Белгородская область, Россия
Белгород, Россия
УДК 69 Строительство. Строительные материалы. Строительно-монтажные работы
ГРНТИ 67.11 Строительные конструкции
ОКСО 270000 АРХИТЕКТУРА И СТРОИТЕЛЬСТВО
ББК 385 Строительные конструкции
Эффективный способ оптимизации нагружения металлических ферм имеет вариационную основу. Универсальный критерий оптимальности связан с минимумом потенциальной энергией системы (дополнительной энергией) в функциональном пространстве, расширенном за счет полей функций конфигурации и (или) модулей материала, а также нагрузки. При однородном линейном материале оптимальную ферму можно представить как квазиравнопрочную систему с внутренними силами Ni/ⱷi, где ⱷi – коэффициент уменьшения расчетного сопротивления металла. Величина ∑Nili (l – длина стержня) является в общем случае характеристикой степени априорной устойчивости фермы, в частном случае (нагрузка на прямой, соединяющей опоры) определяет оптимальный вариант нагружения, соответствующий минимуму объема материала. В качестве численного эксперимента рассмотрено распределение нагрузки ∑Fi=const для фермы с нисходящим (восходящим) раскосом. Установлена независимость оптимального варианта нагружения от структуры решетки фермы.
нагружения фермы, вариационная постановка задачи, критерии оптимальности
Введение. Ферма – несущая часть инженерного сооружения (пролетного строения моста, перекрытия здания и т.п.), состоящая из шарнирно соединенных в узлах стержней. Фермы имеют давнюю историю и оправдывают себя рациональным использованием материала [1–13].
Оптимизацию конструкций ферм в результате рационального расположения их элементов впервые осуществил российский инженер В.Г. Шухов в конце XIX века [14]. Решение дано прежде всего на уровне топологии, которая предусматривает расположение узлов и способ их взаимного соединения для образования геометрически неизменяемой системы. Спустя восемь десятилетий появились исследования роли фактора топологии в оптимизации стержневых систем [15]. Но оставалась в стороне сопутствующая проблема – оптимизация их нагружения.
Основная часть. Для существенного прогресса в оптимизации несущих конструкций необходимо понимание того, что искомые топология, геометрия и сечения отдельных элементов системы составляют единство в алгоритме решения проектной задачи. Технические системы и природные конструкции должны быть подчинены единым принципам структурообразования, согласованным с критерием, имеющим энергетическое содержание. Эти принципы согласуются с распределением материала в соответствии с силовыми полями, что соблюдается естественным образом в природных конструкциях [16].
Проблема приобретает специфику в отношении конструкций, для элементов которым необходимо обеспечить устойчивость равновесия. К ним относятся рассматриваемые здесь фермы [17–21].
Качество равновесия определяет потенциальная энергия системы П, в соответствии с которой различают:
- устойчивое состояние (
); - неустойчивое состояние (
); - безразличное состояние (
) как граница между устойчивым и началом неустойчивого положения равновесия (критическое состояние).
Для ферм при вертикальной нагрузке некоторым эквивалентом степени априорной устойчивости может служить сумма произведений из усилий N в стержнях на их длины l. Покажем это на примере балочной фермы (рис. 1).
В табл. 1 даны размеры фермы, внутренние усилия и указанная характеристика.
