Россия
Приведено геометрическое доказательство теоремы, утверждающей, что при сечении плоскостью поверхности вращения второго порядка (квадрики вращения, КВ) образуются коники: эллипс, гипербола или парабола (типы коник). Теорема дополняет исторически известную теорему Данделена, дающую геометрическое доказательство лишь для кругового конуса, и распространяет доказательство на все КВ: эллипсоид, гиперболоид, параболоид и цилиндр. Поэтому рассмотренная теорема названа обобщенной теоремой Данделена (ОТД). Доказательство ОТД построено на малоизвестном обобщенном определении (ОДО) коники. Это ОДО определяет конику как линию, являющуюся геометрическим местом точек (ГМТ) P, для которых отношение q = PT / PD = const, где PT – тангенциальное расстояние от точки до окружности, вписанной в линию, а PD – расстояние от точки до прямой, проходящей через точки касания окружности и линии. Приведено доказательство ОДО для всех типов коник как их необходимого и достаточного условия. Доказательство заключается в построении кругового конуса и вписанной в него сферы, которая касается линии сечения в двух точках. Для этой конструкции находится положение секущей плоскости, дающей в сечении заданную конику. На основе ОДО выполнено доказательство ОТД для всех КВ при произвольном положении секущей плоскости. Для доказательства в квадрику помещают касательную сферу. Вводят вспомогательную секущую плоскость, проходящую через ось квадрики. Доказывают, что в сечении осевой плоскостью выполняется ОДО как необходимое условие коники. Устанавливают взаимосвязь осевого и заданного сечений. Это позволяет сделать вывод, что в заданном сечении выполняется ОДО как достаточное условие коники. Приведены наглядные стереометрические построения, необходимые для доказательства. Рассмотрена реализация построений 3D-компьютерными методами, показаны примеры построений в пакете AutoCAD. Часть построений выполнена с применением 2D-параметризации. С учетом аффинных преобразований показано приложение ОТД ко всем эллиптическим квадрикам. Работа предназначена для включения ОТД в новый учебный курс теоретических основ 3D-инженерной компьютерной графики в составе геометро-графической подготовки студентов.
теорема Данделена, конструкция Данделена, сферы или шары Данделена, конические сечения, квадрики, поверхности второго порядка, степень точки, параметризация, AutoCAD.
Введение
Конические сечения, их построение и исследование являются разделом учебного курса начертательной геометрии (НГ) [6; 9; 13; 23]. Основу этого раздела составляет теорема Данделена, доказывающая возникновение кривых второго порядка — коник:
эллипса, гиперболы, параболы — при сечении прямого кругового конуса плоскостью.
1. Адамар Ж. Элементарная геометрия. Ч. 1. Планиметрия [Текст] / Ж. Адамар. - М.: Учпедгиз, 1948. - 608 с.
2. Адамар Ж. Элементарная геометрия. Ч. 2. Стереометрия [Текст] / Ж. Адамар. - М.: Учпедгиз, 1951. - 760 с.
3. Акопян А.В. Геометрические свойства кривых второго порядка [Текст] / А.В. Акопян, А.А. Заславский. - М.: МЦНМО, 2007. - 136 с.
4. Гильберт Д. Наглядная геометрия [Текст] / Д. Гильберт, С. Кон-Фоссен. - М.: Наука, 1981. - 344 с.
5. Гирш А.Г. Начала комплексной геометрии. Избранные задачи конструктивной геометрии с решениями. Ч. II - 3D [Текст] / А.Г. Гирш. - Кассель, 2013. - 100 с.
6. Гордон В.О. Курс начертательной геометрии [Текст] / В.О. Гордон, М.А. Семенцов-Огиевский. - М.: Высшая школа, 2008. - 270 с.
7. Инженерная 3D-компьютерная графика [Текст]: учебник и практикум для академического бакалавриата / А.Л. Хейфец и др.; под ред. А.Л. Хейфеца. - 3-е изд., пер. и доп. - М.: Юрайт, 2015. - 602 с.
8. Короткий В.А. Двойное прикосновение в пучке поверхностей второго порядка [Текст] / В. А. Короткий // Геометрия и графика. - 2014. - Т. 2. - № 1. - C. 9-14. - DOI:https://doi.org/10.12737/3843.
9. Крылов Н.Н. Начертательная геометрия [Текст]: учебник для вузов / Н.Н. Крылов и др. - М.: Высшая школа, 2010. - 224 c.
10. Логиновский А.Н. Решение задач на основе параметризации в пакете AutoCAD [Текст] / А. Н., Логиновский, А.Л. Хейфец // Геометрия и графика. - 2013. - Т. 1. - № 2. - C. 58-62. - DOI:https://doi.org/10.12737/793.
11. Мусхелишвили Н.И. Курс аналитической геометрии [Текст] / Н.И. Мусхелишвили. - М.: Высшая школа, 1967. - 656 с.
