998, 288 p. (in Russian).
