Москва, г. Москва и Московская область, Россия
Москва, г. Москва и Московская область, Россия
В статье исследованы геометрические места точек (ГМТ), равноудаленных от сферы и цилиндрической поверхности равных диаметров. Изучены свойства полученных поверхностей ГМТ. При построении ГМТ, равноудаленных от цилиндрической поверхности Γ и сферы Δ всегда получается четыре листа поверхностей. Первый лист — когда обе поверхности возрастающие, второй — когда обе убывающие. Еще два листа формируются, когда одна из заданных поверхностей возрастающая, а другая убывающая, и наоборот. Рассмотрены четыре вариант положения сферы и цилиндрической поверхности. 1. 6.5.1.1. Центр сферы Δ на оси цилиндрической поверхности Γ (a = 0). ГМТ являются двулистная плоскость Σ6.5.1.1 и перпендикулярный параболоид вращения (симметричный) Ψ6.5.1.1 . Одна из поверхностей мнимая. 2. 6.5.1.2. Сфера Δ и цилиндрическая поверхность Γ пересекаются (0 < a < R): ГМТ представляет собой одну мнимую и две реальные поверхности: • двулистная параболическая цилиндрическая поверхности λ6.5.1.2 ; • несимметричный перпендикулярный параболоид Ψ6.5.1.1 . Вариант 6.5.1.1. является частным случаем варианта 6.5.1.2. 3. 6.5.1.3. Сфера и цилиндрическая поверхности равного диаметра касаются (имеют внешнее касание) (a = R). В данном случае все четыре поверхности реальные, но одна представлена прямой – ноль-квадрикой второго порядка. ГМТ являются: • двулистная параболическая цилиндрическая поверхность λ. Поверхность λ является ГМТ, равноудаленных от сферы Δ и цилиндрической поверхности Γ во всех четырех случаях их взаимного расположения. 4. 6.5.1.4. Сфера Δ и цилиндрическая поверхность Γ находятся на расстоянии друг от друга (a > R), ГМТ являются три реальные поверхности, имеющие четыре листа: • двулистная параболическая поверхность λ; • поверхность четвертого порядка Ψ, ее фронтальный и горизонтальный очерки однонаправленные парабола и ветвь гиперболы; • поверхность четвертого порядка Σ, парабола и ветвь гиперболы – соответственно фронтальный и горизонтальный очерки Σ.
геометрия, начертательная геометрия, геометрические места точек, ГМТ, аналитическая геометрия, сфера, круговая цилиндрическая поверхность, перпендикулярный параболоид вращения
1. Адамян В.Г. Геометрическое место точек с постоянным отношением направленного расстояния до фиксированной прямой к расстоянию до фокуса [Текст] / В.Г. Адамян, Г.Д. Анамов // Прикладная геометрия и инженерная графика. — 1977. — Вып. 23. — С. 108–111.
2. Анамов Г.Д. Применение пространственных геометрических мест в начертательной геометрии [Текст]: дисс. … канд. техн. наук / Г.Д. Анамов. — Киев, 1945. — 150 с.
3. Болотина Е.В. Геометрическое моделирование поверхностей, эквидистантных плоскости, и цилиндрической поверхности / Е.В. Болотина, К.Т. Егиазарян, В.И. Вышнепольский // КОГРАФ-2023: Сборник материалов 33-й Всероссийской молодежной научно-практической конференции по графическим информационным технологиям и системам, Нижний Новгород, 17–20 апреля 2023 года. — Нижний Новгород: Изд-во Нижегородского гос. технического ун-та им. Р.Е. Алексеева, 2023. — С. 67–73.