Рис. 1. Три варианта нагружения балочной фермы
Таблица 1
Сведения о фермах на рис.1
|
Ферма |
Стержни |
l |
N |
Nl |
Σ Nl |
|
Рис. 1, а |
1-2 |
d |
– 0,5 |
– |
– |
|
2-3 |
d |
– 0,5 |
– |
||
|
1-4 |
d |
0,5 |
0,5 |
||
|
4-3 |
d |
0,5 |
0,5 |
||
|
2-4 |
d |
0 |
0 |
||
|
Рис. 1, б |
1-2 |
d |
– 0,5 |
– |
0 |
|
2-3 |
d |
– 0,5 |
– |
||
|
1-4 |
d |
0,5 |
0,5 |
||
|
4-3 |
d |
0,5 |
0,5 |
||
|
2-4 |
d |
|
|
||
|
Рис. 1, в |
1-2 |
d |
0,5 |
|
|
|
2-3 |
d |
0,5 |
|
||
|
1-4 |
d |
– 0,5 |
– 0,5 |
||
|
4-3 |
d |
– 0,5 |
– 0,5 |
||
|
2-4 |
d |
0 |
0 |
Приведем сначала вывод из таблицы в формулировке [8]: для балочной фермы при вертикальной нагрузке алгебраическая сумма произведений из усилий в элементах на их длины будет положительна, равная нулю, или отрицательная, в зависимости от того, приложена ли нагрузка ниже прямой, соединяющей опорные точки, на уровне ее, или выше.
Установленный вывод используется в работе [8] для проверки правильности расчета усилий в случае приложения нагрузки на уровне прямой, соединяющей опорные точки, и основано на свойстве вириала внешних сил.
Но вывод из таблицы может иметь и другую интерпретацию: для балочной фермы при вертикальной нагрузке алгебраическая сумма произведений из усилий в элементах на их длины нарастает с увеличением степени априорной устойчивости, под которой будем понимать вклад растянутых стержней в величину 
.
В первом случае – это 33%, во втором – 50%, в третьем – 67%. Достигается это, как видим, соответствием расположения материала силовому полю. Во втором случае прежний «нулевой» стержень стал рабочим, в третьем растянутыми оказались длинные стержни. Однако окончательное суждение об оптимальности системы дает энергетический критерий.
Взяв за основу функционал Кастильяно, сформулируем вариационный принцип синтеза системы и нагрузки: «при заданных условиях дополнительная энергия в положении устойчивого равновесия достигает абсолютного минимума по внутренним силам в функциональном пространстве, расширенном за счет полей функций конфигурации и (или) модулей упругости материала, а также нагрузки.
Ограничимся рассмотрением фермы из однородного линейно-упругого материала с модулем продольной упругости Е и расчетным сопротивлением растяжению и сжатию R. Представим виртуальную систему с внутренними силами Ni/ⱷi, где ⱷi – коэффициент уменьшения расчетного сопротивления R. Для растянутых стержней он равен единице, а для сжатых принимается исходя из ограничения гибкости элементов пояса и решетки. Искомые площади поперечных сечений Ai сжатых стержней должны иметь соответствующие минимальные радиусы инерции». [17]
При линейно-упругой постановке задачи дополнительная энергия системы равна потенциальной энергии деформации U. Рассмотрим изопериметрическую задачу, в которой предполагается заданным объем материала 
, с функционалом
(1)
где n – число стержней, μ – множитель Лагранжа, имеющий постоянную величину.
Следствием стационарности функционала (1) являются уравнение объема материала и n уравнений из условий ∂U1/∂Ai =0:
(2)
или
(3)
Это свидетельствует о квазиравнонапряженности фермы. В работе [22] говорится о равнонапряженности, поскольку не рассматривается устойчивость сжатых стержней.
Исходя из условия квазиравнопрочности, можно записать:
, (4)
и выражение U принимает вид:
, (5)
Найдя из (4) представим (5) как 
, (6)
Значит минимуму энергии U соответствует минимум объема материала.
В то же время, как видно из формулы (5) при ⱷi = const минимуму энергии U соответствует минимум 
, что может служить альтернативной характеристикой оптимальности конструкции фермы.
Для фермы на рис. 1 величина U составляет (коэффициент ⱷi принимается равным 0,5):
а) 
;
б) 
;
в) 
В варианте б включение стержня 2-4 увеличило степень априорной устойчивости и в то же время повысило потенциальную энергию деформации по сравнению с вариантом а. Вариант в подтвердил свою оптимальность с позиции минимума величины U.
Рассмотрим оптимизацию расположения нагрузки 
на примере балочной фермы (рис. 2).
