г. Москва и Московская область, Россия
г. Москва и Московская область, Россия
ГРНТИ 67.53 Инженерное обеспечение объектов строительства
ББК 38 Строительство
В современном строительстве все более широкое применение получают висячие систе-мы. Примерами таких систем могут служить висячие мосты, газо- и нефтепроводы, ка-натные дороги, покрытия промышленных и гражданских объектов. Отличительной особен-ностью работы приведенных систем является то, что возникающие в их конструктивных элементах усилия, носят преимущественно характер растяжения. Таким образом, актуаль-ными становятся вопросы, связанные с расчетом элементов, у которых в качестве расчет-ной схемы может выступать нить. Расчетные схемы основных элементов висячих систем могут быть представлены, как в виде жестких нитей, так и нитей, обладающих упругими свойствами. Многие задачи рас-чета пологих нитей уже решены, чего нельзя сказать о нитях с большой стрелой провеса, а ведь во многих случаях введение упрощений, связанных с пологостью, недопустимо. Анали-тический расчет упругих непологих нитей представляет собой весьма сложную задачу вследствие геометрической нелинейности системы, но современный уровень развития вы-числительной техники дает возможность применять для ее решения численные методы.
алгоритм расчёта, упругая непологая нить, изгибная жесткость, вариационный метод, ме-тод последовательных нагружений, линейная матрица жесткости.
Введение. Несмотря на разнообразие представленных в литературе методик для расчета гибких нитей они обычно не связаны между собой и используются для решения частных задач. Например, в работе [1] гибкая нить при расчете на сосредоточенные силы моделируется шарнирной цепью, состоящей из элементов с различными геометрическими параметрами, а в работе [2] для решения дифференциального уравнения равновесия непологой нерастяжимой нити используется обобщенный метод конечных разностей. В работах [3], [4] и [5] для расчета гибкой непологой нити применяется метод конечного элемента.
Как известно, любая гибкая нить в той или иной мере обладает изгибной жесткостью. Например, при расчете трубопроводных переходов в виде провисающих нитей, в которых сами трубы являются несущими элементами, в качестве расчетной модели нужно рассматривать нить конечной жесткости, то есть учитывать деформацию изгиба. Некоторые вопросы статического расчета пологих нитей с учетом изгибной жесткости уже решены и достаточно подробно изложены, например, в работе [6], [7] и [8], чего нельзя сказать о нитях с большой стрелой провеса.
В статье представлен алгоритм расчета конструктивного элемента в виде провисающей нити на действие вертикальных и горизонтальных сосредоточенных и распределенных сил. В качестве расчетной схемы такого элемента может рассматриваться упругая непологая нить при расчете которой учитывается изгибная жесткость. Также, как и в работах [4] и [5], для решения поставленной задачи была использована вариационная версия метода конечного элемента [9], детально разработанная в [10]. Помимо вариационной версии метода конечного элемента, алгоритмом расчета предусматривается использование метода последовательных нагружений, что позволяет учитывать, только линейные составляющие в выражениях для продольной деформаций и кривизны.
Методология. Расчёт упругой нити с учетом изгибной жесткости можно разделить на два этапа. Обычно, на первом этапе проводится расчёт на действие собственного веса, а последующие этапы предусматривают расчет на усилия, вызванные дополнительной нагрузкой. Как известно нити делятся на работающие с изгибом и без изгиба от действия собственного веса. Примером первых являются сборно-монолитные железобетонные цилиндрические оболочки, а газо-и нефтепроводные переходы можно рассматривать как нити, работающие с изгибом, вызванным действием собственного веса. Для абсолютно гибкой нити решение этой задачи представлено в работе [11], а для нити работа, которой предусматривает учет изгибной жесткости в [12].
На втором этапе нить рассчитывается на действие дополнительной вертикальной и горизонтальной распределенной нагрузки, а также вертикальных и горизонтальных сосредоточенных сил. Сохранение в выражениях для осевой деформации и кривизны только линейных составляющих на каждом шаге нагружения в конечном итоге приводит к линейной матрице жесткости, которая затем пересчитывается в соответствии с геометрическими и физическими характеристиками, соответствующими ее новому очертанию.
На рис. 1 представлено начальное положение нити и два последовательных очертания и . Для каждого очертания имеются криволинейные координаты связанные с глобальной системой координат посредством – направляющих косинусов для дуги по отношению к координатным направлениям .
Рис. 1. Расчетные этапы положения нити
Основная часть. В соответствии с [10] основные вариационные уравнения при переходе от состояния к состоянию можно представить в виде:
. (1)
Здесь
(2)
(3)
Здесь и - продольные усилия, а и – изгибающие моменты для очертаний и , соответственно, – возможные перемещения относительно осей , – компоненты приращения распределённой нагрузки, а – приращение сосредоточенных сил при переходе от очертания к очертанию .
Изменение физических и геометрических величин при переходе от очертания к и сохранении, только линейных составляющих можно представить в следующем виде:
, , (4)
, , (5а)
, (5б)
. (6)
Здесь - продольная деформация, – изменение кривизны, – модуль упругости, – площадь поперечного сечения, – момент инерции - действительные перемещения при переходе от очертания к .
Подставив (5) и (6) в (2), опустив индекс « » и при этом сохраняя величины до второго порядка малости включительно, представим полученное выражение в тензорной ферме:
, (7)
Здесь
; , (8)
; ;
,
, , , ,
; . (9)
Для построения решения вариационного уравнения нить разбивается на N криволинейных элементов длиной , каждый из которых ограничивается узловыми точками и . Номер элемента определяется номером правого узла.