4. Волков В.Я. Курс начертательной геометрии на основе геометрического моделирования: учебник [Текст] / В.Я. Волков — Омск: Изд-во СибАДИ, 2010. — 252с. EDN: https://elibrary.ru/RAXDXN
5. Волков В.Я. Сборник задач и упражнений по начертательной геометрии (к учебнику «Курс начертательной геометрии на основе геометрического моделирования») [Текст] / В.Я. Волков, В.Ю. Юрков, К.Л. Панчук, Н.В. Кайгородцева. — Омск: Изд-во СИБАДИ, 2010. 74 с. EDN: https://elibrary.ru/RAXDWJ
6. Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике [Текст] / М.Я. Выгодский. — М.: АСТ: Астрель, 2008. 509 с. EDN: https://elibrary.ru/QJTUPF
7. Вышнепольский В.И. Всероссийский студенческий конкурс «Инновационные разработки» [Текст] / В.И. Вышнепольский, Н.С. Кадыкова, Н.И. Прокопов // Геометрия и графика. — 2016. — Т. 4. — № 4. — С. 69–86. DOI:https://doi.org/10.12737/22842 DOI: https://doi.org/10.12737/22845; EDN: https://elibrary.ru/XKYRWN
8. Вышнепольский В.И. Геометрические места точек, равноотстоящих от двух заданных геометрических фигур. Часть 1 [Текст] / В.И. Вышнепольский, Н.А. Сальков, Е.В. Заварихина // Геометрия и графика. — 2017. Т. 5. — № 3. — С. 21–35. — DOI:https://doi.org/10.12737/22842 DOI: https://doi.org/10.12737/article_59bfa3beb72932.73328568; EDN: https://elibrary.ru/ZGWELV
9. Вышнепольский В.И. Геометрические места точек, равноотстоящих от двух заданных геометрических фигур. Часть 2 [Текст] / В.И. Вышнепольский, О.Л. Даллакян, Е.В. Заварихина // Геометрия и графика. — 2017. Т. 5. — № 4. — С. 15–23. — DOI:https://doi.org/10.12737/22842 DOI: https://doi.org/10.12737/article_5a17f9503d6f40.18070994; EDN: https://elibrary.ru/ZWSRLL
10. Вышнепольский В.И. Геометрические места точек, равноотстоящих от двух заданных геометрических фигур. Часть 3 [Текст] / В.И. Вышнепольский, К.А. Киршанов, К.Т. Егиазарян // Геометрия и графика. 2018. — Т. 6. — № 4. — С. 3–19. — DOI: 10.12737/ article_5c21f207bfd6e4.78537377 DOI: https://doi.org/10.12737/article_5c21f207bfd6e4.78537377; EDN: https://elibrary.ru/YTZUXR
11. Вышнепольский В.И. Геометрические места точек, равноотстоящих от двух заданных геометрических фигур. Часть 4: Геометрические места точек, равноудаленных от двух сфер [Текст] / В.И. Вышнепольский, Е.В. Заварихина, Д.С. Пех // Геометрия и графика. — 2021. Т. 9. — № 3. — С. 12–29. — DOI:https://doi.org/10.12737/2308-48982021-9-3-12-29 DOI: https://doi.org/10.12737/2308-4898-2021-9-3-12-29; EDN: https://elibrary.ru/WGHOZY
12. Вышнепольский В.И. Геометрические места точек, равноотстоящих от двух заданных геометрических фигур. Часть 5: Геометрические места точек, равноудаленных от сферы и плоскости / В.И. Вышнепольский, Е.В. Заварихина, К.Т. Егиазарян // Геометрия и графика. — 2021. — Т. 9. — № 4. — С. 22–34. — DOIhttps://doi.org/10.12737/2308-4898-2021-9-4-22-34 DOI: https://doi.org/10.12737/2308-4898-2022-9-4-22-34; EDN: https://elibrary.ru/MGDBLH
13. Вышнепольский В.И. Методические основы подготовки и проведения олимпиад по графическим дисциплинам в высшей школе [Текст]: дис. … канд. пед. наук / В.И. Вышнепольский. — М., 2000. — 250 с. EDN: https://elibrary.ru/NLTLGJ
14. Глоговский В.В. Эквидистанты. Вопросы теории, приложений и методики преподавания начертательной геометрии [Текст] / В.В. Глоговский // Труды Рижской научно-методической конференции. — Рига: Изд-во РИИГВФ, 1960. — 422 с.
15. Глоговский В.В. Эквидистантные множества [Текст] / В.В. Глоговский // Научные записки Львовского политехнического института. — 1955. — Вып. 1. — Т. 30. С. 72–90.
16. Глоговский В.В. Применение эквидистант к решению задач [Текст] / В.В. Глоговский // Научные записки Львовского политехнического института. — 1956. Вып. 2. — Т. 38. — С. 72–90.
17. Гумен Н.С. Параболоиды четвертого порядка как геометрические места точек, равноудаленных от тора и прямой параллельной его оси [Текст] / Н.С. Гумен, О.В. Смеричко // Прикладная геометрия и инженерная графика. — 1991. — Вып. 51. — С. 46–52.
18. Гумен Н.С. Параболоиды четвертого порядка как геометрические места точек, равноудаленных от точки и кругового цилиндра [Текст] / Н.С. Гумен, М.Ф. Скорин, В.П. Кравчук // Прикладная геометрия и инженерная графика. — 1986. — Вып. 42. — С. 32–33.
19. Гумен Н.С. Конусы и цилиндры 2-го порядка как геометрические места точек, равноудаленных от точки и окружности [Текст] / Н.С. Гумен, Г.А. Козуб // Прикладная геометрия и инженерная графика. — 1987. Вып. 43. — С. 65–67.