12. Нилов Ф.К. Обобщенное определение коник. Лекция. 2015 г. [Электронный ресурс] / Ф.К. Нилов. - URL: https://www.youtube.com/watch?v=KYobKNvp1gI
13. Пеклич В.А. Начертательная геометрия [Текст] / В.А. Пеклич. - М.: АСВ, 2007. - 272 c.
14. Пойа Д. Математика и правдоподобные рассуждения [Текст] / Д. Пойа. - М.: Наука, 1975. - 464 с.
15. Постников М.М. Аналитическая геометрия [Текст] / М.М. Постников. - М.: Наука, 1973. - 751 с.
16. Хейфец А.Л. Алгоритмы моделирования коник в пакете AutoCAD [Текст] / А.Л. Хейфец // Совершенствование подготовки учащихся и студентов в области графики, конструирования и стандартизации. Межвузовский научно-методический сборник. - Саратов: Изд-во СГТУ, 2013. - С. 34-39.
17. Хейфец А.Л. Геометрическая точность компьютерных алгоритмов конструктивных задач [Электронный ресурс] / А.Л. Хейфец // Материалы VI Международной научно- практической интернет конференции, Пермь, февраль- март 2016 г. - Пермский национальный исследовательский политехнический университет (Пермь). - Вып. 3. 2016. - С. 367-387. - URL: http://elibrary.ru/item. asp?id=27220185; http://dgng.pstu.ru/conf2016/papers/74
18. Хейфец А.Л. Начертательная геометрия как «бег в мешках» [Электронный ресурс] / А.Л. Хейфец // «Проблемы качества графической подготовки студентов в техническом вузе». Материалы V Международной научно-практической интернет-конференции. КГП 2015. - Пермь: Изд-во ПГТУ, 2015. - С. 292-325. - URL: http://dgng.pstu.ru/conf2015/papers/72; http://dgng.pstu.ru/media/files/%D0%A1%D0%B1%D0%BE%D1%80% D0%BD%D0%B8%D0%BA_%D0%9A%D0%93%D0% 9F-2015.pdf/
19. Хейфец А.Л. Параметризация как метод построения сфер Данделена для произвольных квадрик вращения. IV Международная интернет-конференция «Проблемы качества графической подготовки студентов в техническом вузе: традиции и инновации» КГП-2014. Февраль-март 2014 г. [Электронный ресурс] / А.Л. Хейфец, В.Н. Васильева. - URL: http://dgng.pstu.ru/conf2014/ papers/98/
20. Хейфец А.Л. Реализация обобщенной теоремы Данделена для произвольных квадрик вращения в AutoCAD [Текст] / А.Л. Хейфец, В.Н. Васильева // Геометрия и графика. - 2014. - Т. 2. - № 2. - C. 9-14. - DOI:https://doi.org/10.12737/5584.
21. Хейфец А.Л. Сравнение методов начертательной геометрии и 3D компьютерного геометрического моделирования по точности, сложности и эффективности [Текст] / А.Л. Хейфец // Вестник Южно-Уральского государственного университета. Серия «Строительство и архитектура». - 2015. - Т. 15. - № 4. - С. 49-63. - URL: https://vestnik.susu.ru/building/article/view/4335/
22. Хейфец А.Л. 3D-модели и алгоритмы компьютерной параметризации при решении задач конструктивной геометрии (на некоторых исторических примерах) [Текст] / А.Л. Хейфец // Вестник Южно-Уральского государственного университета. Серия «Компьютерные технологии, управление, радиоэлектроника». - 2016. - Вып. 16. - № 2. - С. 24-42. - DOI: http://dx.doi. org/10.14529/ctcr160203. - URL: https://vestnik.susu.ru/ ctcr/article/view/4909/
23. Четверухин Н.Ф. Начертательная геометрия [Текст] / Н.Ф. Четверухин и др. - М.: Высшая школа, 1963. - 420 с.
24. Четверухин Н.Ф. Проективная геометрия [Текст] / Н.Ф. Четверухин. - М.: Учпедгиз, 1961. - 360 с.
25. Шаль М. Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов: Т. 2: Примечание IV. О способе построения фокусов и доказательства их свойств на косом конусе. [Текст] - М.: Моск. мат. о-во, 1883. - 748 c.
26. Dandelin G. Mémoire sur l’hyperboloïde de révolution, et sur les hexagones de Pascal et de M. Brianchon // Nouveaux mémoires de l’Académie Royale des Sciences et Belles-Lettres de Bruxelles, V. III., 1826 (pp. 3-16). Hyperboloids of revolution and the hexagons of Pascal and Brianchon. English translation. URL: http://www.math.ubc.ca/~cass/dandelin.pdf/
27. Apostol T., Mnatsakanian M. New descriptions of conics via twisted cylinders, focal disks, and directors. Amer. math. monthly, 115(9): 795-812, 2008. URL: http://www.mamikon. com/USArticles/NewConics.pdf/
28. Nilov F.K. A generalization of the Dandelin theorem // Journal of Classical Geometry, 2013, V. 2, pp. 57-65. - URL: http://jcgeometry.org/Articles/Volume2/JCG2013V2 pp57-65.pdf/
