Russian Federation
GRNTI 55.13 Технология машиностроения
Predstavlena informaciya o sostoyanii voprosa ocenki kontaktnogo vzaimodeystviya inzhenernyh sherohovatyh poverhnostey i ih iznosa s uchetom tendencii razvitiya sovremennoy nauki o trenii – tribologii.
fraktal'naya razmernost', fraktal'nye poverhnosti, koefficient iznosa, kontaktnaya zhestkost'
Трибология – наука о трении, изнашивании и смазочном действии. Триботехнические показатели (совместимость, износостойкость, антифрикционность и др.) являются показателями, характеризующими поведение всей трибологической системы, а не отдельных элементов системы. Поэтому не представляется возможным установить связи между приведенными выше показателями и геометрическими и физико-механико-химическими свойствами элементов пары трения. Повышение надежности множества технических систем невозможно без углубленного изучения процессов, протекающих на поверхностях трения, установления физических представлений о трении и изнашивании, применения современных методов исследования и их развития, использования компьютерных технологий. Приведем примеры. Повышение живучести стволов крупнокалиберных артиллерийских орудий, оцениваемое несколькими десятками секунд, требует комплексного подхода и использования достижений в области материаловедения, прочности, трибологии и других наук [1]. По зарубежным данным, потеря работоспособного состояния машин происходит вследствие следующих причин: усталостных повреждений (15 %), аварий (15 %) и износа материалов (70 %). Решение проблемы повышения долговечности машин во многом связано с грамотным использованием трибологических знаний и развитием представлений о процессах трения и изнашивания [2].
Одним из направлений является применение методологических принципов, основанных на фрактальном описании инженерных поверхностей. В основу положены работы Б. Мандельброта (Mandelbrot) [3], Е. Федера (Feder) [4] и др.
Какие преимущества дают фрактальные представления о контакте инженерных поверхностей? Рассмотрим широко известную модель Гринвуда - Вильямсона (Г-В-модель) [5], которая применима для упругого контакта номинально плоских поверхностей. Модель поверхности представляет собой набор сферических сегментов, имеющих одинаковый радиус закругления верхней части выступов и расположенных на средней плоскости шероховатой поверхности. Модель основана на достаточно четких физических положениях о контактном взаимодействии шероховатых поверхностей при упругом состоянии фрикционных пятен контакта. Принятие постоянного радиуса верхней части выступов упрощает моделирование процесса контактного взаимодействия, при этом точность расчетов снижается. Более того, при малых нагрузках, когда существенную роль при определении параметров контакта играет субшероховатость, применение модели Г-В требует серьезной доработки.
Устранить недостатки, присущие модели Г-В, удалось А. Маджумдару (Majumdar) [6]. Фрактальная модель предполагает, что поверхность обладает самоподобием (часть поверхности отражает весь объект) и скейлингом (часть повторяет свои структурные особенности при разном масштабе измерения). Инженерные поверхности являются мультифрактальными. Под фракталом понимается изломанный объект с дробной размерностью, всегда большей, чем топологическая размерность.
Фрактальная размерность. Фрактальный объект (профиль поверхности) обладает свойством самоподобия: любой участок кривой имеет ту же фрактальную размерность, что и вся кривая. Длина фрактальной кривой (по Б. Мандельброту [1]) определяется по формуле
Фрактальная размерность профиля (1<D<2) определяется многими способами [7]. Фрактальная размерность поверхности (по Б. Мандельброту) определяется выражением DS =D+1. Заметим, что приведенное выражение не имеет пока научного обоснования.
