Moskva, Moscow, Russian Federation
One of the most important characteristics of a fractal is its dimensionality. In general, there are several options for mathematical definition of this value, but usually under the object dimensionality is understood the degree of space filling by it. It is necessary to distinguish the dimensionality of space and the dimension of multitude. Segment, square and cube are objects with dimensionality 1, 2 and 3, which can be in respective spaces: on a straight line, plane or in a 3D space. Fractals can have a fractional dimensionality. By definition, proposed by Bernois Mandelbrot, this fractional dimensionality should be less than the fractal’s topological dimension. Abram Samoilovich Bezikovich (1891–1970) was the author of first mathematical conclusions based on Felix Hausdorff (1868–1942) arguments and allowing determine the fractional dimensionality of multitudes. Bezikovich – Hausdorff dimensionality is determined through the multitude covering by unity elements. In practice, it is more convenient to use Minkowsky dimensionality for determining the fractional dimensionalities of fractals. There are also numerical methods for Minkowsky dimensionality calculation. In this study various approaches for fractional dimensionality determining are tested, dimensionalities of new fractals are defined. A broader view on the concept of dimensionality is proposed, its dependence on fractal parameters and interpretation of fractal sets’ structure are determined. An attempt for generalization of experimental dependences and determination of general regularities for fractals structure influence on their dimensionality is realized. For visualization of three-dimensional geometrical constructions, and plain evidence of empirical hypotheses were used computer models developed in the software for three-dimensional modeling (COMPASS, Inventor and SolidWorks), calculations were carried out in mathematical packages such as Wolfram Mathematica.
Hausdorff measure, Minkowsky dimensionality, topological dimensionality, dimensionality interval, Box-counting algorithm, spatial fractals.
Вступление
Фрактальная геометрия — достаточно молодая и бурно развивающаяся область знаний. Несмотря на это, она уже нашла практическое применение в различных областях знаний [7; 8; 12]. В качестве основной отличительной особенности фракталов обычно называют их дробную размерность. Хотя в действительности не каждый фрактал должен иметь нецелое значение размерности: по определению Бенуа Мандельброта, необходимо только, чтобы она превосходила его топологическую размерность [25]. Ее дробное значение нередко наблюдается среди фрактальных множеств. Рассмотреть различные виды размерностей, изучить их особенности, определить их зависимости от параметров фракталов применительно к фракталам вообще и к пространственным фракталам в частности — основная задача данной статьи.
Размерности фракталов
Размерность — весьма широкое и многозначное понятие. В различных областях человеческих знаний она понимается по-разному, но в рамках данного исследования нас больше интересует ее геометрический смысл. В общем случае она показывает степень заполненности пространства данным объектом. Рассмотрим основные ее виды, применимые к нашей теме. Размерность фазового пространства определяется числом независимых переменных, определяющих состояние динамической системы, либо числом обыкновенных дифференциальных уравнений в системе, ее характеризующей. Минимальное количество параметров, необходимое для однозначного определения точки на множестве S в пространстве Rn, соответствует топологической размерности [21; 26]. Топологическая размерность является топологическим инвариантом, т.е. кривая, которая является гомеоморфным образом интервала, имеет топологическую размерность DТ = 1, а поверхность, которая является гомеоморфным образом плоской области, имеет топологическую размерность DТ = 2 [19]. Другое определение размерности было предложено Хаусдорфом [17; 20]. Допустим, в пространстве Rn находится некое множество S. Покроем множество кубами Bi, ребра которых не превышают b, таким образом, чтобы каждая точка рассматриваемого множества попадала в какой-либо куб.
1. Aleksandrov P.S., Pasynkov B.A. Vvedeniye v teoriyu razmernosti [Introduction to the theory of dimension]. Moscow, Nauka Publ., p. 1973. (in Russian)
2. Brylkin YU.V. racionalizaciya algoritma modelirovaniya poverhnosti metodom brounovskogo dvizheniya po kriteriyu minimizacii kolichestva iteracij [rationalization of the surface modeling algorithm by Brownian motion method according to the criterion of minimizing the number of iterations]. Geometriya i grafika [Geometry and graphics]. 2017, V. 5, I. 1, pp. 43-50. (in Russian)
3. Zhiharev L.A. Obobshcheniye na trekhmernoye prostranstvo fraktalov Pifagora i Kokha. Chast 1 [The Generalization to three-dimensional space of fractal Pythagoras and Koch. Part 1]. Geometriya i grafika [Geometry and graphics]. 2015, V. 3, I. 3, pp. 24-37. DOI:https://doi.org/10.12737/14417. (in Russian)