Рис. 2. Ферма с нисходящим раскосом
В табл. 2 приведены усилия в стержнях фермы при 5 вариантах нагрузки, составляющей в сумме 20 кН.
Таблица 2
Усилия (кН) в стержнях фермы (рис. 2) при 5 вариантах нагрузки
|
Стержень |
F2=10кН, F3=10кН |
F2=20кН, F3=0кН |
F2=0кН, F3=20кН |
F2=15кН, F3=5кН |
F2=5кН, F3=15кН |
|
1-2 2-3 3-4 4-6 3-6 1-5 5-6 2-5 3-5 |
20,00 20,00 10,00 -14,14 15,00 -22,36 -11,18 10,00 -11,18 |
26,67 26,67 6,67 -9,43 10,00 -29,81 -7,45 20,00 -22,36 |
13,33 13,33 13,33 -18,86 20,00 -14,91 -14,91 0,00 0,00 |
23,33 23,33 8,33 -11,79 12,50 -26,09 -9,32 15,00 -16,77 |
16,67 16,67 11,67 -16,50 17,50 -18,63 -13,04 5,00 -5,59 |
В табл. 3 даны величины ∑|Ni|li и потенциальная энергия деформации U, соответствующие 5 вариантам нагрузки (табл. 2), при Е=2,1·105МПа и R=240МПа.
Таблица 3
Величины 
и потенциальная энергия деформации для 5 вариантов нагрузки
|
Величины |
F2=0кН, F3=20кН |
F2=5кН, F3=15кН |
F2=10кН, F3=10кН |
F2=15кН, F3=5кН |
F2=20кН, F3=0кН |
|
U, Дж |
180 154,3 |
195 167,1 |
210 180 |
225 192,8 |
240 205,7 |
Из табл. 3 видно, что оптимальным вариантом нагрузки, по энергетическому критерию, обеспечивающему минимальный расход материала, является расположение ее суммарной величины в узле 3, в котором сходятся три растянутых и одни «нулевой» стержень. Минимальной величине U соответствует минимум ∑|Ni|li, свидетельствующий, как говорилось выше, о степени априорной устойчивости системы. Эта характеристика может быть альтернативной минимуму величины U при выборе оптимального варианта рассмотренного типа нагрузки.
Для сравнения рассмотрим 5 вариантов нагружения фермы (рис. 3) с теми же геометрическими параметрами.
Рис. 3. Ферма с восходящим раскосом
В табл. 4 приведены усилия в стержнях фермы при 5 вариантах нагрузки, составляющей в сумме 20 кН.
Несмотря на изменение величин усилий по сравнению с табл. 2 в связи с изменением топологии фермы данные табл. 3 сохраняются. Это свидетельствует о замечательном свойстве ферм с вертикальной нагрузкой по горизонтальному нижнему поясу – независимости потенциальной энергии деформации от структуры решетки.
Таблица 4
Усилия (кН) в стержнях фермы (рис. 3) при 5 вариантах нагрузки
|
Стержень |
F2=10кН, F3=10кН |
F2=20кН, F3=0кН |
F2=0кН, F3=20кН |
F2=15кН, F3=5кН |
F2=5кН, F3=15кН |
|
1-2 2-3 3-4 4-6 3-6 1-5 5-6 2-5 2-6 |
20,00 10,00 10,00 -14,14 10,00 -22,36 -22,36 0,00 14,14 |
26,67 6,67 6,67 -9,43 0,00 -29,81 -29,81 0,00 28,28 |
13,33 13,33 13,33 -18,86 20,00 -14,91 -14,91 0,00 0,00 |
23,33 8,33 8,33 -11,79 5,00 -26,09 -26,09 0,00 21,21 |
16,67 11,67 11,67 -16,50 15,00 -18,63 -18,63 0,00 7,07 |
Выводы. В заключение можно сказать, что оптимизация нагрузки на ферму решается сравнением приемлемых вариантов ее распределения. Определяющим фактором является критерий оптимальности для несущей конструкции, вытекающий из вариационного принципа проектной задачи и приводящий к минимуму расхода материала. В частном случае расположения нагрузки на уровне прямой, соединяющей опорные точки, альтернативным фактором может быть минимум сумм произведений из модулей усилий в элементах на их длины.
