Конструкции подавляющего большинства динамических центробежных сепараторов имеют устройства для равномерного распределения материала в зоне сепарации [1, 2, 3, 4, 5]. Эти устройства могут придавать необходимые скорости частицам материала при их попадании в газовую среду зоны сепарации, влиять на кинематические и динамические характеристики поступающих с распределительных устройств частиц. Это дает дополнительные возможности по управлению процессом сепарации и его эффективностью [6,7]. В этой связи установление взаимосвязи скоростных параметров поступающих в зону сепарации частиц материала с параметрами конструкции распределительных устройств, частотой их вращения, способом и местом подачи частиц, коэффициентом их трения о поверхность приобретает существенную практическую значимость. Распределительные устройства имеют конструктивные отличия. Наиболее часто они выполняются в виде вращающегося конуса [8]. Определению скоростных параметров взаимодействующих с распределительным устройством частиц посвящено достаточно много работ, однако в предлагаемых описаниях имеются определенные недостатки. К примеру, в работах [9,10] обязательным условием для определения скорости частицы является необходимость в определении времени нахождения частицы на поверхности вращающегося устройства экспериментальным способом. В связи с этим разработка математического описания для определения скорости движения частицы по вращающемуся конусу является актуальной.
Рассмотрим движение частицы материала массой m по поверхности вращающегося с частотой ω конуса. Траектория движения частицы по внешней его поверхности, очевидно, будет представлять собой коническую спиральную линию или участок такой линии с переменным расстоянием r от оси вращения (рис. 1).
Согласно представленной на рис. 1 расчетной схеме, спиральную траекторию движения частицы в плоскости, перпендикулярной оси вращения, можно описать следующим соотношениями:
, (1)
, (2)
где угол поворота 
отсчитываемый от положительного направления оси ОХ с частотой вращения конуса связан следующим соотношением:
, (3)
здесь t – текущее время.
Для описания движения частицы материала вдоль образующей конуса введем двумерную декартовую систему координат 
с началом в точке О1 согласно расчетной схеме, представленной на рис. 2.
Пусть в некоторый произвольный момент времени частица материала на поверхности вращающегося конуса имеет следующие параметры 
, которые согласно схеме на рис. 2 связаны между собой и геометрическими размерами конуса, следующими соотношениями:
, (4)
. (5)
Примем, что на частицу материала, находящуюся на внешней поверхности вращающегося конуса действуют следующие силы: вес частицы P, сила реакции опоры N, центробежная сила Fц и сила трения о поверхность конуса.
Рис. 1. Представление траектории движения
частицы материала по вращающейся поверхности конуса
Пусть в некоторый произвольный момент времени частица материала на поверхности вращающегося конуса имеет следующие параметры , которые согласно схеме на рис. 2 связаны между собой и геометрическими размерами конуса, следующими соотношениями:
, (4)
. (5)
Рис. 2. Расчетная схема для описания движения
частицы материала в неподвижной системе
координат 
Примем, что на частицу материала, находящуюся на внешней поверхности вращающегося конуса действуют следующие силы: вес частицы P, сила реакции опоры N, центробежная сила Fц и сила трения о поверхность конуса.
Проекция этих сил на ось 
позволяет получить следующее соотношение:
(6)
где 
– значение угла образованного направляющей конуса с осью 
; m – масса частицы материала; g – ускорение свободного падения.
Угол определяется через параметры конуса и выражается согласно соотношениям:
, (7)
. (8)
На основании (6) находим, что величина силы реакции опоры будет определяться соотношением:
. (9)
Уравнение движения частицы материала в системе координат 
связанной с вращением конической поверхности, будет иметь следующий вид:
где 
– коэффициент трения скольжения.
