An effective analytical solution to an axisymmetric contact problem on the interaction between a circular plate and a double-layer elastic half-space is considered. For this, a bilateral asymptotic method is applied. The plate bends under the load and the foundation response. The solution is constructed for different layer thickness and plate flexibility parameters. Cases when half-space layer properties differ significantly are considered. For these cases, kernel transform approximates of the high-accuracy problem integral equation are constructed. The obtained results accuracy is checked through the comparison with the known solution to the problem on the circular plate bending on an elastic layer bearing on the non-deformable foundation. The effect of the distributed load on flexible and rigid plates depending on the interlayer thickness and its stiffness against the underlying half-place is investigated.
plate bending, circular plate, inhomogeneous medium, theory of elas-ticity, analytical methods
Введение
Задача об изгибе пластины на упругом изотропном и однородном основании рассматривалась в работах [1, 2]. Решение строилось путём представления контактных напряжений в виде степенного ряда, с последующим определением коэффициентов разложения из бесконечной алгебраической системы уравнений.
Методом ортогональных многочленов такая задача решалась в работах [3, 4], а методом коллокации по чебышёвским узлам - в работах [5, 6]. При этом возникала необходимость построить решение некоторых бесконечных систем линейных алгебраических уравнений и ставилась проблема исследования сходимости полученного решения к точному. В работах [7, 8] для решения задачи применялись асимптотические методы типа «больших λ» и специальных ортогональных многочленов, что позволило получить основные характеристики решения в нескольких формах, каждая из которых эффективна в своей области изменения характерных параметров задачи.
Отметим, что большинство известных решений эффективны только для жёстких пластин. И очень немногие, в частности, представленные в [7, 8], эффективны или для гибких, или для жёстких пластин.
Интерес к решению задачи и её актуальность сохраняется и в настоящее время. Так, в работе [9] решение строилось с использованием разложения напряжения в двойной ряд Фурье. Аналогичный подход использовался в работе [10]. Andrea R. D. Silva с соавторами развил численные методы решения задачи [11].
В настоящей работе развивается подход, основанный на двусторонне асимптотическом методе решения парных уравнений [12], позволяющий получить приближённое решение задачи в единой аналитической форме, применимой во всём диапазоне изменения геометрических и физических параметров задачи как для гибких, так и для жёстких пластин.
Постановка задачи
Круглая пластина радиуса R и постоянной толщины h лежит на границе Γ упругого полупространства Ω , состоящего из однородного мягкого слоя (покрытия) толщины H и
1. Gorbunov-Posadov, M. I. Raschet balok i plit na uprugom poluprostranstve / M. I. Gorbunov-Posadov // Prikladnaya matematika i mekhanika. - 1940. - T. 4, vyp. 3. - S. 61-80.
2. Ishkova, A. G. Ob izgibe polosy i krugloy plastiny, lezhashchikh na uprugom poluprostranstve / A. G. Ishkova // Inzhenernyy sbornik. - 1960. - T. 23. - S. 171-181.
3. Grebenshchikov, V. N. Raschet krugloy plastinki na uprugom poluprostranstve / V. N. Grebenshchikov // Teoriya rascheta i nadezhnost' priborov : sb. trudov II Saratovskoy obl. konf. molodykh uchenykh. - Saratov, 1969. - S. 48-51.
4. Aleksandrov, V. M. Universal'naya programma rascheta izgiba balochnykh plit na lineyno-deformiruemom osnovanii / V. M. Aleksandrov, L. S. Shatskikh // Sb. trudov 7-y Vsesoyuznoy konferentsii po teorii obolochek i plastin. - Moskva, 1970. - S. 46-51.
5. Shatskikh, L. S. K raschetu izgiba plity na uprugom sloe / L. S. Shatskikh // Izvestiya Akademii nauk SSSR. Mekhanika tverdogo tela. - 1972. - № 2. - S. 170-176.
6. Aleksandrov, V. M. Effektivnoe reshenie zadachi o tsilindricheskom izgibe plastinki konechnoy shiriny na uprugom poluprostranstve / V. M. Aleksandrov, I. I. Vorovich, M. D. Solodovnik // Izvestiya Akademii nauk SSSR. Mekhanika tverdogo tela. - 1973. - № 4. - S. 129-138.
7. Aleksandrov, V. M., Asimptoticheskoe reshenie zadachi o tsilindricheskom izgibe plastinki konechnoy shiriny na uprugom poluprostranstve / V. M. Aleksandrov, M. D. Solodovnik // Prikladnaya mekhanika. - 1974. - T. 10, vyp. 7. - S. 77-83.
8. Bosakov, S. V. K resheniyu kontaktnoy zadachi dlya krugloy plastinki / S. V. Bosakov // Prikladnaya matematika i mekhanika. - 2008. - T. 72. - № 1. - S. 59-61.
9. Kashtalyan, M., Menshykova, M. Effect of a functionally graded interlayer on threedimensional elastic deformation of coated plates subjected to transverse loading. Composite Structures, 2009, vol. 89, no. 2, pp. 167-176.
10. Kashtalyan, M. Three-dimensional elasticity solution for bending of functionally graded rectangular plates. European Journal of Mechanics A/Solids. 2004, vol. 23, no. 5, pp. 853-864.
11. Silva, Andrea R. D., Silveira, Ricardo A. M., Goncßalves, Paulo B. Numerical methods for analysis of plates on tensionless elastic foundations. International Journal of Solids and Structures, 2001, vol. 38, nos. 10-13, pp. 2083-2100.
12. Ayzikovich, S. M. Asimptoticheskoe reshenie odnogo klassa parnykh uravneniy / S. M. Ayzikovich // Prikladnaya matematika i mekhanika. - 1990. - T. 54. - S. 872-877.
13. Ayzikovich, S. M. Izgib plastin, lezhashchikh na neodnorodnom osnovanii / S. M. Ayzikovich, I. S. Trubchik // Sb. trudov 14-y Vsesoyuznoy konferentsii po teorii plastin i obolochek. - Tbilisi, 1987. - T. 1. - S. 47-52.
14. Tseytlin, A. I. Ob izgibe krugloy plity, lezhashchey na lineyno deformiruemom osnovanii / A. I. Tseytlin // Izvestiya AN SSSR. Mekhanika tverdogo tela. - 1969. - № 1. - S. 99-112.
15. Analiticheskie resheniya smeshannykh osesimmetrichnykh zadach dlya funktsional'no-gradientnykh sred / S. M. Ayzikovich [i dr.]. - Moskva : Fizmatlit, 2011. - 192 s.
16. Volkov, S. S. Analiticheskoe reshenie osesimmetrichnoy kontaktnoy zadachi o vdavlivanii shtampa v myagkiy sloy / S. S. Volkov, S. M. Ayzikovich, I. V. Pogotskaya // Ekologicheskiy vestnik nauchnykh tsentrov Chernomorskogo ekonomicheskogo sotrudnichestva. - 2012. - № 2. - S. 19-26.
17. Pavlik, G. N. Vzaimodeystvie fundamentnykh plit s lineyno-uprugim osnovaniem / G. N. Pavlik // Mekhanika kontaktnykh vzaimodeystviy : sb. statey / pod red. I. I. Vorovicha, V. M. Aleksandrova. - Moskva, 2001. - S. 254-277.
18. Ayzikovich, S. M. Asimptoticheskoe reshenie zadachi o vzaimodeystvii plastiny s neodnorodnym po glubine osnovaniem / S. M. Ayzikovich // Prikladnaya matematika i mekhanika. - 1995. - T. 59, vyp. 4. - S. 688-697.