20. Гумен Н.С. Геометрическое место точек, равноудаленных от сферы и прямой [Текст] / Н.С. Гумен, А.М. Мархелюк // Прикладная геометрия и инженерная графика. — 1983. — Вып. 35. — С. 130–133. DOI: https://doi.org/10.1002/star.19830350406
21. Гумен Н.С. К использованию метода геометрических мест при конструировании кривых линий и поверхностей [Текст] / Н.С. Гумен, Е.В. Сарнацкая // Геометрография. — 1977. — Вып. 1. — С. 58–66.
22. Гумен Н.С. О геометрических местах точек, пропорционально удаленных от двух прямых [Текст] / Н.С. Гумен, Е.В. Сарнацкая // Геометрография. — 1977. — Вып. 2. С. 43–51.
23. Гумен Н.С. О геометрических местах точек, расстояния которых от пары окружностей плоскости связанны определенной функциональной зависимостью [Текст] / Н.С. Гумен, Е.В. Сарнацкая // Геометрография. — 1977. Вып. 2. — С. 52–65.
24. Давыдкин М.А. Моделирование и исследование поверхностей, равноудаленных от прямой и цилиндрической поверхностей / М.А. Давыдкин, В.И. Вышнепольский // КОГРАФ-2022: сборник материалов 32-й Всероссийской научно-практической конференции по графическим информационным технологиям и системам, Нижний Новгород, 18–21 апреля 2022 года. — Нижний Новгород: Изд-во Нижегородского гос. технического ун-та им. Р.Е. Алексеева, 2022. — С. 108–115. — DOIhttps://doi.org/10.46960/kograph_2022_108
25. Димантов Е.А. Исследование некоторых геометрических мест [Текст] / Е.А. Димантов, А.А. Бурштейн // Труды ЛИСИ. — 1974. — Вып. 100. — С. 81–105.
26. Егиазарян К.Т. Исследование геометрических мест точек, равноотстоящих от двух заданных геометрических фигур [Текст] / К.Т. Егиазарян, В.И. Вышнепольский // Сборник материалов 31-й Всероссийской научно-практической конференции по графическим информационным технологиям и системам. — Нижний Новгород, 2021. — C. 118–123. — DOIhttps://doi.org/10.46960/43791586_2021_118 EDN: https://elibrary.ru/FGHTVT
27. Елисеев Н.А. Этюды по начертательной геометрии профессора Д.И. Каргина. Совершенствование подготовки учащихся и студентов в области графики, конструирования и стандартизации [Текст] / Н.А. Елисеев // Межвузовский научно-методический сборник. — Саратов: Изд-во СГТУ, 2004. — С. 56–58.
28. Иванов Г.С. Начертательная геометрия: — 3-е изд.[Текст] / Г.С. Иванов. — М.: Изд-во МГУЛ, 2012. — 340 с.
29. Иванов Г.С. Принцип двойственности — теоретическая база взаимосвязи синтетических и аналитических способов решения геометрических задач [Текст] / Г.С. Иванов, И.М. Дмитриева // Геометрия и графика. — 2016. Т. 4. — № 3. — С. 3–10. — DOI:https://doi.org/10.12737/21528 EDN: https://elibrary.ru/WMHYUJ
30. Иванов Г.С. Теоретические основы начертательной геометрии [Текст] / Г.С. Иванов. — М.: Машиностроение, 1998. — 458 с.
31. Кайгородцева Н.В. Поверхности в начертательной геометрии и логико-геометрическое мышление [Текст] / Н.В. Кайгородцева — Омск: Изд-во ОмГТУ, 2013. — 184 с.
32. Каргин Д.И. Этюды по начертательной геометрии. Геометрические места [Текст] / Д.И. Каргин. — ПФА РАН, р. 802, оп. 1, ед. хр. 148, 1939–1940 гг. 405 л.
33. Кривошапко С.Н. Энциклопедия аналитических поверхностей [Текст] / С.Н. Кривошапко, В.Н. Иванов. — М.: ЛИБРОКОМ, 2019. — 560 с.
34. Кривошапко С.Н. Аналитические поверхности в архитектуре зданий, конструкций и изделий: Монография [Текст] / С.Н. Кривошапко, И.А. Мамиева. — М.: ЛИБРОКОМ, 2012. — 328 с. EDN: https://elibrary.ru/QJZEGJ
35. Ляшков А.А. Методология геометрического и компьютерного моделирования формообразования технических поверхностей [Текст]: автореф. дис. … д-ра техн. наук: 05.01.01 / А.А. Ляшков. — Нижний Новгород, 2014. — 35 с. EDN: https://elibrary.ru/ZPFYMN
36. Наумович Н.В. Геометрические места в пространстве и задачи на построение [Текст] / Н.В. Наумович. — М.: Гос. учебно-педагогическое изд-во, 1962. — 152 с.