Подстановка в (9) с учетом (4), (5), (7), (8) в (10) позволяет получить следующее уравнение:
Введем следующие обозначения:
C учетом введенных обозначений уравнение (11) принимает вид:
Общее решение дифференциального уравнения (14) имеет вид:
где 
– постоянные интегрирования, значения которых можно найти исходя из следующих начальных условий:
где 
– расстояние от вершины конуса до начальной точки, с которой частица начинает движение по поверхности конуса.
Применение (17) и (15) приводит к соотношению:
(18)
Подстановка (18) и (15) позволяет получить выражение:
Применив (16) к (19) позволяет получить окончательно следующий результат:
Подстановка (20) в (19) позволяет получить окончательно следующий результат:
На основании (5) с учетом (21) можно найти изменение z – координаты частицы материала при движении по вращающейся поверхности конуса:
Согласно полученному соотношению (22) можно найти 
– время движения частицы материала по поверхности вращающегося конуса, а именно:
Применив (23) к соотношению (22) получаем следующее уравнение для определения значения :
Решая уравнение (26) относительно величины находим:
Найдем изменение проекций скоростей частицы материала в плоскости, перпендикулярной оси вращения конуса 
и 
. C учетом (3) – (13) соотношения (1) и (2) принимают вид:
На основании (26) и (27) находим:
Связь между компонентами скоростей в полярной – 
и декартовой – 
системах координат определяется следующими соотношениями:
Подстановка (28) и (29) в (30) и (31) позволяет получить следующий результат:
Подстановка (21) в (32) и (33) с учетом (12) и (13) позволяет окончательно получить следующий результат:
Таким образом, полученные аналитические соотношения (34) и (35) определяют изменение компонент скорости движения частицы материала по внешней поверхности вращающегося конуса с частотой 
в зависимости от параметров конуса 
, 
и расстояния от его вершины до начального положения частицы – .
С использованием полученного математического описания были получены графические зависимости от параметра LH и текущего времени t составляющих скоростей движения частицы мергеля 
и 
по вращающейся поверхности конуса распределительного устройства промышленного центробежного сепаратора с диаметром корпуса 4 м (рис. 3). Зависимости построены при следующих конструктивно-технологических параметрах сепаратора: 
; 
; 
; 
и коэффициенте трения 
.
Функциональные зависимости (34) и (35) являются возрастающими. Приведенные на рис. 3 графические зависимости характеризуются выраженным нелинейным характером изменения и от t. Значения радиальной составляющей скорости превышают значения тангенциальной составляющей скорости для всех рассматриваемых интервалов значений и t. Так, при = 0,1 м и времени t1 = 0,2 с; t2 = 0,4 с; t3 = 0,6 с радиальная составляющая скорости принимает значения 
= 1,12 м/с, 
= 2,77 м/с, 
= 6,05 м/с; а тангенциальная составляющая - 
= 0,56 м/с, 
= 1,87 м/с, 
= 4,49 м/с. При увеличении расстояния между вершиной конуса и начальным положением частицы до = 0,3 м и указанных значениях времени радиальная составляющая скорости принимает значения 
= 1,54 м/с, 
= 3,79 м/с, 
= 8,20 м/с; а тангенциальная составляющая - 
= 1,17 м/с, 
= 2,83 м/с, 
= 6,59 м/с. Превышения значений над составляют для первого рассмотренного случая соответственно 50%, 67 % и74 %; для второго - 76 %, 74 % и 80 %.
|
а) б)
|
|
t, с
|
|
LH, м
|
|
t, с
|
|
LH, м
|
|
𝜐𝜑, м/с
|
|
𝜐r, м/с
|
Рис. 3. Зависимости составляющих скоростей движения частицы мергеля по вращающейся конической поверхности от t и 
: а) - 𝜐𝜑; б) - 𝜐r
Приведенное математическое описание дает возможность определить на поверхности вращающегося конуса значения скорости частицы материала и ее составляющих. Его применение целесообразно при проектировании конических распределительных устройств, оптимизации процессов разделения порошковых материалов в динамических центробежных сепараторах.
