сотрудник
Алгоритмизация решения задач геометрического моделирования тесно связана с комплексом прикладных исследований. В статье показаны преимущества автоматизированого подхода логического программирования в вопросах геометрического моделирования в сравнении со стандартными подходами. Исследование строится на систематизации проекционных моделей четырехмерного пространства класса однородных и равносвязных дискретно-непрерывных структур. Представлено обоснование актуальности разработки алгоритмов для создания систем автоматизированного проектирования геометрических форм с использованием программных средств, обеспечивающих графические и графо-аналитические решения. Обозначены варианты применения принципов логического программирования в вопросах решения геометрических задач. Приведены примеры решения задач на моделях четырехмерного пространства в трех плоских полях. Акцентируется внимание на решении подобных задач для пространств большей размерности с тестированием на примере решения многомерных аналогов задачи Аполлония. Рассмотрены другие проекционные модели многомерного проективного пространства. Установлено, что данный алгоритм решения проекционной задачи позволяет ускорить и автоматизировать построение проекционных моделей n-мерного пространства и повысить наглядность построения. Результаты исследования могут лечь в основу разработки новых интерфейсов взаимодействия с геометрическими структурами для решения задач проектирования поверхностей. Определены свойства и методы декларативного программирования в построении геометрических моделей. Определено программное решение для работы с геометрическими моделями с точки зрения автоматизации процесса построения, анализа наполнения алгоритма, поиска, визуализации результата, а также хранения геометрической информации. Представлены результаты генерации решения задачи Аполлония, а также образец декларативной программы для запуска в программной среде Симплекс (https://voloshinov.ru/simplex/), модуле «Логика».
геометрическое моделирование, многомерное пространство, Симплекс, задача Аполлония, язык логического программирования, Пролог, предикат
1. Бойков А.А. О кубе и проекциях подпространства [Текст] / А.А. Бойков, А.В. Селиверстов // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. — 2023. — Т. 33. — № 3. С. 402–415.
2. Вальков К.И. К объединению теоретических основ изобразительной геометрии и номографии [Текст] / К.И. Вальков // Вопросы вычислительной математики и геометрического моделирования. — Л.: Изд-во ЛИСИ, 1966. — С. 58–62.
3. Вальков К.И. Лекции по основам геометрического моделирования [Текст] / К.И. Вальков — Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1975. — С. 1–180
4. Вальков К.И. Моделирование и формализация [Текст] / К.И. Вальков — Л.: Изд-во ЛИСИ, 1967. — 85 с.
5. Вальков К.И. Операция проецирования как универсальный геометрический прием [Текст] / К.И. Вальков // Сборник трудов Вопросы прикладной математики и геометрического моделирования: Краткое содержание докладов к ХХХ научной конференции. — Л.: Изд-во ЛИСИ, 1972. — С. 55–58.
6. Волков В.Я. Многомерная исчислительная геометрия [Текст]: монография / В.Я. Волков, В.Ю. Юрков. Омск: Изд-во ОмГПУ, 2008. — 244 с.
7. Волошинов В.А. Алгоритм Паскаля в аппарате внутреннего моделирования [Текст] / В.А. Волошинов // Сб. науч. тр. Геометрическое моделирование и компьютерная графика. — СПб.: Изд-во СПбГТУ, 1992. С. 14–25.
8. Волошинов Д.В. Автоматизированное проектирование объектов и процессов с применением методов конструктивного геометрического моделирования [Текст] / Д.В. Волошинов // Сб. науч. тр. Науч.-техн. ведомости СПбГПУ. — 2008. — № 4-1. — С. 92–99.
9. Волошинов Д.В. Алгоритм пересечения плоскостей на проекционной модели четырехмерного пространства [Текст] / Д.В. Волошинов // Сб. науч. тр. Науч.-техн. ведомости СПбГПУ. — СПб.: Изд-во СПбГПУ, 2008. № 3. — С. 284–292.
10. Волошинов Д.В. Алгоритм решения задачи Аполлония на основе построения ортогональных окружностей [Текст] / Д.В. Волошинов // Материалы 26-й Международной конференции ГРАФИКОН'2016. — Нижний Новгород, 2016. — С. 284–288.
11. Волошинов Д.В. Геометрическое моделирование в системе Симплекс как средство создания программного интерфейса [Текст] / Д.В. Волошинов // Геометрическое моделирование и компьютерная графика. Сб. науч. тр. Труды СПбГТУ. — СПб.: Изд-во СПбГТУ, 1995. — № 454. — С. 36–39.
