Курган, Курганская область, Россия
УДК 62-118 Машины с кривошипным механизмом
ББК 344 Общее машиностроение. Машиноведение
В монореактивном гармоническом осцилляторе инертные элементы могут совершать свободные синусоидальные колебания, которые сопровождаются трансформацией кинетической энергии инертного элемента в кинетическую же энергию другого инертного элемента. В положении, при котором энергия первого инертного элемента равна нулю. При этом энергия второго элемента имеет максимальное значение. В следующий момент времени первый элемент приобретает ускорение за счет кинетической энергии второго элемента, скорость которого начинает уменьшаться. В классических осцилляторах свободные синусоидальные колебания сопровождаются обменом энергии между его элементами, имеющими противоположный характер реактивности. В пружинном маятнике потенциальная энергия упругого элемента трансформируется в кинетическую энергию инертного элемента и обратно. Эти элементы имеют противоположный характер реактивности. В электрическом колебательном контуре энергия магнитного поля катушки трансформируется в энергию электрического поля конденсатора и обратно. Эти элементы тоже имеют противоположный характер реактивности. Известны осцилляторы, в которых свободные синусоидальные колебания сопровождаются трансформацией кинетической энергии инертного элемента или потенциальной энергии упругого элемента в энергию магнитного поля катушки или энергию электрического поля конденсатора и обратно. Свободные синусоидальные колебания могут возникать при взаимной трансформации каких угодно физических видов энергии. Это обстоятельство является побудительным мотивом создания осциллятора, в котором свободные синусоидальные колебания сопровождаются трансформацией кинетической энергии инертного элемента в кинетическую же энергию другого инертного элемента. Элементы с другим характером реактивности в таком осцилляторе отсутствуют. Такой осциллятор по существу является монореактивным.
маятник, колебания, энергообмен, монореактивный, фаза, перемещение, скорость, ускорение
Введение
В классических осцилляторах свободные синусоидальные колебания сопровождаются обменом энергии между его элементами, имеющими противоположный характер реактивности [1, 2].
В пружинном маятнике потенциальная энергия упругого элемента трансформируется в кинетическую энергию инертного элемента и обратно. Эти элементы имеют противоположный характер реактивности.
В электрическом колебательном контуре энергия магнитного поля катушки трансформируется в энергию электрического поля конденсатора и обратно. Эти элементы тоже имеют противоположный характер реактивности.
Известны осцилляторы, в которых свободные синусоидальные колебания сопровождаются трансформацией кинетической энергии инертного элемента или потенциальной энергии упругого элемента в энергию магнитного поля катушки или энергию электрического поля конденсатора и обратно [3].
Все указанные колебательные системы по существу являются биреактивными, а именно: m-k, L-C, m-L, m-C, k-L, k-C.
Свободные синусоидальные колебания могут возникать при взаимной трансформации каких угодно физических видов энергии [4].
Это обстоятельство является побудительным мотивом создания осциллятора, в котором свободные синусоидальные колебания сопровождаются трансформацией кинетической энергии инертного элемента в кинетическую же энергию другого инертного элемента. Элементы с другим характером реактивности в таком осцилляторе отсутствуют.
Такой осциллятор по существу является монореактивным, а именно: m-m.
Актуальность работы обусловлена тем, что механические колебания широко распространены в разнообразных технологических процессах [5–9].
Материалы, модели, эксперименты и методы
Синтез осциллятора производится на основе трех предпосылок [10].
Первое. Осциллятор состоит из двух одинаковых по массе грузов.
Второе. Грузы совершают синусоидальные перемещения
,
.
Здесь – перемещения инертных элементов,
– амплитуда,
– изменяющаяся фаза колебаний,
– начальные фазы колебаний.
Третье. Суммарная энергия осциллятора со временем не изменяется
.
Из второй и третьей предпосылок следует
,
.
Из второго выражения следует, что
.
Эта формула дает возможность определить конфигурацию монореактивного гармонического осциллятора, которая представлена на рисунке.
Допущения. К инертным элементам внешние силы не приложены. Масса соединительного элемента равна нулю. Потери на трение отсутствуют.