Фрактальные модели поверхности. Профиль инженерной поверхности может быть описан уравнением Вейерштрасса - Мандельброта [8]:
Здесь G – фрактальный параметр шероховатости; D – фрактальная размерность профиля; g – масштабный параметр (g >1), gn определяет частотный спектр профиля шероховатой поверхности. Масштабный параметр g связан с длиной выборки L (расстояние между двумя кроссоверами) соотношением
К параметрам, характеризующим профиль шероховатой поверхности, следует отнести G, D и n. По мнению А. Маджумдара, подходящим значением для описания профиля является величина g =1,5. Нижний предел суммирования в уравнении Вейерштрасса - Мандельброта равен
На рис. 1 представлены профили поверхностей при разной фрактальной размерности, полученные с помощью
Моделирование фрактальных поверхностей. Моделирование поверхности возможно при установлении связи фрактальной размерности с параметрами шероховатости. В ряде случаев требуется использовать данные о поверхностях и их параметрах. Поэтому определение фрактальной размерности типичных поверхностей необходимо для решения, например, задач герметичности металл-металлических соединений. К параметрам фрактальной поверхности, не зависящим от шкалы измерения, относят ее размерность и фрактальный параметр шероховатости.
Мощность спектральной функции Вейерштрасса - Мандельброта для профиля поверхности определяется выражением
Для поверхности эта функция имеет вид
Здесь w − частота, мкм-1, эквивалентное значение частоты определяется частотами во взаимно перпендикулярных направлениях:
Параметры G и C определяются из уравнений
Для профиля и самой поверхности фрактальная размерность определяется своими угловыми коэффициентами K и K′ (наклоном прямой, построенной в координатах lgS - lgω и lgР - lgω). Тогда фрактальная размерность для изотропной поверхности, параметры шероховатости которой можно определить по одной профилограмме, равна
Для поверхности, имеющей разные параметры шероховатости в двух взаимно перпендикулярных направлениях, фрактальная размерность определяется соотношением
В работе [9] отмечается существенная разница в оценке параметров шероховатости при использовании фрактального и статистического методов. Модель фрактальной поверхности может быть представлена следующим выражением [10]:
На рис. 2 представлена модель поверхности, построенная при следующих данных: q=2,7; K=1; N=M=3; θn,m~Rav[0,π] – случайное число, равномерно распределенное на отрезке от 0 до π; DS=2,17.
Моделирование выступа. Процедура построения выступа приведена на рис. 3. Набор выступов, расположенных на срединной плоскости, представляет собой модель фрактальной поверхности. При этом каждому выступу изначально соответствует свой треугольник, что соответствует описанию шероховатой поверхности в виде случайного поля.
Построение поверхности (отдельного выступа) методом случайного смещения средней точки стороны треугольника происходит по следующему алгоритму: в исходном треугольнике (рис. 3а) происходит смещение средних точек боковых сторон вверх или вниз от плоскости, после соединения с вершинами формируются четыре треугольника (рис. 3б), к которым применяется такая же процедура (рис. 3в). Функция распределения вероятности определяет величину смещения средней точки и степень изрезанности поверхности. В результате указанных процедур получается модель выступа шероховатой поверхности (рис. 3г).
На рис. 4 приведены поверхности (реальные и модели) элементов пары трения после разных видов обработки.
Наличие базы данных о поверхностях позволяет существенно сократить подбор поверхностей для соединений, к которым предъявляются требования по контактной жесткости, площадям контакта, электропроводности и т.п. В таблице показано качественное влияние параметров поверхности на трибологические показатели системы.
Таблица
Влияние параметров поверхности на трибологические показатели
|
Узел трения и процесс |
Амплитудные параметры Sa, Sz |
Форма распределения Ssk, Sku |
Шаговые параметры Sds |
Гибридные параметры SΔq, Ssc |
|
Подшипники |
● |
● |
• |
• |
|
Уплотнения |
● |
● |
• |
● |
|
Контактная жесткость |
● |
● |
• |
• |
|
Изнашивание |
● |
● |
● |
● |
|
Контактная выносливость |
● |
• |
• |
○ |
|
Электроконтакты |
● |
● |
● |
● |
Примечание. ● – сильное влияние, • − среднее, ○ – слабое.
Приведем примеры решения задач с использованием фрактальных моделей.
Пример 1. Для имеющихся инженерных поверхностей требуется оценить нормальную контактную жесткость.