4. Zhiharev L.A. Fraktaly v trekhmernom prostranstve. i-fraktaly [Fractals in three-dimensional space. I-fractals]. Geometriya i grafika [Geometry and graphics]. 2017, V. 5, I. 3, pp. 51-66. (in Russian)
5. Zagorujko, N.G. Prikladnye metody analiza dannyh i znanij [Applied methods of data and knowledge analysis]. Novosibirsk: In-ta matematiki Publ. 1999, p. 260. (in Russian)
6. Zudilina N.V. O neatributivnosti indikatorov fraktal'nosti, svyazannyh s hausdorfovoj razmernost'yu [On retributively indicators of fractality related to Hausdorff dimension]. Simferopol', 2017, p. 29. (in Russian)
7. Ivanov G.S Fraktal'naya geometricheskaya model' mikropoverhnosti [Fractal geometric model of the micro-surface]. Geometriya i grafika [Geometriya i grafika]. 2016, V. 4, I. 1, pp. 4-11. DOIhttps://doi.org/10.12737/18053 (in Russian)
8. Isaeva V.V. Fraktaly i haos v biologicheskom morfogeneze [Fractals and chaos in biological morphogenesis]. Vladivostok: Dal'nauka Publ. 2004, V. 1, p. 162. (in Russian)
9. Kantor G. Trudy po teorii mnozhestv [Works on set theory]. Moscow, Nauka Publ., 1985, p. 124. (in Russian)
10. Kronover R.M. Fraktaly i haos v dinamicheskih sistemah. Osnovy teorii [Fractals and chaos in dynamic systems. Fundamentals of theory]. Moscow, Postmarket Publ. 2000, p. 352. (in Russian)
11. Levkin YU.S. Shestimernaya ehpyurnaya nomogramma v chetyryohoktantovom izmerenii [Apurna six-dimensional nomogram in four octants th dimension]. Geometriya i grafika [Geometriya i grafika]. 2018, V. 6, I. 1, pp. 39-47. DOI:https://doi.org/10.12737/article_5a17fecf2feac9.18123975 (in Russian)
12. Loktev A.A. Ispol'zovanie fraktalov v zadachah obespecheniya informacionnoj bezopasnosti [Use of fractals in information security tasks]. Vestnik Tambovskogo universiteta. Seriya: Estestvennye i tekhnicheskie nauki [Bulletin of Tambov University. Series: Natural and Technical Sciences]. 2010, V. 15, I. 2, pp. 599-604. (in Russian)
13. Pis'mennyj D.T. Konspekt lekcij po vysshej matematike: polnyj kurs [The lectures on higher mathematics. The full course]. Moscow, Ajris-press Publ., 2011, p. 608. (in Russian)
14. Polyakov V.V., Kucheryavskij S.V. Fraktal'nyj analiz struktury poristyh materialov [Fractal analysis of the structure of porous materials]. Pis'ma v ZHTF [Letters in ZhTF]. 2001, V. 27, I. 14, pp. 42-45. (in Russian)
15. Potapov A.A. Issledovanie mikrorel'efa obrabotannyh poverhnostej s pomoshch'yu metodov fraktal'nyh signatur [Study of the microrelief of the treated surfaces using fractal signature methods]. Zhurnal tekhnicheskoj fiziki [Journal of Technical Physics]. 2005, V. 75, I. 5, pp. 28-45. (in Russian)
16. Roldugin V.I. Fraktal'nye struktury v dispersnyh sistemah [Fractal structures in dispersed systems]. Uspekhi himii [Advances in Chemistry]. 2003, V. 72, I. 10, pp. 931-959. (in Russian)
17. Hausdorf F. Teoriya mnozhestv [Set theory]. Moscow, Ripol Klassik Publ., 2014, p. 305. (in Russian)
18. SHmidt F.K. Fraktaly v fizicheskoj himii geterogennyh sistem i processov [Fractals in physical chemistry of heterogeneous systems and processes]. Irkutsk, Irkutsk University Publ., 2000. p. 147. (in Russian)
19. Edgar G.A. Measure, Topology, and Fractal Geometry, Springer-Verlag, New York, 1990. P. 164.
20. Hausdorff F. Grundzüge der Mengenlehre. Leipzig: von Veit, 1914. P. 134.
21. Havlin S. Topological properties of percolation clusters R. Nossal J. Phys. A 17, L427 1984. P. 124.
22. Koch H. V. Sur une courbe continue sans tangente, obtenue par une construction géométrique élémentaire //Arkiv for Matematik, Astronomi och Fysik. 1904. V. 1. Pp. 681-704.
23. Liebovitch L.S., Toth T. A fast algorithm to determine fractal dimensions by box counting // Physics Letters A. 1989. V. 141. № 8-9. Pp. 386-390.
24. Mandelbrot B.B. Fractals and the Rebirth of Iteration Theory / B.B. Mandelbrot // The Beauty of Fractals: Images of Complex Dynamical Systems / Heinz-Otto Peitgen, Peter H. Richter. Berlin; Heidelberg. New York; Tokyo: Springer-Verlag, 1986. P. 188.
25. Mandelbrot B.B. The Fractal Geometry of Nature // W.H. Freeman, New York, 1982. P. 470.
26. Princeton N.J. Dimension Theory / Princeton University Press, 1941. P. 165.
27. Sierpinski W. Sur une courbe cantorienne qui contient une image biunivoque et continue de toute courbe doimee. Comptes Rendus. P.: 1916. Pp. 162-629.
28. Ovchinnikov A.V. Nekotorye primeneniya fraktalov v neftegazovoj otrasli [Some applications of fractals in the oil and gas industry]. Molodyozh' i nauka: Sbornik materialov VIII Vserossijskoj nauchno-tekhnicheskoj konferencii studentov, aspirantov i molodyh uchyonyh, posvyashchennoj 155-letiyu so dnya rozhdeniya K. EH. Ciolkovskogo [Youth and Science: A Compendium of Materials of the VIII All-Russian Scientific and Technical Conference of Students, Postgraduates and Young Scientists, dedicated to the 155th anniversary of the birth of K. E. Tsiolkovsky]. Krasnoyarsk: Sibirskij federal'nyj un-t Publ., 2012. Available at: http://birmaga.ru/dosta/+514.+12%3A+622+/main.html (in Russian)
