Челябинск, Челябинская область, Россия
Задача построения квадрики по девяти точкам, в силу своей фундаментальной значимости, многократно рассматривалась математиками XIX в. Поиск простой линейной геометрической зависимости, связывающей десять точек квадрики, аналогичной теореме Паскаля, связывающей шесть точек конического сечения, не увенчался успехом. Тем не менее были найдены различные алгоритмы геометрически точного (линейкой и циркулем или даже одной линейкой) построения любого количества точек квадрики, проходящей через девять данных точек. Практическая реализация алгоритмов, вследствие их большой сложности, возможна только с помощью современных средств компьютерной графики. В статье рассматриваются два известных графических алгоритма построения квадрики (алгоритм Rohn — Papperitz и алгоритм J.H. Engel) и предлагается упрощенный вариант алгоритма J.H. Engel. Для конструктивной реализации алгоритмов используются средства компьютерной графики. Все алгоритмы позволяют определять множество точек и множество плоских сечений поверхности второго порядка, заданной девятью точками. Алгоритм Rohn — Papperitz, основанный на пространственной конфигурации Дезарга, наилучшим образом подходит для его реализации на аксонометрическом чертеже средствами трехмерной компьютерной графики. Алгоритм J.H. Engel позволяет решить задачу на плоскости. Предложенный в статье упрощенный конструктивный вариант алгоритма J.H. Engel дополнен алгоритмом построения главных осей и плоскостей симметрии квадрики, заданной девятью точками. Дополнительный алгоритм не может быть конструктивно реализован циркулем и линейкой, поскольку сводится к поиску точек пересечения двух кривых второго порядка с одной известной общей точкой (задача третьей степени). Для конструктивной реализации дополнительного алгоритма используется компьютерная программа, выполняющая вычерчивание кривой второго порядка, заданной произвольно указанным набором пяти точек и касательных (как действительных, так и мнимых). Предлагаемые в статье графические алгоритмы могут рассматриваться как альтернатива алгебраическому решению задачи построения квадрики, заданной девятью точками.
проблема десятой точки, биквадратная кривая, пучок конических сечений, пучок квадрик, пространственная конфигурация Дезарга, схема Паскаля
1. Бойков А.А. К вопросу о методике использования алгоритмов при решении задач начертательной геометрии [Текст] / А.А. Бойков, А.А. Сидоров, А.М. Федотов // Геометрия и графика. 2018. Т. 6. №. 3. C. 56-68. DOIhttps://doi.org/10.12737/issn.2308-4898
2. Вольберг О.А. Основные идеи проективной геометрии [Текст] / О.А. Вольберг. - М.-Л.: Учпедгиз, 1949. - 188 с.
3. Волошинов Д.В. Визуально-графическое проектирование единой конструктивной модели для решения аналогов задачи Аполлония с учетом мнимых геометрических образов [Текст] / Д.В. Волошинов // Геометрия и графика. 2018. Т. 6. №. 2. C. 23-46. DOIhttps://doi.org/10.12737/issn.2308-4898
4. Волошинов Д.В. Единый конструктивный алгоритм построения фокусов кривых второго порядка [Текст] / Д.В. Волошинов // Геометрия и графика. 2018. Т. 6. №. 2. C. 47-54. DOIhttps://doi.org/10.12737/issn.2308-4898
5. Гирш А.Г. Графические алгоритмы реконструкции кривой второго порядка, заданной мнимыми элементами / А. Г. Гирш, В. А. Короткий // Геометрия и графика. 2016. Т. 4. №. 4. C. 19-30. DOI:https://doi.org/10.12737/22840
6. Глаголев Н.А. Проективная геометрия / Н.А. Глаголев. - М.: Высшая школа, 1963. - 343 с.
7. Короткий В.А. Синтетические алгоритмы построения кривой второго порядка [Текст] / В.А. Короткий // Вестник компьютерных и информационных технологий. - 2014. -№ 11. - С. 20-24. DOI:https://doi.org/10.14489/issn.1810-7206
8. Короткий В.А. Универсальный компьютерный коникограф / В.А. Короткий, Л.И. Хмарова // Труды 26-й Международной научной конференции GraphiCon 2016, ННГАСУ, Нижний Новгород. - С. 347-351.
9. V. Korotkiy: Construction of a Nine-Point Quadric Surface. Journal for Geometry and Graphics, Austria, Volume 22 (2018), No. 2, 183-193.
10. Короткий В.А. Кривые второго порядка на экране компьютера [Текст] / В.А. Короткий, Е.А. Усманова // Геометрия и графика. 2018. Т. 6. №. 2. C. 101-113. DOIhttps://doi.org/10.12737/issn.2308-4898
11. Короткий В.А. Компьютерная визуализация кривой второго порядка, проходящей через мнимые точки и касающейся мнимых прямых / В.А. Короткий// Научная визуализация. - 2018. - V. 10, I. 1. - С. 56-68.
12. Программа для ЭВМ «Построение кривой второго порядка, проходящей через данные точки и касающейся данных прямых» / В.А. Короткий // Свидетельство о государственной регистрации № 2011611961 от 04.03.2011 г.
13. Сальков Н.А. Формирование поверхностей при кинетическом отображении [Текст] / Н.А.Сальков // Геометрия и графика. 2018. Т. 6. №. 1. C. 20-33. DOIhttps://doi.org/10.12737/issn.2308-4898
14. M. Chasles: Aperçu historique sur l'origine et le développement des methods en Géométrie particuliérement de celles qui se rapportent à la Géométrie moderne. Paris 1875.
15. J.H. Engel: Konstruktionen zur Geometrie der Flächen zweiter Ordnung und der ebenen Kurven dritter Ordnung. Vierteljahrsschrift der Naturforschende Gesellschaft in Zürich, 299-337 (1889).
16. T. Reye: Die Geometrie der Lage. II. Theil. Leipzig, Baumgärtner′s Buchhandlung 1892.
17. K. Rohn, E. Papperitz: Lehrbuch der Darstellenden Geometrie. Band II, Leipzig 1896.
18. O. Staude: Flaechen 2. Ordnung und ihre Systeme und Durchdringungskurven. In Encyklopaedie der Mathematischen Wissenschaften, Band III, Geometrie, Teil 2, Hälfte 1, Teubner, Leipzig 1903.
