Рассматривается построение эффективного аналитического решения осесимметричной контактной задачи о взаимодействии круглой пластины с двухслойным упругим полупространством. Для этого используется двусторонне асимптотический метод. Под действием нагрузки и реакции со стороны слоя пластина изгибается. Решение задачи получено для различных толщин слоя и значений параметра гибкости пластины. Рассмотрены случаи существенного отличия свойств между слоями полупространства. Для этих случаев построены аппроксимации трансформант ядра интегрального уравнения задачи высокой точности. Проведён контроль точности полученных результатов путём сравнения с известным решением задачи об изгибе круговой плиты на упругом слое, лежащем на недеформируемом основании. Исследовано влияние действия распределённой нагрузки на гибкие и жёсткие пластины, в зависимости от толщины слоя и его жёсткости по отношению к подстилающему полупространству.
изгиб пластины, круговая пластина, неоднородная среда, теория упругости, аналитические методы
Введение
Задача об изгибе пластины на упругом изотропном и однородном основании рассматривалась в работах [1, 2]. Решение строилось путём представления контактных напряжений в виде степенного ряда, с последующим определением коэффициентов разложения из бесконечной алгебраической системы уравнений.
Методом ортогональных многочленов такая задача решалась в работах [3, 4], а методом коллокации по чебышёвским узлам - в работах [5, 6]. При этом возникала необходимость построить решение некоторых бесконечных систем линейных алгебраических уравнений и ставилась проблема исследования сходимости полученного решения к точному. В работах [7, 8] для решения задачи применялись асимптотические методы типа «больших λ» и специальных ортогональных многочленов, что позволило получить основные характеристики решения в нескольких формах, каждая из которых эффективна в своей области изменения характерных параметров задачи.
Отметим, что большинство известных решений эффективны только для жёстких пластин. И очень немногие, в частности, представленные в [7, 8], эффективны или для гибких, или для жёстких пластин.
Интерес к решению задачи и её актуальность сохраняется и в настоящее время. Так, в работе [9] решение строилось с использованием разложения напряжения в двойной ряд Фурье. Аналогичный подход использовался в работе [10]. Andrea R. D. Silva с соавторами развил численные методы решения задачи [11].
В настоящей работе развивается подход, основанный на двусторонне асимптотическом методе решения парных уравнений [12], позволяющий получить приближённое решение задачи в единой аналитической форме, применимой во всём диапазоне изменения геометрических и физических параметров задачи как для гибких, так и для жёстких пластин.
Постановка задачи
Круглая пластина радиуса R и постоянной толщины h лежит на границе Γ упругого полупространства Ω , состоящего из однородного мягкого слоя (покрытия) толщины H и
1. Горбунов-Посадов, М. И. Расчёт балок и плит на упругом полупространстве / М. И. Горбунов-Посадов // Прикладная математика и механика. - 1940. - Т. 4, вып. 3. - С. 61-80.
2. Ишкова, А. Г. Об изгибе полосы и круглой пластины, лежащих на упругом полупространстве / А. Г. Ишкова // Инженерный сборник. - 1960. - Т. 23. - С. 171-181.
3. Гребенщиков, В. Н. Расчёт круглой пластинки на упругом полупространстве / В. Н. Гребенщиков // Теория расчёта и надёжность приборов : сб. трудов II Саратовской обл. конф. молодых учёных. - Саратов, 1969. - С. 48-51.
4. Александров, В. М. Универсальная программа расчёта изгиба балочных плит на линейно-деформируемом основании / В. М. Александров, Л. С. Шацких // Сб. трудов 7-й Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластин. - Москва, 1970. - С. 46-51.
5. Шацких, Л. С. К расчёту изгиба плиты на упругом слое / Л. С. Шацких // Известия Академии наук СССР. Механика твёрдого тела. - 1972. - № 2. - С. 170-176.
6. Александров, В. М. Эффективное решение задачи о цилиндрическом изгибе пластинки конечной ширины на упругом полупространстве / В. М. Александров, И. И. Ворович, М. Д. Солодовник // Известия Академии наук СССР. Механика твёрдого тела. - 1973. - № 4. - С. 129-138.
7. Александров, В. М., Асимптотическое решение задачи о цилиндрическом изгибе пластинки конечной ширины на упругом полупространстве / В. М. Александров, М. Д. Солодовник // Прикладная механика. - 1974. - Т. 10, вып. 7. - С. 77-83.
8. Босаков, С. В. К решению контактной задачи для круглой пластинки / С. В. Босаков // Прикладная математика и механика. - 2008. - Т. 72. - № 1. - С. 59-61.
9. Kashtalyan, M., Menshykova, M. Effect of a functionally graded interlayer on threedimensional elastic deformation of coated plates subjected to transverse loading. Composite Structures, 2009, vol. 89, no. 2, pp. 167-176.
10. Kashtalyan, M. Three-dimensional elasticity solution for bending of functionally graded rectangular plates. European Journal of Mechanics A/Solids. 2004, vol. 23, no. 5, pp. 853-864.
11. Silva, Andrea R. D., Silveira, Ricardo A. M., Goncßalves, Paulo B. Numerical methods for analysis of plates on tensionless elastic foundations. International Journal of Solids and Structures, 2001, vol. 38, nos. 10-13, pp. 2083-2100.
12. Айзикович, С. М. Асимптотическое решение одного класса парных уравнений / С. М. Айзикович // Прикладная математика и механика. - 1990. - Т. 54. - С. 872-877.
13. Айзикович, С. М. Изгиб пластин, лежащих на неоднородном основании / С. М. Айзикович, И. С. Трубчик // Сб. трудов 14-й Всесоюзной конференции по теории пластин и оболочек. - Тбилиси, 1987. - Т. 1. - С. 47-52.
14. Цейтлин, А. И. Об изгибе круглой плиты, лежащей на линейно деформируемом основании / А. И. Цейтлин // Известия АН СССР. Механика твёрдого тела. - 1969. - № 1. - С. 99-112.
15. Аналитические решения смешанных осесимметричных задач для функционально-градиентных сред / С. М. Айзикович [и др.]. - Москва : Физматлит, 2011. - 192 с.
16. Волков, С. С. Аналитическое решение осесимметричной контактной задачи о вдавливании штампа в мягкий слой / С. С. Волков, С. М. Айзикович, И. В. Погоцкая // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. - 2012. - № 2. - С. 19-26.
17. Павлик, Г. Н. Взаимодействие фундаментных плит с линейно-упругим основанием / Г. Н. Павлик // Механика контактных взаимодействий : сб. статей / под ред. И. И. Воровича, В. М. Александрова. - Москва, 2001. - С. 254-277.
18. Айзикович, С. М. Асимптотическое решение задачи о взаимодействии пластины с неоднородным по глубине основанием / С. М. Айзикович // Прикладная математика и механика. - 1995. - Т. 59, вып. 4. - С. 688-697.
