Belgorod, Russian Federation
employee
Belgorod, Russian Federation
UDK 69 Строительство. Строительные материалы. Строительно-монтажные работы
GRNTI 67.11 Строительные конструкции
OKSO 270000 АРХИТЕКТУРА И СТРОИТЕЛЬСТВО
BBK 385 Строительные конструкции
Loading optimization of the metal trusses has a variational basis. The universal criterion of optimization is the minimum of potential energy of the system (additional energy) in functional space expanded at the expense of functions fields of configuration and (or) material modules, and load. Under the condition of homogeneous linear elastic material optimal truss represents as quasiuniresistant virtual system with internal forces Ni/ⱷi (ⱷi – decrease coefficient of designed metal resistance of to tension and compression. The value ∑Nili (l is pivot length) is in general case the characteristic of the degree of a priori stability of truss, in special case (the load at the line, connecting supports) determines optimal variant of loading. As numerical experiment was consider the distribution of load ∑Fi=const for the truss with descending (ascending) pivot. It is established the independence of optimal loading variant from truss grating structure.
truss loading, variational statement of problem, optimization criterion
Введение. Ферма – несущая часть инженерного сооружения (пролетного строения моста, перекрытия здания и т.п.), состоящая из шарнирно соединенных в узлах стержней. Фермы имеют давнюю историю и оправдывают себя рациональным использованием материала [1–13].
Оптимизацию конструкций ферм в результате рационального расположения их элементов впервые осуществил российский инженер В.Г. Шухов в конце XIX века [14]. Решение дано прежде всего на уровне топологии, которая предусматривает расположение узлов и способ их взаимного соединения для образования геометрически неизменяемой системы. Спустя восемь десятилетий появились исследования роли фактора топологии в оптимизации стержневых систем [15]. Но оставалась в стороне сопутствующая проблема – оптимизация их нагружения.
Основная часть. Для существенного прогресса в оптимизации несущих конструкций необходимо понимание того, что искомые топология, геометрия и сечения отдельных элементов системы составляют единство в алгоритме решения проектной задачи. Технические системы и природные конструкции должны быть подчинены единым принципам структурообразования, согласованным с критерием, имеющим энергетическое содержание. Эти принципы согласуются с распределением материала в соответствии с силовыми полями, что соблюдается естественным образом в природных конструкциях [16].
Проблема приобретает специфику в отношении конструкций, для элементов которым необходимо обеспечить устойчивость равновесия. К ним относятся рассматриваемые здесь фермы [17–21].
Качество равновесия определяет потенциальная энергия системы П, в соответствии с которой различают:
- устойчивое состояние (
); - неустойчивое состояние (
); - безразличное состояние (
) как граница между устойчивым и началом неустойчивого положения равновесия (критическое состояние).
Для ферм при вертикальной нагрузке некоторым эквивалентом степени априорной устойчивости может служить сумма произведений из усилий N в стержнях на их длины l. Покажем это на примере балочной фермы (рис. 1).
В табл. 1 даны размеры фермы, внутренние усилия и указанная характеристика.
Рис. 1. Три варианта нагружения балочной фермы
Таблица 1
Сведения о фермах на рис.1
|
Ферма |
Стержни |
l |
N |
Nl |
Σ Nl |
|
Рис. 1, а |
1-2 |
d |
– 0,5 |
– |
– |
|
2-3 |
d |
– 0,5 |
– |
||
|
1-4 |
d |
0,5 |
0,5 |
||
|
4-3 |
d |
0,5 |
0,5 |
||
|
2-4 |
d |
0 |
0 |
||
|
Рис. 1, б |
1-2 |
d |
– 0,5 |
– |
0 |
|
2-3 |
d |
– 0,5 |
– |
||
|
1-4 |
d |
0,5 |
0,5 |
||
|
4-3 |
d |
0,5 |
0,5 |
||
|
2-4 |
d |
|
|
||
|
Рис. 1, в |
1-2 |
d |
0,5 |
|
|
|
2-3 |
d |
0,5 |
|
||
|
1-4 |
d |
– 0,5 |
– 0,5 |
||
|
4-3 |
d |
– 0,5 |
– 0,5 |
||
|
2-4 |
d |
0 |
0 |
Приведем сначала вывод из таблицы в формулировке [8]: для балочной фермы при вертикальной нагрузке алгебраическая сумма произведений из усилий в элементах на их длины будет положительна, равная нулю, или отрицательная, в зависимости от того, приложена ли нагрузка ниже прямой, соединяющей опорные точки, на уровне ее, или выше.
