Тульская область, Россия
Нахождение наибольших и наименьших значений функции, то есть задача оптимизации, имеет не только практическое значение, но и важнейшее значение для развития мышления учащихся. У ученика вырабатывается важнейший навык в постановке такого рода задач, их анализа и методов решения. В статье разбирается вопрос о том, как именно в школьных учебниках раскрывается эта очень важная тема. Рассматриваются в основном не только действующие учебники по алгебре и анализу, но и геометрии. Проводится сравнительный анализ этих учебников с тем, что учитель по своему разумению мог выбрать наиболее подходящий из них. Для удобства читателя в статье приведены почти все задачи, сформулированные в разбираемых учебниках. Кроме школьных учебников читателю рекомендуются книги [1] и [2], в которых разбираемая тема излагается в наиболее общем виде.
максимум, минимум, безусловный и условный экстремумы, оптимизационная задача, целевая функция, множество.
В школе изучают функции только одной переменной, заданные на числовой прямой R, поэтому применительно к этому под оптимизационными (или экстремальными) задачами понимают те, в которых задана некоторая функция 
, которую называют целевой функцией, «ее значения характеризуют степень достижения цели, во имя которой поставлена или решается задача» [1, с. 6], и некоторое подмножество 
(называемое множеством допустимых решений), «среди элементов которого осуществляется поиск». Требуется найти точку 
, в которой достигается наибольшее или наименьшее значения, или установить, что таких точек нет.
Если при этом 
, то ищется безусловный экстремум, а если и задается с помощью равенств и (или) неравенств, то ищется условный экстремум. Сокращенно это записывается так:
В школьном курсе Х может быть прямой, лучом, отрезком, полуоткрытым отрезком или открытым отрезком.
Оптимизационные задачи в школьных учебниках алгебры и анализа 10-11 классов
Учебник под редакцией А. Н. Колмогорова
Данный учебник [3] написан не только под руководством великого математика, но и человека, который увлеченно преподавал долгое время в школе. Оптимизационные задачи разбираются в разделе, специально для этого написанного: «Наибольшее и наименьшее значение функции». После необходимых определений дается очень полезная для общего развития теорема Вейерштрасса, с помощью которой обосновывается следующее правило поиска экстремальных значений:
Этот алгоритм шаг за шагом реализуется на примере решения двух задач. Цель, с которой в учебнике рассматривается эта тема, сформулирована так [3, с. 156]:
Для решения оптимизационных задач в учебнике приводится очень полезная схема (алгоритм):
Затем идет серия хорошо подобранных задач из алгебры, геометрии, физики. Вопросы оптимизации со всех сторон обсуждаются в хорошем историческом обзоре. Даже после такого подробного изучения оптимизационных задач о них речь идет и при изучении последующих тем. Например, в теме «Интеграл» рассматриваются задачи на нахождение наименьшего и наибольшего значений определенных интегралов.
Учебник Мордковича А. Г.
Тема оптимизации начинается в учебнике [4] в специально написанном разделе «Применение производной для нахождения наибольших и наименьших значений величин» на с. 192. Теорема Вейерштрасса, как и в учебнике [3], тоже формулируется, но почему-то без указания фамилии Вейерштрасса. В отличие от учебника [3], при формулировке алгоритма нахождения экстремальных значений различают понятия стационарной и критической точек, которые в [3] относятся к критическим.
Далее на нескольких примерах показывается, как решать задачи, применяя этот алгоритм по шагам.
Специально рассматривается тема оптимизации на незамкнутых отрезках для случая единственной стационарной или критической точки с разбором задач.
Так же, как и в книге [3], рассматривается цель, с которой изучаются задачи оптимизации: а именно, моделирование практических задач, но более подробно, с формулировкой алгоритма составления и изучения модели с пошаговым разбором нескольких примеров.
При изучении последующих тем время от времени решаются и задачи на оптимизацию.