Контакт фрактальных поверхностей состоит из отдельных пятен. Рассматривая контакт гладкой поверхности с эквивалентной, полагаем существование функциональной связи между площадью пятна контакта и радиусом верхней части деформируемого выступа [4]:
Здесь a – площадь рассматриваемого сечения выступа; G – фрактальный параметр, определяемый по формуле
где Rq – оценка среднего квадратического отклонения ординат профиля; ωh, ωl – наивысшая и низшая частоты профиля как случайного процесса.
Взаимодействия отдельной сферической неровности с жестким штампом. Модель Маджумдара [4] предполагает, что все малые пятна, определяемые субшероховатостью, вначале деформируются пластически, а затем по мере увеличения нагрузки соседние пятна, сливаясь друг с другом, создают такую площадь выступа, которая деформируется упруго. Рассматривая модель выступа с радиусом в верхней части R, найдем критическую площадь, достижение которой характеризует переход от упругого состояния пятна контакта к упругопластическому:
где 
критическая деформация [11; 12],
Здесь - модуль упругости и коэффициент Пуассона; Н – твердость деформируемого тела. Выразим критерий перехода от упругого состояния контакта к упругопластическому в виде
С учетом критической деформации и соотношения для радиуса запишем:
После преобразования получим:
Основные соотношения между нагрузкой и деформацией. Связь между нагрузкой и деформацией, а также площадь пятна контакта в условиях упругого состояния отдельной неровности в виде сферы с жестким штампом определяются следующими выражениями:
Принимая во внимание зависимость между площадью пятна контакта и радиусом закругления верхней части выступа, найдем критическую силу:
Площадь пятна контакта равна номинальной.
Жесткость сферической неровности:
или
Здесь 
- площадь контакта.
Множественный контакт. Число пятен контакта относительно максимального пятна определяется законом Корчака [4]:
Размерное распределение площадей пятен (по модулю) определяется выражением
Найдем силу, приложенную к сопряжению:
Фактическая площадь контакта равна
Упругое контактное взаимодействие фрактальных поверхностей. В том случае, когда максимальная площадь пятна контакта aL=ac, имеем:
Для случая, когда 
запишем:
При 
и D=1,5 полученное выражение соответствует значению критической силы. При другом значении фрактальной размерности критическая сила отличается на величину D/(3-D). Это связано с тем, что модель фрактальной поверхности отличается от известных моделей поверхности в виде набора сферических сегментов, высота которых подчиняется определенному закону распределения, а радиус верхней части выступов постоянен для всех неровностей.
Площадь фактического преимущественно упругого контакта оценивается соотношением
При 
получим 
Фактическое давление в зависимости от сближения равно
Предельное значение давления при упругом контакте равно
Контактная жесткость фрактальных поверхностей. Контактная жесткость фрактальных поверхностей выражается зависимостью
При 
получим
Для расчета контактной жесткости в качестве исходных данных примем среднее квадратическое отклонение ординат профиля Rq=0,0015 мм и фрактальную размерность 
Найдем параметр фрактальной шероховатости:
где .
Критическая площадь контакта, соответствующая предельному упругому состоянию:
Здесь Н=3000 МПа – твердость деформируемой поверхности; Е=105 МПа – приведенный модуль упругости.
Номинальная площадь равна
Контактная жесткость фрактальной поверхности равна
Пример 2. Изнашивание фрактальных поверхностей. Рассматривается подвижное торцовое уплотнение.
Проектирование подвижных торцовых уплотнительных устройств требует знания таких триботехнических показателей, как коэффициент трения и износ. Проектирование предполагает выбор материалов пары трения, назначение параметров качества поверхностного слоя, знание условий эксплуатации и закономерностей процессов трения и изнашивания, протекающих на скользящем контакте.
Полагаем, что оценка объема изношенного материала производится на основе закона Арчарда [13]:
где 
объемный износ; 
коэффициент износа; 
нормальная нагрузка; Н – твердость изнашиваемого (менее твердого) тела; 
путь трения.