1. Maxwell J.C. On the calculation of the equilibrium and stiffness of frames // The Scientific Papers оf James Clerk Maxwell. 1890. Vol. 2. Pp. 175-177.
2. Michell A.G.M. The limits of economy of material in framestructures // Philosophical Magasine and Jornal of Science. 1904. Vol. 8. sixth Series. No 47.
3. Pippard A.I.S. On a method for the direct design of framed structures having redundant bracing // Tech. Rep. Aero. Res. Comn. London, for Year 1922-1923.
4. Подольский И.С. Пространственные фермы. М.: Гостехиздат, 1931. 351с.
5. Безухов Н.И. Внутренние силы и деформации ферм. М.-Л.: Госстройиздат, 1933. 164 с.
6. Рабинович И.М. К теории статически неопределимых ферм. М.: Транспечать, 1933. 120 с.
7. Хуберян К.М. К расчету статически неопределимых ферм. Тбилиси: НИСоор, 1938. 82 с.
8. Уманский А.А. Статика и кинематика ферм. М.: ГИТТЛ, 1957. 342 с.
9. Киселев В.А. Строительная механика. М.: Стройиздат, 1976. 511 с.
10. Смоляго Н.А., Яковлев О.А. Совершенствование структуры плоской фермы // Вестник науки и образования Северо-Запада России. 2015. Т. 1. № 1. С. 71-76.
11. Марутян А.С., Оробинская В.Н. Оптимизация конструкций с решетками из круглых и овальных труб // Вестник МГСУ. 2016. № 10. С.45-57.
12. Марутян А.С., Оробинская В.Н. Трехгранные фермы покрытий (перекрытий) и оптимизация их высот // Вестник МГСУ. 2017. Т.12. № 2. С. 172-183.
13. Дегтярь А.Н., Серых И.Р., Панченко Л.А., Чернышева Е.В. Остаточный ресурс конструкций зданий и сооружений // Вестник БГТУ им. В.Г. Шухова. 2017. № 10. С. 94-97.
14. Шухов В.Г. Строительная механика. Избранные труды. М.: Наука, 1977. 193 с.
15. Majid K.I. Optimum design of structures. London: Newnes Butterworths, 1979. 238 p.
16. Roux W. Gesammelte Abhandlungen über Entwicklungsmechanik der Organismen. Bd. 1-2. Leipzig, 1985
17. Юрьев А.Г. Оптимизация топологии и геометрии конструкций. Белгород: Изд-во БГТУ, 2018. 96 с.
18. Зинькова В.А. Оптимизация топологии металлических ферм // Вестник БГТУ им. В.Г. Шухова. 2015. № 2. С.37-40.
19. Zinkova V.A., Yuriev A.G., Peshkova E.V. Designing of tube trusses without gusset plate with joint connections // International Journal of Applied Engineering Research. 2015. No. 5. Vol. 10. Рp. 12391-12398.
20. Юрьев А.Г., Зинькова В.А., Смоляго Н.А., Яковлев О.А. Оптимизация структуры металлических ферм // Вестник БГТУ им. В.Г. Шухова. 2017. № 7. С.41-45.
21. Юрьев А.Г., Зинькова В.А., Ата Эль-Карим Солиман. Проектировочный расчет фермы // Строительные материалы и изделия. 2019. Т.2. №1. С.37-44.
22. Wasiutynski Z. On the congruency of the forming according to the minimum potential energy with that according to the equal strength // Bulletin de L'Academie Polonaise des Sciences. Serie des Sciences Techniques, 1960.Vol. 8. No. 6. Pp. 259-268.