Очень полезна тема функционально-графического метода решения уравнений с применением методов оптимизации (с. 358):
В целом, учебник [4] производит впечатление очень подробного и многословного пересказа учебника [3], что, возможно, полезно тем учителям, которым кратко и изящно написанный текст [3] требуется дополнительно разъяснить.
Учебник Алимова Ш. А. и др.
В книге [5] производная рассматривается только после предварительного введения и изучения элементарных функций, тема оптимизации рассматривается в главе IX, §52 «Наибольшее и наименьшее значения функции».
Теорема Вейерштрасса вообще не формулируется, а сразу дается «рецепт» нахождения наибольшего и наименьшего значений функции без всякого обоснования:
Для нахождения наибольшего или наименьшего значения функции на отрезке [a; b] нужно:
1) найти значения функции на концах отрезка, т.е. числа f(a) и f(b);
2) найти ее значения в тех критических точках, которые принадлежат интервалу (a; b);
3) из найденных значений выбрать наибольшее и наименьшее.
Затем пошагово разбираются 4 задачи для двух функций, из теории чисел и из геометрии. Мотивировок, формулировки цели нет. Далее в теме «Интеграл» оптимизационные задачи не появляются вовсе. В этом смысле книга существенно уступает книгам [3] и [4].
Более сложные задачи оптимизации имеются в конце учебника для внеклассного решения.
Оптимизационные задачи в школьных учебниках геометрии 9-х, 10-х и 11-х классов
Учебник под редакцией Атанасяна Л. С.
В книге [6] оптимизационные задачи как таковые не вводятся.
В главе 4 среди задач на построение приведена классическая задача, которую должен знать любой школьник:
Эта задача еще раз дублируется под номером 1175.
Среди дополнительных задач к теме «Окружность» приведена задача:
К этой задаче имеется указание: Сначала доказать, что наименьшей будет хорда перпендикулярная к диаметру, проходящему через данную точку.
В конце учебника среди задач повышенной сложности имеется такая:
Задача относится к темам: «развертка куба» и «кратчайшая линия на плоскости».
На наибольшее значение никаких стоящих задач вообще нет, если не считать «псевдозадачу» 1091…
Таким образом, в курсе 9-го класса в указанном учебнике вообще не обсуждаются оптимизационные задачи, вышеуказанные задачи приведены без всякой мотивации.
В учебнике геометрии [7] для 10–11 классов тема оптимизации вообще никак не отражена.
Учебник Киселева А.П.
Как мы видели, в учебнике геометрии под ред. Атанасяна задача оптимизации как таковая вообще не ставится, то же самое можно утверждать и о старых учебниках геометрии, популярных в прошлом. Есть просто некоторый набор задач на эту тему. В учебнике А.П. Киселева [10] практически все оптимизационные задачи появляются как задачи на построение.
стр. 53 
стр. 73 
стр. 78
стр. 98
стр. 240
1. [9, задача 5.11(3)]. Сумма n положительных чисел равна a. Докажите, что произведение этих чисел максимально, если каждое из них равно a/n.
Доказательство.
Известно неравенство Коши о среднем арифметическом и среднем геометрическом для неотрицательных чисел:
По условию 
a при достижении равенства правая часть, то есть произведение чисел, достигает максимума.
2. [9, задача 5.11(18)]. Дождевая капля, начальная масса которой равна m граммов, а начальная скорость равна нулю, падает под действием силы тяжести, равномерно испаряясь так, что масса уменьшается пропорционально времени (коэффициент пропорциональности равен k г/с). Через сколько секунд после начала падения кинетическая энергия капли будет наибольшей?
Решение
В момент времени t масса капли равна m – kt, скорость равна vt, тогда кинетическая энергия равна
Ставим задачу
Приравняв производную от K нулю, получаем
Производная меняет знак при переходе через эту точку с + на -, здесь точка максимума. Так как на луче (0; +∞) она единственная, то в этой точке достигается не только максимум, но и наибольшее значение, которая равна 
дина.