12. Волошинов Д.В. О перспективах развития геометрии и ее инструментария [Текст] / Д.В. Волошинов // Геометрия и графика. 2014. — Т. 2. — № 1. — С. 15–21. DOI:https://doi.org/10.12737/3844
13. Волошинов Д.В. Разработка алгоритмического комплекса для решения задач конструктивной геометрии [Текст] / Д.В. Волошинов, А.В. Соловьева // Актуальные проблемы инфотелекоммуникаций в науке и образовании (АПИНО 2020). — 2020. — С. 182–186.
14. Волошинов Д.В. Теория автоматизации проектирования объектов и процессов на основе методов конструктивного геометрического моделирования [Текст] / Д.В. Волошинов. — СПб., 2010. — 335 с.
15. Волошинов Д.В. Что случилось с задачей Аполлония? Часть первая // ВКонтакте [Электронный ресурс]. URL: https://vk.com/@-165442069-chto-sluchilos-szadachei-apolloniya-chast-pervaya?subtype=primary (дата обращения: 10.08.2025).
16. Гирш А.Г. Наглядная мнимая геометрия [Текст] / А.Г. Гирш. — М.: Маска, 2008. — 200 с.
17. Графский О.А. Графоаналитические исследования инволюции [Текст] / О.А. Графский, А.В. Усманов, А.А. Холодилов // Геометрия и графика. — 2017. Т. 5. — № 1. — С. 3–11. — DOI:https://doi.org/10.12737/25118
18. Джапаридзе И.С. О роли параметрического исчисления в исследованиях по прикладной геометрии [Текст] / И.С. Джапаридзе // Аналитические и графические методы рационального конструирования поверхности рабочих органов почвообрабатывающих машин. Киев, 1974. — С. 41–46.
19. Иванов Г.С. Теоретические основы начертательной геометрии [Текст] / Г.С. Иванов — М.: Машиностроение, 1998. — 158 с.
20. Камалов А. Конструирование линейчатых поверхностей каркасно-параметрическим методом и их применение [Текст]: автореф. дис. … канд. техн. наук / А. Камалов. — Самарканд, 1980. — 16 с.
21. Кокорин М.С. Проектные задачи в курсе начертательной геометрии [Текст] / М.С. Кокорин, Т.В. Маркова, Т.А. Никитина // Геометрия и графика. — 2024. Т. 12. — № 3. — С. 32–45. — DOI:https://doi.org/10.12737/2308-48982024-12-3-32-45
22. Котельников К. Обобщение задачи Аполлония Пергамского [Текст] / К. Котельников // Вестник опытной физики и элементарной математики. — 1890. — № 107. С. 206–210.
23. Куликов С.М. Введение в начертательную геометрию многомерных пространств [Текст] / С.М. Куликов. М.: Машиностроение, 1970. — 84 с.
24. Лодочников В.H. Простейшие способы изображения многокомпонентных систем [Текст] / В.Н. Лодочников // Известия Института физико-химического анализа. — 1924. — Т. 2. — Вып. 2. — С. 255–351.
25. Маркова Т.В. Курсовая работа по инженерной графике как инструмент формирования конструкторского мышления [Текст] / Т.В. Маркова, А.Л. Бочков, М.С. Кокорин, Т.А. Никитина // Геометрия и графика. — 2023. — Т. 12. — № 3. — С. 26–38. — DOIhttps://doi.org/10.12737/2308-4898-2023-11-3-26-38
26. Матвеев С.Н. О некоторых методических возможностях применения компьютерной системы моделирования «Живая геометрия» [Текст] / С.Н. Матвеев, Г.Р. Антропова // Проблемы современного педагогического образования. — 2018. — № 61-1. — С. 174–177.
27. Морозов Е.А. Обобщённая задача Аполлония [Текст] / Е.А. Морозов // Редакционная коллегия. — 2022. С. 80.
28. Назарова Ж.А. Геометро-графическая подготовка студентов технических специальностей в современных условиях [Текст] / Ж.А. Назарова // Геометрия и графика. — 2024. — Т. 12. — № 1. — С. 41–49. — DOI:https://doi.org/10.12737/2308-4898-2024-12-1-41-49
29. Никитина Т.А. Классификация многогранников в курсе «Инженерная графика» для студентов технических и творческих специальностей [Текст] / Т.А. Никитина, М.С. Кокорин, Е.В. Князева // Геометрия и графика. — 2025. — Т. 13. — № 2. — С. 16–29. — DOI:https://doi.org/10.12737/2308-4898-2025-13-2-16-29
30. Пеклич В.А. Высшая начертательная геометрия [Текст] / В.А. Пеклич. — М.: АСВ, 2000. — 344 c.
31. Пеклич В.А. Мнимая начертательная геометрия [Текст]: учеб. пособие / В.А. Пеклич. — М.: АСВ, 2007. — 104 c.
