Москва, г. Москва и Московская область, Россия
Одной из важнейших характеристик фрактала является его размерность. В общем случае существует несколько вариантов математического определения этой величины, но обычно под размерностью объекта понимают степень заполнения им пространства. Следует различать размерность пространства и размерность множества. Отрезок, квадрат и куб – объекты с размерностью 1, 2 и 3 — могут находиться в соответствующих пространствах: на прямой, плоскости или в трехмерном пространстве. Фракталы способны обладать дробной размерностью. По определению, предложенному Бенуа Мандельбротом, она должна быть меньше топологической размерности фрактала. К первым математическим заключениям, позволяющим определять дробную размерность множеств, пришел Абрам Самойлович Безикович (1891–1970) на основе рассуждений Феликса Хаусдорфа (1868–1942). Размерность Безиковича – Хаусдорфа определяется через покрытие множества единичными элементами. На практике для определения дробных размерностей фракталов удобнее использовать размерность Минковского. Также существуют численные методы ее расчета. В данном исследовании тестируются различные способы определения дробной размерности, определяются размерности новых фракталов. Предлагается более широкий взгляд на понятие размерности, определяются ее зависимости от параметров фракталов, а также от интерпретации их структуры фрактальных множеств. Осуществляется попытка обобщения экспериментальных зависимостей и определения общих закономерностей влияния структуры фракталов на их размерность. Для визуализации трехмерных геометрических построений и наглядного подтверждения эмпирических гипотез применялись компьютерные модели, разработанные в программах трехмерного моделирования КОМПАС, Inventor и SolidWorks, расчеты проводились в математических пакетах, таких как Wolfram Mathematica.
мера Хаусдорфа, размерность Минковского, топологическая размерность, интервал размерности, Boxcounting алгоритм, пространственные фракталы.
Вступление
Фрактальная геометрия — достаточно молодая и бурно развивающаяся область знаний. Несмотря на это, она уже нашла практическое применение в различных областях знаний [7; 8; 12]. В качестве основной отличительной особенности фракталов обычно называют их дробную размерность. Хотя в действительности не каждый фрактал должен иметь нецелое значение размерности: по определению Бенуа Мандельброта, необходимо только, чтобы она превосходила его топологическую размерность [25]. Ее дробное значение нередко наблюдается среди фрактальных множеств. Рассмотреть различные виды размерностей, изучить их особенности, определить их зависимости от параметров фракталов применительно к фракталам вообще и к пространственным фракталам в частности — основная задача данной статьи.
Размерности фракталов
Размерность — весьма широкое и многозначное понятие. В различных областях человеческих знаний она понимается по-разному, но в рамках данного исследования нас больше интересует ее геометрический смысл. В общем случае она показывает степень заполненности пространства данным объектом. Рассмотрим основные ее виды, применимые к нашей теме. Размерность фазового пространства определяется числом независимых переменных, определяющих состояние динамической системы, либо числом обыкновенных дифференциальных уравнений в системе, ее характеризующей. Минимальное количество параметров, необходимое для однозначного определения точки на множестве S в пространстве Rn, соответствует топологической размерности [21; 26]. Топологическая размерность является топологическим инвариантом, т.е. кривая, которая является гомеоморфным образом интервала, имеет топологическую размерность DТ = 1, а поверхность, которая является гомеоморфным образом плоской области, имеет топологическую размерность DТ = 2 [19]. Другое определение размерности было предложено Хаусдорфом [17; 20]. Допустим, в пространстве Rn находится некое множество S. Покроем множество кубами Bi, ребра которых не превышают b, таким образом, чтобы каждая точка рассматриваемого множества попадала в какой-либо куб.
1. Александров П.С. Введение в теорию размерности [Текст] / П.С Александров, Б.А. Пасынков. - М.: Наука, 1973. - С. 573.
2. Брылкин Ю.В. Рационализация алгоритма моделирования поверхности методом броуновского движения по критерию минимизации количества итераций [Текст] / Ю.В. Брылкин // Геометрия и графика. - 2017. - Т. 5. № 1. - С. 43-50. - DOI: 10.12737/
3. Жихарев Л.А. Обобщение на трёхмерное пространство фракталов Пифагора и Коха. Часть 1 [Текст] / Л.А. Жихарев // Геометрия и графика. - 2015. - Т. 3. - № 3. - С. 24-37. - DOI:https://doi.org/10.12737/14417.
4. Жихарев Л.А. Фракталы в трехмерном пространстве. i-фракталы [Текст] / Л.А. Жихарев // Геометрия и графика. - 2017. - Т. 5. - № 3. - С. 51-66. - DOI:https://doi.org/10.12737/article_59bfa55ec01b38.55497926.
5. Загоруйко Н.Г. Прикладные методы анализа данных и знаний [Текст] / Н.Г. Загоруйко. - Новосибирск: Изд-во Ин-та математики, 1999. - C. 260.
