аспирант
Санкт-Петербург, г. Санкт-Петербург и Ленинградская область, Россия
Исследуется зависимость положения точки P1, инволюционно сопряженной с фиксированной точкой P, от деформации одной из коник, задающих проективную инволюцию на плоскости. Рассматриваемая инволюция определяется парой коник K1, K2, при этом коника K1 подвергается непрерывной деформации за счёт изменения положения одной из её опорных точек E, тогда как коника K2 остаётся неизменной. Целью работы является детальный анализ геометрической траектории точки P1 при различных режимах движения точки E, а также выявление закономерностей, характеризующих устойчивость и типологию возникающих изменений. Методология исследования основана на сочетании классических конструктивных методов проективной геометрии, аналитического описания соответствующих преобразований и численного эксперимента с визуализацией результатов в среде Python/Matplotlib. Подобные подходы к цифровой визуализации, вычислительному моделированию и интерактивной поддержке графических исследований широко представлены в работах [7; 8; 14; 20]. В рамках исследования предложены три сценария движения точки E: линейный, криволинейный и параметрически управляемый, что позволяет проследить влияние различных типов деформации коники на характер движения сопряжённой точки. Установлено, что траектория P1 является непрерывной, кусочно-гладкой и при малых смещениях точки E демонстрирует квазилинейное поведение, близкое к аффинной зависимости. Выявлены критические положения параметров, при которых коника K1 вырождается, что приводит к резким изменениям направления движения точки P1, возникновению особенностей траектории и смене её топологического типа. Наблюдаемая функциональная связь между положениями точек E и P1 обладает признаками алгебраических отображений низкой степени, что согласуется с гипотезой о её проективной природе и допускает дальнейшее аналитическое описание. Полученные результаты имеют прикладное значение для оптимизации геометрических вычислений в CAD-системах, повышения устойчивости алгоритмов компьютерного зрения, коррекции динамических проективных искажений и разработки быстрых методов геометрического моделирования в задачах инженерной графики и вычислительной геометрии.
проективная геометрия, сопряженная точка, коника, деформация коники, алгебраическое отображение, траектория точки, критические точки
1. Башкин В.А. К вопросу о проективных преобразованиях в задачах геометрического моделирования [Текст] / В.А. Башкин, В.Н. Иванов // Вестник компьютерных и информационных технологий. — 2015. — № 7. С. 8–15.
2. Волошинов Д.В. Единый конструктивный алгоритм построения фокусов кривых второго порядка [Текст] / Д.В. Волошинов // Геометрия и графика. 2018. – Т. 6. –№ 2. — С. 47–54. — DOI: 10.12737/ article_5b559dc3551f95.26045830 DOI: https://doi.org/10.12737/article_5b559dc3551f95.26045830; EDN: https://elibrary.ru/UWFDPX
3. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. — 5-е изд. [Текст] / Ф.Р. Гантмахер — М.: Физматлит, 2004. — 560 с.
4. Гирш А.Г. Взаимные задачи с кониками [Текст] / А.Г. Гирш // Геометрия и графика. — 2020. — Т. 8. — № 1. С. 15–24. — DOI:https://doi.org/10.12737/2308-4898-2020-8-1-15-24 DOI: https://doi.org/10.12737/2308-4898-2020-15-24; EDN: https://elibrary.ru/YWTSPY
5. Гущин О.В. Визуализация и численный анализ динамических геометрических систем в среде Python [Текст] / О.В. Гущин, В.А. Куликов // Труды Института системного программирования РАН. — 2023. — Т. 35. — № 4. С. 145–158. — DOI:https://doi.org/10.15514/ISPRAS-2023-35(4)-10
6. Ефимов Н.В. Высшая геометрия — 7-е изд. [Текст] / Н.В. Ефимов. — М.: Физматлит, 2003. — 584 с.
7. Ефремов А.В. Пространственные геометрические ячейки — квазимногогранники [Текст] / А.В. Ефремов, Т.А. Верещагина, Н.С. Кадыкова, В.В. Рустамян // Геометрия и графика. — 2021. — Т. 9. — № 3. — С. 30–38. DOI:https://doi.org/10.12737/2308-4898-2021-9-3-30-38 EDN: https://elibrary.ru/GCBBFH
8. Игнатьев С.А. Функциональные возможности среды Wolfram Mathematica для визуализации кривых линий и поверхностей [Текст] / С.А. Игнатьев, А.И. Фоломкин, Э.Х. Муратбакеев // Геометрия и графика. — 2021. Т. 9. — № 1. — С. 29–38. — DOI:https://doi.org/10.12737/2308-48982021-9-1-29-38 DOI: https://doi.org/10.12737/2308-4898-2021-9-1-29-38; EDN: https://elibrary.ru/CGOKFL
9. Клейн Ф. Высшая геометрия [Текст] / Ф. Клейн. — М.:УРСС, 2004. — 400 с. EDN: https://elibrary.ru/QJMGSN
10. Короткий В.А. Графические алгоритмы реконструкции кривой второго порядка, заданной мнимыми элементами [Текст] / В.А. Короткий, А.Г. Гирш // Геометрия и графика. — 2016. — Т. 4. — № 4. — С. 19–30. — DOIhttps://doi.org/10.12737/22840 EDN: https://elibrary.ru/XKYFVV
11. Короткий В.А. Геометрическое моделирование кривых второго порядка на основе проективных преобразований [Текст] / В.А. Короткий, А.Л. Хейфец // Вестник Южно-Уральского государственного университета. Серия: Строительство и архитектура. — 2021. — Т. 21. № 1. — С. 58–66. — DOI:https://doi.org/10.14529/build210108
12. Кострикин А.И. Введение в алгебру. Ч. II. Линейная алгебра. — 3-е изд. [Текст] / А.И. Кострикин — М.: Физматлит, 2004. — 368 с.