Приведенный закон описывает процесс адгезионного изнашивания. Оценка объема изношенного материала требует знания коэффициента износа, который определяется с помощью соответствующего эксперимента. При этом процессы трения и изнашивания при модельном испытании должны быть идентичны работе натурного узла трения, т.е. критерии подобия должны быть одними и теми же. Одним из таких критериев является коэффициент трения. Однако в уравнение Арчарда коэффициент трения не входит в явном виде. Введем в уравнение силу трения (по Амонтону)
Если подставить в закон Арчарда вместо нормальной нагрузки силу трения, то коэффициент трения окажется в знаменателе. Тогда увеличение коэффициента трения приводит к снижению износа, что противоречит многим экспериментальным данным. Полагая, что фактор трения играет существенную роль при оценке износа, модифицируем формулу Арчарда, заменив нормальную нагрузку силой трения и, соответственно, введя новый коэффициент износа - 
. Модифицированная формула имеет вид
Здесь 
будем называть приведенным коэффициентом износа.
Для многих случаев интенсивность изнашивания 
связана с коэффициентом трения степенной зависимостью:
Здесь 
напряжение среза фрикционной связи при нулевом контактном давлении; 
твердость по Бринеллю; 
фактор упрочнения фрикционной связи; k - коэффициент; 
глубина внедрения неровности в полупространство; R - радиус закругления верхней части неровности.
Объем изношенного материала. Модель Арчарда основывается на следующем допущении: объемный износ равен произведению номинальной площади на сближение поверхностей пары трения. Так, для схемы «палец - диск» номинальная площадь равна 
где r – радиус пальца; h – линейный износ. Таким образом, изношенный объем равен 
В действительности изнашивание происходит на фактической площади контакта, более того, на отдельных пятнах контакта. Пятна контакта находятся в упругом и/или пластическом состояниях. Полагая форму верхней части неровности в виде сферического сегмента, найдем объем износа по формуле
Здесь высота сегмента (линейный износ); 
радиус основания сегмента.
Ввиду того что квадрат радиуса основания сегмента существенно больше, чем высота, выражение в скобках вышеприведенного уравнения упростим, оставив первое слагаемое. Заменив 
Высота 
износа в соответствии с представлением профиля как фрактальной кривой определяется выражением
Тогда объем изношенного материала на отдельном выступе оценивается соотношением
где 
параметр фрактальной шероховатости; D – фрактальная размерность (1<D<2).
Уравнение суммарного износа материала имеет вид
Здесь 
число пятен контакта, определяемое по фундаментальному закону Корчака относительно максимальной площади пятна aL, т.е.
D – фрактальная размерность (1<D<2); G – фрактальная шероховатость.
Приведенный коэффициента износа имеет вид
Перепишем полученное выражение, введя площадь максимального пятна контакта и учитывая, что ai*=ai/aL:
Сумму вычислим с помощью имитационного моделирования случайных чисел, распределенных по закону 
Для данной площади aL найдем целое число пятен контакта mod nr. Тогда случайное число в соответствии с приведенным законом найдем из соотношения 
, где xR – случайное число, равномерно распределенное на отрезке [0,1]. В этом случае имеем:
Зависимость износа от пути трения (кривая изнашивания) выражается соотношением
Используя приведенные выше зависимости, представляется возможным при известном значении предельного износа прогнозировать ресурс трибосистемы.