6. Зудилина Н.В. О не атрибутивности индикаторов фрактальности, связанных с хаусдорфовой размерностью [Текст] / Н.В. Зудилина. -Симферополь, 2017. - C. 29.
7. Иванов Г.С. Фрактальная геометрическая модель микроповерхности [Текст] / Г.С. Иванов, Ю.В. Брылкин // Геометрия и графика. - 2016. - Т. 4. - № 1. - С. 4-11. - DOIhttps://doi.org/10.12737/18053.
8. Исаева В.В. Фракталы и хаос в биологическом морфогенезе [Текст] / В.В. Исаева [и др.]. - Владивосток: Дальнаука, 2004. - Т. 1. - C. 162.
9. Кантор Г. Труды по теории множеств [Текст] / Г. Кантор. - М.: Наука, 1985. - С. 124.
10. Кроновер Р.М. Фракталы и хаос в динамических системах. Основы теории [Текст] / Р.М. Кроновер - М.: Постмаркет, 2000. - С. 352.
11. Левкин Ю.С. Шестимерная эпюрная номограмма в четырёхоктантовом измерении [Текст] / Ю.С. Левкин // Геометрия и графика. - 2018. - Т. 6. - № 1. - С. 39-47. - DOI:https://doi.org/10.12737/article_5a17fecf2feac9.18123975.
12. Локтев А.А. Использование фракталов в задачах обеспечения информационной безопасности [Текст] / А.А. Локтев, А.В. Залетдинов // Вестник Тамбовского университета. Серия «Естественные и технические науки». - 2010. - Т. 15. - № 2. - C. 599-604.
13. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике: полный курс [Текст] / Д.Т. Письменный. - М.: Айрис-пресс, 2011. - C. 608.
14. Поляков В.В. Фрактальный анализ структуры пористых материалов [Текст] / В.В. Поляков, С.В. Кучерявский // Письма в ЖТФ. - 2001. - Т. 27. - № 14. - С. 42-45.
15. Потапов А.А. и др. Исследование микрорельефа обработанных поверхностей с помощью методов фрактальных сигнатур [Текст] / А.А. Потапов [и др.] // Журнал технической физики. - 2005. - Т. 75. - № 5. - С. 28-45.
16. Ролдугин В.И. Фрактальные структуры в дисперсных системах [Текст] / В.И. Ролдугин // Успехи химии. - 2003. - Т. 72. - № 10. - С. 931-959.
17. Хаусдорф Ф. Теория множеств [Текст] / Ф. Хаусдорф. - М.: Рипол Классик, 2014. - C. 305.
18. Шмидт Ф.К. Фракталы в физической химии гетерогенных систем и процессов [Текст] / Ф.К. Шмидт. - Иркутск: Изд-во Иркутского ун-та, 2000. - С. 147.
19. Edgar G.A. Measure, Topology and Fractal Geometry, Springer-Verlag, New York, 1990. P. 164.
20. Hausdorff F. Grundzüge der Mengenlehre. Leipzig: von Veit, 1914. - p. 134.
21. Havlin S. Topological properties of percolation clusters R. Nossal J. Phys. A 17, L427. 1984. P. 124.
22. Koch H.V. Sur une courbe continue sans tangente, obtenue par une construction géométrique élémentaire // Arkiv for Matematik, Astronomi och Fysik. 1904. Т. 1. Pp. 681-704.
23. Liebovitch L.S., Toth T. A fast algorithm to determine fractal dimensions by box counting // Physics Letters A. 1989. Т. 141. № 8-9. Pp. 386-390.
24. Mandelbrot B.B. Fractals and the Rebirth of Iteration Theory / B.B. Mandelbrot // The Beauty of Fractals: Images of Complex Dynamical Systems / Heinz-Otto Peitgen, Peter H. Richter. Berlin; Heidelberg. New York; Tokyo: Springer-Verlag, 1986. P. 188.
25. Mandelbrot B.B. The Fractal Geometry of Nature // W.H. Freeman, New York, 1982. P. 470.
26. Princeton N.J. Dimension Theory / Princeton University Press, 1941. P. 165.
27. Sierpinski W. Sur une courbe cantorienne qui contient une image biunivoque et continue de toute courbe doimee. Comptes Rendus . P.: 1916. Pp. 162-629.
28. Овчинников А.В. Некоторые применения фракталов в нефтегазовой отрасли [Текст] / А.В. Овчинников // Молодёжь и наука: Сборник материалов VIII Всероссийской научно-технической конференции студентов, аспирантов и молодых учёных, посвященной 155-летию со дня рождения К. Э. Циолковского [Электронный ресурс]. - Красноярск: Изд-во Сибирского федерального ун-та, 2012. - URL: http://birmaga.ru/ dosta/Удк+514.+12%3A+622+некоторые+применения+фракталов+в+нефтегазовой+отраслиa/main.html/