13. Ли К. Основы САПР (CAD/CAM/CAE) [Текст] / К. Ли СПб.: Питер, 2004. — 560 с.
14. Мусаева Т.В. Дополненная реальность в проведении занятий по инженерным техническим дисциплинам проектирования [Текст] / Т.В. Мусаева, А.А. Ураго // Геометрия и графика. — 2021. — Т. 9. — № 2. — С. 46–55. — DOI:https://doi.org/10.12737/2308-4898-2021-9-2-46-55 EDN: https://elibrary.ru/ZZUYKJ
15. Прасолов В.В. Геометрия — 2-е изд., стереотип. [Текст] / В.В. Прасолов, В.М. Тихомиров — М.: МЦНМО, 2007. 328 с.
16. Роджерс Д. Алгоритмические основы машинной графики [Текст] / Д. Роджерс; пер. с англ. — М.: Мир, 1989. 512 с.
17. Сальков Н.А. Циклические и линейчатые поверхности как ∞ 2 точек, равноудаленных от двух заданных геометрических фигур. Часть 1 [Текст] / Н.А. Сальков // Геометрия и графика. — 2025. — Т. 13. — № 3. — С. 21–33. DOI:https://doi.org/10.12737/2308-4898-2025-13-3-21-33 EDN: https://elibrary.ru/XWTGQI
18. Сунцов О.С. Исследование трехмерного отражения от криволинейных зеркал с применением инструментов компьютерной алгебры [Текст] / О.С. Сунцов, Л.А. Жихарев, А.В. Ефремов // Геометрия и графика. — 2023. —Т. 11. — № 4. — С. 15–31. — DOI:https://doi.org/10.12737/2308-48982024-11-4-15-31 DOI: https://doi.org/10.12737/2308-4898-2024-11-4-15-31; EDN: https://elibrary.ru/LMKYDO
19. Умбетов Н.С. Демонстрация общих элементов инволюции на простом примере [Текст] / Н.С. Умбетов // Геометрия и графика. — 2022. — Т. 10. — № 2. — С. 27–34. DOI:https://doi.org/10.12737/2308-4898-2022-10-2-27-34 EDN: https://elibrary.ru/VKNAZJ
20. Фоломкин А.И. Оценка результативности применения тренажера по учебной дисциплине «Начертательная геометрия» [Текст] / А.И. Фоломкин, С.В. Янкилевич, О.Н. Мороз // Геометрия и графика. — 2022. — Т. 10. № 3. — С. 54–70. — DOI:https://doi.org/10.12737/2308-4898-2022-103-54-70 DOI: https://doi.org/10.12737/2308-4898-2022-10-3-54-70; EDN: https://elibrary.ru/LTCAQZ
21. Хованский А.Г. Особенности алгебраических кривых и инволюции [Текст] / А.Г. Хованский // Функциональный анализ и его приложения. — 1999. — Т. 33. Вып. 3. — С. 30–41.
22. Шикин Е.В. Кривые и поверхности на экране: руководство по компьютерной геометрии [Текст] / Шикин Е.В., Плис А.И. — М.: Диалог-МИФИ, 1991. — 240 с.
23. Arnold V.I. Ordinary Differential Equations. Springer, 1992. 334 p.
24. Coxeter H.S.M. Projective Geometry. 2 nd ed. Springer, 1994.162 p.
25. Farin G. Curves and Surfaces for CAGD: A Practical Guide. 5th ed. Morgan Kaufmann, 2002. 499 p.
26. Foley J.D., Van Dam A., Feiner S.K., Hughes J.F. Computer Graphics: Principles and Practice. 3 rd ed. Addison-Wesley Professional, 2013. 1264 p.
27. Gelfand I.M., Kapranov M.M., Zelevinsky A.V. Discriminants, Resultants, and Multidimensional Determinants. Birkhäuser, 1994. 523 p. DOI: https://doi.org/10.1007/978-0-8176-4771-1
28. Hartley R., Zisserman A. Multiple View Geometry in Computer Vision. 2 nd ed. Cambridge University Press, 2003. 655 p. DOI: https://doi.org/10.1017/CBO9780511811685
29. Korotkiy V.A., Usmanova E.A., Khmarova L.I. The Design of Architectural Forms Based on Irregular Curves // Proceedings of the 6th International Conference on Construction, Architecture and Technosphere Safety (ICCA TS 2022). Cham: Springer, 2023, pp. 285–294. (Lecture Notes in Civil Engineering; Vol. 308). DOI:https://doi.org/10.1007/978-3-03121120-1_29
30. Mortenson M.E. Geometric Modeling. 3 rd ed. Industrial Press, 2006. 584 p.
31. Pottmann H. Differential Geometry of Surfaces and Surface Structures in Architecture // Advances in Architectural Geometry 2020. Paris: École des Ponts ParisTech, 2021, pp. 10–35.