Установленный вывод используется в работе [8] для проверки правильности расчета усилий в случае приложения нагрузки на уровне прямой, соединяющей опорные точки, и основано на свойстве вириала внешних сил.
Но вывод из таблицы может иметь и другую интерпретацию: для балочной фермы при вертикальной нагрузке алгебраическая сумма произведений из усилий в элементах на их длины нарастает с увеличением степени априорной устойчивости, под которой будем понимать вклад растянутых стержней в величину 
.
В первом случае – это 33%, во втором – 50%, в третьем – 67%. Достигается это, как видим, соответствием расположения материала силовому полю. Во втором случае прежний «нулевой» стержень стал рабочим, в третьем растянутыми оказались длинные стержни. Однако окончательное суждение об оптимальности системы дает энергетический критерий.
Взяв за основу функционал Кастильяно, сформулируем вариационный принцип синтеза системы и нагрузки: «при заданных условиях дополнительная энергия в положении устойчивого равновесия достигает абсолютного минимума по внутренним силам в функциональном пространстве, расширенном за счет полей функций конфигурации и (или) модулей упругости материала, а также нагрузки.
Ограничимся рассмотрением фермы из однородного линейно-упругого материала с модулем продольной упругости Е и расчетным сопротивлением растяжению и сжатию R. Представим виртуальную систему с внутренними силами Ni/ⱷi, где ⱷi – коэффициент уменьшения расчетного сопротивления R. Для растянутых стержней он равен единице, а для сжатых принимается исходя из ограничения гибкости элементов пояса и решетки. Искомые площади поперечных сечений Ai сжатых стержней должны иметь соответствующие минимальные радиусы инерции». [17]
При линейно-упругой постановке задачи дополнительная энергия системы равна потенциальной энергии деформации U. Рассмотрим изопериметрическую задачу, в которой предполагается заданным объем материала 
, с функционалом
(1)
где n – число стержней, μ – множитель Лагранжа, имеющий постоянную величину.
Следствием стационарности функционала (1) являются уравнение объема материала и n уравнений из условий ∂U1/∂Ai =0:
(2)
или
(3)
Это свидетельствует о квазиравнонапряженности фермы. В работе [22] говорится о равнонапряженности, поскольку не рассматривается устойчивость сжатых стержней.
Исходя из условия квазиравнопрочности, можно записать:
, (4)
и выражение U принимает вид:
, (5)
Найдя из (4) представим (5) как 
, (6)
Значит минимуму энергии U соответствует минимум объема материала.
В то же время, как видно из формулы (5) при ⱷi = const минимуму энергии U соответствует минимум 
, что может служить альтернативной характеристикой оптимальности конструкции фермы.
Для фермы на рис. 1 величина U составляет (коэффициент ⱷi принимается равным 0,5):
а) 
;
б) 
;
в) 
В варианте б включение стержня 2-4 увеличило степень априорной устойчивости и в то же время повысило потенциальную энергию деформации по сравнению с вариантом а. Вариант в подтвердил свою оптимальность с позиции минимума величины U.
Рассмотрим оптимизацию расположения нагрузки 
на примере балочной фермы (рис. 2).
Рис. 2. Ферма с нисходящим раскосом
В табл. 2 приведены усилия в стержнях фермы при 5 вариантах нагрузки, составляющей в сумме 20 кН.