Рисунок. Монореактивный гармонический осциллятор
Fig. Monoreactive harmonic oscillator
Результаты
В соответствии с рисунком перемещения инертных элементов имеют вид:
, (1)
. (2)
Текущая фаза наилучшим образом подходит на роль обобщенной координаты.
Рассматриваемая механическая система обладает одной степенью свободы, поэтому, соответственно, уравнение Лагранжа второго рода принимает следующую форму:
.
Так как активные силы равны нулю, то обобщенная сила тоже равна нулю
.
Суммарная кинетическая энергия системы равна
.
Отсюда следует
,
,
.
Это дифференциальное уравнение имеет элементарное решение
,
.
Постоянные интегрирования С1 и С2 находятся с учетом начальных условий
,
.
Отсюда следует
,
.
С учетом установленных величин перемещения инертных элементов (1) и (2) приобретают вид:
,
.
Если исходное положение первого инертного элемента равно
,
то
,
.
Если исходная скорость второго инертного элемента равна
,
то
,
.
С учетом полученных выражений перемещения инертных элементов и их скорости можно записать в виде:
,
,
,
.
Обсуждение/Заключение
В монореактивном (m-m) гармоническом осцилляторе инертные элементы могут совершать свободные синусоидальные колебания, которые сопровождаются трансформацией кинетической энергии инертного элемента в кинетическую же энергию другого инертного элемента.
В положении, при котором энергия первого инертного элемента равна нулю. При этом энергия второго элемента имеет максимальное значение. В следующий момент времени первый элемент приобретает ускорение за счет кинетической энергии второго элемента, скорость которого начинает уменьшаться.
1. Попов И.П. Реактансы и сассептансы механических систем. Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2021; 70: 64-75. doihttps://doi.org/10.17223/19988621/70/6.
2. Попов И.П. Символическое представление вынужденных колебаний разветвленных механических систем. Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2021; 72: 118-130. doihttps://doi.org/10.17223/19988621/72/10
3. Попов И.П., Парышев Д.Н., Ильтяков А.В., Моисеев О.Ю., Мосин А.А., Харин В.В. Спонтанные емкостно-инертные колебания в системах железнодорожной автоматики и телемеханики. Транспорт Урала. 2019; 2(61): 45-48. doi:https://doi.org/10.20291/1815-9400-2019-2-45-48.
4. Попов И.П. Маховик для машин с ограничениями по весу. Транспортное машиностроение. 2022;7(7):19-23. doi:https://doi.org/10.30987/2782-5957-2022-7-19-23.
5. Евсеев Д.Г., Сарычев Ю.Н., Беспалько С.В. Математическая модель гасителя колебаний вагона на основе вязкого трения. Транспортное машиностроение. 2022; 1-2 (1-2):89-95. doi:https://doi.org/10.30987/2782-5957-2022-01-02-89-95.
6. Евсеев Д.Г., Сарычев Ю.Н., Беспалько С.В. Исследование колебаний пассажирского вагона, оборудованного эластомерными демпферами. Транспортное машиностроение. 2022; 6 (6):30-41. doi:https://doi.org/10.30987/2782-5957-2022-6-30-41.
7. Щетинин В.С., Саблин П.А. Взаимосвязь пространственных колебаний с шероховатостью обработанной поверхности на примере точения. Вестник Брянского государственного технического университета. 2021; 1(98): 4-9. doi:https://doi.org/10.30987/1999-8775-2021-1-4-9.
8. Гаспаров Э.С., Гаспарова Л.Б., Маркосян Г.А. Исследование виброактивности электрошпинделей шлифовальных станков. Вестник Брянского государственного технического университета. 2021; 6(103): 23-29. doi:https://doi.org/10.30987/1999-8775-2021-6-23-29.
9. Скачков А.Н., Василевский В.В., Юхневский А.А. Экспериментальный способ определения низшей частоты изгибных колебаний кузова пассажирского вагона в вертикальной плоскости на основе идентификации его изгибной жесткости. Вестник Брянского государственного технического университета. 2020; 9(94): 35-46. doi:https://doi.org/10.30987/1999-8775-2020-9-35-46.
10. Малинкович М.Д. Синтез некоторых передаточных механизмов. Вестник Брянского государственного технического университета. 2005; 2(6): 69-73.