37. Обухова В.С. Поэтапное моделирование технических поверхностей [Текст] / В.С. Обухова. // Реферативная информация о законченных научно-исследовательских работах в вузах Украинской ССР: Прикладная геометрия и инженерная графика. — Вып. 1. — Киев: Вища школа, 1977. — С. 5–6.
38. Павлов В.Е. Дмитрий Иванович Каргин, 1880–1949 [Текст] / В.Е. Павлов, Б.Ф. Тарасов. — СПб.: Наука, 1998. — 272 с.
39. Пех Д.С. Геометрическое моделирование поверхностей, равноудаленных от двух цилиндрических поверхностей, в среде Wolfram Mathematica / Д.С. Пех, А.А. Сычева // КОГРАФ-2024: сборник материалов 34-й Всероссийской молодежной научно-практической конференции по графическим информационным технологиям и системам, Нижний Новгород, 15–17 апреля 2024 года. — Нижний Новгород: Изд-во Нижегородского гос. техн. ун-та им. Р.Е. Алексеева, 2024. С. 99–108.
40. Посвянский А.Д. Пятьдесят задач повышенной трудности [Текст] / А.Д. Посвянский. — Калинин: Изд-во КПИ, 1970. — 41 с.
41. Сальков Н.А. Циклида Дюпена и кривые второго порядка. Часть 1 / Н.А. Сальков // Геометрия и графика. 2016. — Т. 4. — № 2. — С. 19–28. — DOI:https://doi.org/10.12737/19829. EDN: https://elibrary.ru/WJEJNH
42. Сальков Н.А. Расширение вариантов формирования линейчатых поверхностей / Н.А. Сальков // Геометрия и графика. — 2024. — Т. 12. — № 1. — С. 3–11. — DOIhttps://doi.org/10.12737/2308-4898-2024-12-1-3-11 EDN: https://elibrary.ru/IRNBEQ
43. Сальков Н.А. Изучение геометрии как важнейший способ развития эвристического мышления / Н.А. Сальков // Геометрия и графика. — 2024. — Т. 12. — № 1. С. 22–31. — DOIhttps://doi.org/10.12737/2308-4898-2024-12-1-22-31 EDN: https://elibrary.ru/RDLBIM
44. Сальков Н.А. Классификация линейчатых поверхностей / Н.А. Сальков // Геометрия и графика. — 2024. — Т. 12. № 3. — С. 3–12. — DOIhttps://doi.org/10.12737/2308-4898-2024-12-33-12 DOI: https://doi.org/10.12737/2308-4898-2024-12-3-3-12; EDN: https://elibrary.ru/SVGSHK
45. Сальков Н.А. Определение расстояний между геометрическими фигурами интерактивным методом / Н.А. Сальков // Геометрия и графика. — 2024. — Т. 12. № 4. — С. 3-14. — DOIhttps://doi.org/10.12737/2308-4898-2024-12-43-14 DOI: https://doi.org/10.12737/2308-4898-2024-12-4-3-14; EDN: https://elibrary.ru/SDYIHZ
46. Серегин В.И. Междисциплинарные связи начертательной геометрии и смежных разделов высшей математики [Текст] / В.И. Серегин, Г.С. Иванов, И.М. Дмитриева, К.А. Муравьев // Геометрия и графика. — 2013. Т. 1. — № 3–4. — С. 8–12. — DOI:https://doi.org/10.12737/2124 EDN: https://elibrary.ru/RSYDCP
47. Серегин В.И. Научно-методические вопросы подготовки студентов к олимпиадам по начертательной геометрии [Текст] / В.И. Серегин, Г.С. Иванов, И.Ф. Боровиков // Геометрия и графика. — 2017. — Т. 5. — № 1. С. 73–81. — DOI:https://doi.org/10.12737/25126 EDN: https://elibrary.ru/YJKKYH
48. Сибирцев С.Ф. О геометрических местах точек [Текст] / С.Ф. Сибирцев // Известия Томского политехнического института им. С.М. Кирова. — 1966. — Т. 143. С. 57–69.
49. MathCurve.com: энциклопедия замечательных математических кривых и поверхностей: [сайт]. — 2017. — URL: https://mathcurve.com/surfaces.gb/whitney/whitney.shtml (дата обращения: 19.05.2025).
50. MathCurve.com: энциклопедия замечательных математических кривых и поверхностей: [сайт]. — 2018. URL: https://mathcurve.com/courbes3d.gb/viviani/viviani.shtml (дата обращения: 12.10.2025).