Таблица 2
Усилия (кН) в стержнях фермы (рис. 2) при 5 вариантах нагрузки
|
Стержень |
F2=10кН, F3=10кН |
F2=20кН, F3=0кН |
F2=0кН, F3=20кН |
F2=15кН, F3=5кН |
F2=5кН, F3=15кН |
|
1-2 2-3 3-4 4-6 3-6 1-5 5-6 2-5 3-5 |
20,00 20,00 10,00 -14,14 15,00 -22,36 -11,18 10,00 -11,18 |
26,67 26,67 6,67 -9,43 10,00 -29,81 -7,45 20,00 -22,36 |
13,33 13,33 13,33 -18,86 20,00 -14,91 -14,91 0,00 0,00 |
23,33 23,33 8,33 -11,79 12,50 -26,09 -9,32 15,00 -16,77 |
16,67 16,67 11,67 -16,50 17,50 -18,63 -13,04 5,00 -5,59 |
В табл. 3 даны величины ∑|Ni|li и потенциальная энергия деформации U, соответствующие 5 вариантам нагрузки (табл. 2), при Е=2,1·105МПа и R=240МПа.
Таблица 3
Величины 
и потенциальная энергия деформации для 5 вариантов нагрузки
|
Величины |
F2=0кН, F3=20кН |
F2=5кН, F3=15кН |
F2=10кН, F3=10кН |
F2=15кН, F3=5кН |
F2=20кН, F3=0кН |
|
U, Дж |
180 154,3 |
195 167,1 |
210 180 |
225 192,8 |
240 205,7 |
Из табл. 3 видно, что оптимальным вариантом нагрузки, по энергетическому критерию, обеспечивающему минимальный расход материала, является расположение ее суммарной величины в узле 3, в котором сходятся три растянутых и одни «нулевой» стержень. Минимальной величине U соответствует минимум ∑|Ni|li, свидетельствующий, как говорилось выше, о степени априорной устойчивости системы. Эта характеристика может быть альтернативной минимуму величины U при выборе оптимального варианта рассмотренного типа нагрузки.
Для сравнения рассмотрим 5 вариантов нагружения фермы (рис. 3) с теми же геометрическими параметрами.
Рис. 3. Ферма с восходящим раскосом
В табл. 4 приведены усилия в стержнях фермы при 5 вариантах нагрузки, составляющей в сумме 20 кН.
Несмотря на изменение величин усилий по сравнению с табл. 2 в связи с изменением топологии фермы данные табл. 3 сохраняются. Это свидетельствует о замечательном свойстве ферм с вертикальной нагрузкой по горизонтальному нижнему поясу – независимости потенциальной энергии деформации от структуры решетки.
Таблица 4
Усилия (кН) в стержнях фермы (рис. 3) при 5 вариантах нагрузки
|
Стержень |
F2=10кН, F3=10кН |
F2=20кН, F3=0кН |
F2=0кН, F3=20кН |
F2=15кН, F3=5кН |
F2=5кН, F3=15кН |
|
1-2 2-3 3-4 4-6 3-6 1-5 5-6 2-5 2-6 |
20,00 10,00 10,00 -14,14 10,00 -22,36 -22,36 0,00 14,14 |
26,67 6,67 6,67 -9,43 0,00 -29,81 -29,81 0,00 28,28 |
13,33 13,33 13,33 -18,86 20,00 -14,91 -14,91 0,00 0,00 |
23,33 8,33 8,33 -11,79 5,00 -26,09 -26,09 0,00 21,21 |
16,67 11,67 11,67 -16,50 15,00 -18,63 -18,63 0,00 7,07 |
Выводы. В заключение можно сказать, что оптимизация нагрузки на ферму решается сравнением приемлемых вариантов ее распределения. Определяющим фактором является критерий оптимальности для несущей конструкции, вытекающий из вариационного принципа проектной задачи и приводящий к минимуму расхода материала. В частном случае расположения нагрузки на уровне прямой, соединяющей опорные точки, альтернативным фактором может быть минимум сумм произведений из модулей усилий в элементах на их длины.
1. Maxwell J.C. On the calculation of the equilibrium and stiffness of frames. The Scientific Papers of James Clerk Maxwell. 1890. Vol. 2. Pp. 175¬-177.
2. Michell A.G.M. The limits of economy of material in framestructures. Philosophical Magasine and Jornal of Science. 1904. Vol. 8. sixth Series. No. 47.