3. [9, задача 5.11(19)]. Из пункта А, находящегося в лесу в 5 км от прямолинейной дороги, пешеходу нужно попасть в пункт В, расположенный на этой дороге в 13 км от пункта А. По дороге пешеход может двигаться с максимальной скоростью 5 км/ч, а по лесу – с максимальной скоростью 3 км/ч. За какое наименьшее время пешеход сможет добраться из пункта А в пункт В?
Решение
По теореме Пифагора OB = 12.
Надо решить задачу на условную оптимизацию 
В координатах она имеет вид 
Приравняем производную нулю:
Производная меняет знак при переходе через эту точку с – на +, здесь точка минимума. Так как на интервале (0; 12) она единственная, то в этой точке достигается не только минимум, но и наименьшее значение. Подсчитаем затраченное время: 
4. [ЕГЭ 2006]. Пусть цена товара равна р рублей, а количество n проданного товара зависит от цены и выражается равенством n = 100 – p. При какой цене будет максимальной выручка?
Решение
Выручка будет равна y = (100 – p)p, то есть 
Зависимость квадратичная, при старшей степени коэффициент отрицательный, поэтому максимум достигается в вершине параболы. Ее абсцисса равна 
При такой цене товара будет продано n = 100 – 50 = 50 единиц, а выручка составит y = 50·50 = 2500 руб.
5. [4, с. 359].
6. [3, стр. 339]
Решение
В момент времени t автомобиль будет в точке Q(200 – 80t, 0), а поезд – в точке 
Квадрат расстояния равен 
Получилась квадратичная зависимость, достигающая наименьшего значения в вершине с абсциссой
Подставляя в квадрат расстояния и извлекая корень, получаем примерно 76.25 км.
7. [11]
8. [11]
9. [11]
10. [11]
1. Пантелеев Ф.В., Летова Т.А. Методы оптимизации в примерах и задачах:Учеб. пособие.-М.: Высш. шк., 2002.
2. Тихомиров В.М.. Рассказы о максимумах и минимумах. - М.: Наука, 1986 - (Б-чка «Квант». Вып. 56).
3. Алгебра и начала математического анализа: учеб. для 10-¬11 кл. общеобразоват. учреждений / [А.Н. Колмо¬горов, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницын и др.]; под ред. А.Н. Колмоrорова. 17- ¬e изд. ¬ М. : Просвещение, 2008.
4. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый уровень) / А. Г. Мордкович. -10-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2009.
5. Алrебра и начала анализа: учеб. для 10-¬11 кл. общеобразоват. учреждений / [Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, Ю.В. Сидоров и др.]. 15-¬e изд. ¬ М. : Просвещение, 2007.
6. Геометрия. 7-9 классы : учеб. для общеобразоват. учреждений / [Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др.]. -20-е изд. - М. : Просвещение, 2010.
7. Геометрия. 10-11 классы : учеб. для общеобразоват. учреждений / [Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др.]. -18-е изд. - М. : Просвещение, 2009.
8. Геометрия для 10-11 классов : Учеб. пособие учащихся шк. и классов с углубл. изуч.математики/ А. Д. Александров, А. Л. Вернер, В. И. Рыжик. -3-е изд., перераб.- М. : Просвещение, 1992.
9. М.И.Башмаков, Беккер Б.М., Гольховой В.М. Задачи по математике. Алгебра и анализ /Под ред. Д.К.Фаддеева. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1982 - (Б-чка «Квант». Вып.22).
10. Киселев А. П. Геометрия / Под ред. Н.А. Глаголева. - М.: Физматлит, 2004.
11. Ляшко И.И. Справочное пособие по высшей математике. Т.1: Математический анализ: введение в анализ, производная, интеграл.-М.: Едиториал УРСС, 2001.