Развитие молекулярно-механической теории трения. В работах ученых Брянской школы трибологов получила дальнейшее развитие молекулярно-механическая теория трения. Было установлено, что в процессе трения и изнашивания деталей машин увеличение фактической площади контакта и уменьшение напряжений на площадках контакта влечет за собой постепенное уменьшение интенсивности изнашивания и наклона кривой износа [14]. Характер кривых износа реальных пар трения в значительной степени отличается от классической кривой износа образцов. Исследования процессов трения и изнашивания перешли на новый уровень контактного взаимодействия поверхностей, который получил название «субшероховатость поверхности трения». Впервые была предложена молекулярно-механическая теория изнашивания субшероховатости поверхностей трения [15]. Установлена взаимосвязь субшероховатости поверхности с фазовым составом и структурой материала, которая показывает, что основной вклад в формирование субшероховатости вносится не технологией обработки поверхности детали, а ее материалом. Проведенные теоретические и экспериментальные исследования позволили установить, что в процессе приработки происходит изнашивание выступов шероховатости, в результате чего в контакт вступает субшероховатость, при установившемся износе происходят ее упругие и пластические деформации и, как следствие, износ. Смятие субшероховатости поверхности приводит к разрушению пленок окислов и образованию ювенильных поверхностей трущихся материалов. Износ субшероховатости поверхности трения осуществляется как в результате действия механических сил – деформаций, так и в результате действия молекулярных сил – адгезии. Исследование процессов трения и изнашивания на уровне субшероховатости поверхностей трения способствует развитию такого направления, как нанотрибология.
1. Karyukin, S. Podhod k obespecheniyu zhivuchesti stvolov artilleriyskih orudiy / S. Karyukin, O. Mitrohin // Voennaya mysl'. - 2012. - № 1. - S. 72-78.
2. Suslov, A.G. Inzheneriya poverhnosti detaley: monografiya / pod red. A.G. Suslova. - M.: Mashinostroenie, 2008. - 320 s.
3. Mandel'brot, B. Fraktal'naya geometriya prirody / B. Mandel'brot. - M.: In-t komp'yuter. issled., 2002. - 656 s.
4. Feder, E. Fraktaly / E. Feder. - M.: Mir, 1991. - 248 s.
5. Greenwood, J.A. Contact of nominally flat surfaces / J.A. Greenwood, J.B.P. Williamson // Proc. Roy. Soc. London. Ser. A. - 1966. - V. 295. - P. 300-319.
6. Majumdar, A. Role of fractal geometry in roughness characterization and contact mechanics of surfaces / A. Majumdar, B. Bhushan // Trans. ASME: Journal of Tribology. - 1990. - № 112. - P. 205-216.
7. Klinkenberg, B. A Review of Methods Used to Determine the Fractal Dimension of Linear Features/B. Klinkenberg // Mathematical Geology. - 1994. - Vol. 26. - № 1. - P. 23-46.
8. Wang, S. A fractal theory of the interfacial temperature distribution in the slow sliding regime. Part I. Elastic contact and heat transfer analysis / S. Wang, K. Komvopoulos // Trans. ASME: Journal of Tribology. - 1994. - № 116. - P. 812-823.
9. Pavelescu, D. On the roughness fractal character, the tribological parameters and the error factors / D. Pavelescu, A. Tudor // Proceedings of the Romanian Academy. Ser. A. - 2004. - Vol. 5. - № 2.
10. Potapov, A.A. Teoriya rasseyaniya voln fraktal'noy anizotropnoy poverhnost'yu / A.A. Potapov, A.V. Laktyun'kin // Nelineynyy mir. - 2008. - T. 6. - № 1. - S. 3-36.
11. Kogut, L. Elasticplastic contact analysis of a sphere and a rigid flat / L. Kogut, I. Etsion // Journal of Applied Mechanics. - 2002. - Vol. 69. - № 5. - P. 657-662.
12. Chang, W.R. An Elastic-Plastic Model for the Contact of Rough Surfaces / W.R. Chang, I. Etsion, D.B. Bogy // ASME J. Tribol. - 1987. - № 109. - P. 257-263.
13. Archard, J.F. Wear theory and mechanisms / J.F. Archard; M.B. Peterson, W.O. Winer (eds.) // Wear Control Handbook. ASME. - 1980.
14. Suslov, A.G. K voprosu treniya i iznashivaniya detaley mashin / A.G. Suslov // Trenie i iznos. - 1990. - № 5. - S. 801-807.
15. Shalygin, M.G. Iznashivanie subsherohovatosti poverhnostey treniya v vodorodsoderzhaschey srede: monografiya / M.G. Shalygin. - M.: Innovacionnoe mashinostroenie, 2018. - 92 s.