3. Pippard A.I.S. On a method for the direct design of framed structures having redundant bracing. Tech. Rep. Aero. Res. Comn. London, for Year 1922-1923.
4. Podolsky I.S. Space trusses [Prostranstvennye fermy]. M.: Gostekhizdat, 1931. 351p. (rus)
5. Bezukhov N.I. Interior forces and strains of trusses [Vnutrennie sily i deformacii ferm]. M.-L.: Gosstroyizdat, 1933. 164 p. (rus)
6. Rabinovich I.M. On the theory of statically undefinable trusses [K teorii staticheski neopredelimyh ferm]. M.: Transpechat, 1933. 120 p. (rus)
7. Khuberyan K.M. On calculation of statically undefinable trusses [K raschetu staticheski neopredelimyh ferm]. Tbilisi: NISoor, 1938. 82 p. (rus)
8. Umansky A.A. The statics and the kinematics of trusses [Statika i kinematika ferm]. M.: GITTL, 1957. 342 p. (rus)
9. Kiselyov V.A. Mechanics structure [Stroitel'naya mekhanika]. M.: Stroyizdat, 1976. 511 p. (rus)
10. Smolyago N.A., Yakovlev O.A. The structure perfecting of plane truss [Sovershenstvovanie struktury ploskoj fermy]. Journal of Science and Education of North-West Russia. 2015. Vol. 1. No. 1. Pp. 71-76. (rus)
11. Marutyan A.S., Orobinskaya V.N. Constructions optimization with the lattice from circle and oval tubes [Optimizaciya konstrukcij s reshetkami iz kruglyh i oval'nyh trub]. Vestnik MGSU. 2016. No. 10. Pp. 45-57. (rus)
12. Marutyan A.S., Orobinskaya V.N. Three-edged trusses of covering (overlapping) and the optimization o their heights [Trekhgrannye fermy pokrytij (perekrytij) i optimizaciya ih vysot]. Vestnik MGSU. 2017. Vol. 12. No. 2. Pp.172-183. (rus)
13. Degtyar A.N., Serykh I.R., Panchenko L.A., Chernysheva E.V. Residial resourse of buildings and structures constructions [Ostatochnyj resurs konstrukcij zdanij i sooruzhenij]. Bulletin of BSTU named after V.G. Shukhov. 2017. No. 10. Pp. 94-97. (rus)
14. Shukhov V.G. Mechanics structure [Stroitel'naya mekhanika]. Selected works. M.: Science, 1977. 193 p. (rus)
15. Majid K.I. Optimum design of structures. London: Newnes Butterworths, 1979. 238 p.
16. Roux W. General consideration of organisms development mechanics. Vol. 1-2. Leipzig, 1985.
17. Yuriev A.G. The optimization of constructions topology and geometry [Optimizaciya topologii i geometrii konstrukcij]. Belgorod: BSTU Publisher, 2018. 96 p. (rus)
18. Zinkova V.A. Optimization of metallic trusses topology [Optimizaciya topologii metallicheskih ferm]. Bulletin of BSTU named after V.G. Shukhov. 2015. No. 2. Pp.37-40. (rus)
19. Zinkova V.A., Yuriev A.G., Peshkova E.V. Designing of tube trusses without gusset plate with joint connections. International Journal of Applied Engineering Research. 2015. No. 5. Vol. 10. Pp. 12391-12398.
20. Yuriev A.G., Zinkova V.A., Smolyago N.A., Yakovlev O.A. Structure optimization of metallic trusses [Optimizaciya struktury metallicheskih ferm]. Bulletin of BSTU named after V.G. Shukhov. 2017. No. 7. Pp. 41-45. (rus)
21. Yuriev A.G., Zinkova V.A., Ata El-Carim Soliman. Designing calculation of the truss [Proektirovochnyj raschet fermy]. Construction materials and products. 2019. Vol. 2. No. 1. Pp. 37-44. (rus)
22. Wasiutynski Z. On the congruency of the forming according to the minimum potential energy with that according to the equal strength. Bulletin de L'Academie Polonaise des Sciences. Serie des Sciences Techniques, 1960. Vol. 8. No. 6. Pp. 259-268.