32. Пеклич В.А. Начертательная геометрия [Текст]: учебник для вузов / В.А. Пеклич. — М.: АСВ, 1999. — 248 c.
33. Подгорный А.Л. Геометрическое моделирование пространственных конструкций [Текст]: автореф. дис. … д-ра техн. наук / А.Л. Подгорный. — М., 1975. — 34 c.
34. Радищев В.П. Методы изображения шестикомпонентных и более сложных систем в проекциях правильных многомерных фигур [Текст] / В.П. Радищев // Известия Сектора физико-химического анализа. — 1941. Т. 14. — С. 153–173.
35. Сальков Н.А. Параметрическая геометрия в геометрическом моделировании [Текст] / Н.А. Сальков // Геометрия и графика. — 2014. — Т. 2. — №. 3. — С. 7–13. DOI: 1012734/6519
36. Сальков Н.А. Изучение геометрии как важнейший способ развития эвристического мышления [Текст] / Н.А. Сальков // Геометрия и графика. — 2024. — № 1. С. 22–31. — DOI:https://doi.org/10.12737/2308-4898-2024-12-1-22-31
37. Соколова Л.С. Многомерное пространство и наглядная геометрия в учебной программе по геометрической подготовке для бакалавриата [Текст] / Л.С. Соколова // Геометрия и графика. — 2015. — Т. 3. — № 1. — C. 40–46. — DOI:https://doi.org/10.12737/10457
38. Филиппов П.В. Начертательная геометрия многомерного пространства и ее приложение / П.В. Филиппов Л.: Изд-во ЛГУ, 1979. — 280 с.
39. Фролов С.А. Методы преобразования ортогональных проекций [Текст] / С.А. Фролов. — М.: Машиностроение, 1970. — 152 с.
40. Щур С.Ю. Динамическое редактирование геометрических образов с использованием логических инструментов в программной среде Симплекс [Текст] / С.Ю. Щур // GraphiCon 2024: Материалы 34-й Международной конференции по компьютерной графике и машинному зрению. — Омск: Изд-во Омского гос. техн. университета, 2024. — С. 837–842. — DOI:https://doi.org/10.25206/978-58149-3873-2-2024-837-842
41. Ярошевич О.В. Резервы совершенствования геометро-графической подготовки современного инженера [Текст] / О.В. Ярошевич, Н.В. Зеленовская // Геометрия и графика. — 2014. — Т. 2. — № 2. — С. 37–42. DOI:https://doi.org/10.12737/5590
42. Bratko I. Prolog programming for artificial intelligence [Текст] / I. Bratko // Pearson education, 2001
43. Brüderlin B. Using Prolog for constructing geometric objects defined by constraints [Текст] / B. Brüderlin // European Conference on Computer Algebra. Berlin, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg, 1985. Pp. 448–459.
44. Coelho H. Automated reasoning in geometry theorem proving with Prolog [Текст] / H. Coelho, L.M. Pereira //Journal of Automated Reasoning. 1986. V. 2. Pp. 329–390.
45. Fisher J. Skolem machines and geometric logic [Текст] / J. Fisher, M. Bezem // International Colloquium on Theoretical Aspects of Computing. Berlin, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg, 2007. Pp. 201–215.
46. Font L. Automating the generation of high school geometry proofs using prolog in an educational context [Текст] / L. Font, S. Cyr, P.R. Richard, M. Gagnon // arXiv preprint arXiv:2002.12551. 2020.
47. Franklin W.R. Experiences with using Prolog for geometry [Текст] / W.R. Franklin, M. Nichols, S. Sammadar, P. Wu // Graphics Inter. 1986.
48. Franklin W.R. Prolog and geometry projects [Текст] / W.R. Franklin, PYF. Wu, S. Samaddar, M. Nichols // IEEE computer graphics and applications. 1986. V. 6. I. 11. Pp. 46–55.
49. Lamma E. An extended Warren abstract machine for the execution of structured logic programs [Текст] / E. Lamma, P. Mello, A. Natali // The Journal of Logic Programming. 1992. V. 14. I. 3-4. Pp. 187–222.
50. Marinković V. Prolog in automated reasoning in geometry [Текст] / V. Marinković // Prolog: The Next 50 Years. Cham: Springer Nature Switzerland, 2023. Pp. 334–345.
51. Replogle J.A. Extracting isovolumes from three-dimensional torso geometry using PROLOG [Текст] / J.A. Replogle, D.J. Russomanno, A.L. De Jongh, F.J. Claydon // IEEE transactions on information technology in biomedicine. 1998. V. 2. I. 1. P. 10–19.
52. Sutherland I.E. Sketch pad a man-machine graphical communication system [Текст] / I.E. Sutherland // Proceedings of the SHARE design automation workshop. 1964. Pp. 6.329–6.346