В представленном ниже решении действительные и возможные перемещения, а также их первые производные непрерывны во всех узловых точках, а остальные величины непрерывны в пределах каждого элемента, но могут иметь скачки на его границах. Сосредоточенные силы располагаются только в узловых точках граничащих элементов.
В рассматриваемой задаче перемещения в пределах элемента аппроксимируются кубической параболой, и выражаются через значения перемещений и их первых производных на границах элемента. Вектор обобщенных перемещений для элемента имеет следующий вид:
. (10)
Необходимые для дальнейших расчетов значения функции и ее производных в середине элемента, а также значения вторых производных на его границах определяются следующими выражениями:
,
; (11a)
, ,
. (11б)
Проинтегрировав с помощью метода Симпсона выражение (7) в пределах элемента с учетом (11а) и (11б), представим его в следующем виде:
(12)
Здесь – вектор возможных перемещений для элемента e, - вектор действительных перемещений для элемента, имеющий такую же структуру. – симметричная относительно главной диагонали матрица жёсткости для элемента порядка 8х8, состоящая из суммы следующих матриц:
. (11)
Структура матрицы имеет следующий вид:
, (14)
где
и . (15)
Элементы этих матриц определяются следующими зависимостями:
; ; ; ;
; ; . (16)
Верхние индексы и указывают на значение этой функции в узле слева и справа, а ˗ ордината функции в середине элемента.
Матрица имеет аналогичную структуру, а ее элементы можно определить по формулам (16) с заменой на . Для построения можно воспользоваться (14) и (15) с соответствующей заменой на . Формулы для определения элементов этой матрицы имеют вид:
; ; ;
; ; ;
; ;
. (17)
Матрица также симметрична относительно главной диагонали, но по структуре отличается от предыдущих матриц и имеет следующий вид:
, (18)
где
; . (19)
; ; ;
; ; ;
; ; ;
; ; . (20)
Следует отметить, что , , , и определяются выражениями, представленными в формулах (8) и(9).
; . (21)
Работу внешней распределенной нагрузки для элемента получим путем интегрирования первого слагаемого (3) с помощью метода Симпсона с учетом (11а) и заменой на . Тогда
, где , (22)
, . (23)
Суммирование по элементам выражений (12) и (22), а также учет произвольности виртуальных перемещений дает возможность свести уравнения (1) к следующей системе линейных уравнений для определения узловых перемещений
. (24)
При не смещающихся опорах . При жестком защемлении . Тогда из (5б) следует, что , где . В этом случае - квадратная симметричная относительно главной диагонали матрица жесткости порядка , имеющая ленточную структуру, - вектор перемещений, - обобщенный вектор приращения распределенной нагрузки, - вектор приращения узловых сосредоточенных сил.
Из решения системы (24) определяются элементы вектора . Все физические и геометрические характеристики нити, необходимые для дальнейшего расчета определяются по формулам (4), (5) и (6).
Величина приращения нагрузки на каждом этапе нагружения определяется в зависимости от требуемой точности расчета.
Выводы. В статье представлен алгоритм расчёта упругих непологих нитей с учетом изгибной жесткости на действие вертикальных и горизонтальных сосредоточенных сил и распределённой нагрузки. Примерами систем, использующие такие конструктивные элементы, могут служить газо- и нефтепроводные переходы в виде провисающей нити, элементы канатных дорог, покрытия промышленных и гражданских зданий и сооружений и другие объекты. Следует отметить, что учёт горизонтальных составляющих внешней нагрузки для таких систем имеет важное значение. Использование вариационного метода и линеаризация выражений для деформаций дает возможность на каждом этапе нагружения свести нелинейную задачу к решению системы линейных уравнений относительно вертикальных и горизонтальных обобщенных перемещений в узловых точках. Здесь, в отличии от работы [2], не приходится решать нелинейную задачу по определению натяжения нити. Представленную работу, по нашему мнению, можно рассматривать как определенное развитие вариационной версии метода конечного элемента применительно для расчета упругих непологих нитей с учетом изгибной жесткости.
1. Скворцов А.В. Расчёт непологой гиб-кой линейно деформируемой нити на сосре-доточенные воздействия: Тр. научно-практ. конф. «Неделя науки - 99». М.: МИИТ, 1999. С. II-22-II-23.
2. Захарова Л.В., Уварова Н.Б. К расчёту гибкой непологой нерастяжимой нити с по-мощью обобщённого метода конечных разно-стей // Научное обозрение. 2016. №12. С. 72-75.
3. Leonard J.W., Recker W.W. Nonlinear dynamics of cables with low initial tension // Journal of Engineering Mechanics Division, American Society of Civil Engineers. 1972. Vol. 98. № EM2. Pp. 293-309.
4. Захарова Л. В., Александровский М.В. Об алгоритме расчета упругой непологой ни-ти с использованием вариационного метода // Научное обозрение 2017. №6. С. 33-39.
5. Александровский М.В., Захарова Л.В. Особенности алгоритма вариационного мето-да для нелинейной постановки задачи расчета упругой непологой нити [Электронный ре-сурс].// Интернет-журнал «НАУКОВЕДЕ-НИЕ» ISSN 2223-5167 http://naukovedenie.ru/ Том 9, №3 (2017) URL: http://naukovedenie.ru/PDF/78TVN317.pdf
6. Шимановский В.Н., Смирнов Ю. В., Харченко Р. Б. Расчет висячих конструкций (нитей конечной жесткости). НИИСК Гос-строя СССР. Под ред. В. Н. Шимановского. Киев Будiвельник 1973. 158 с.
7. Скворцов В.И. Методика численного статического расчета жестких нитей на упру-гих опорах // Исследование висячих комбини-рованных конструкций. Воронеж, 1980 С. 24-29.
8. Захарова Л.В., Уварова Н.Б. Расчет жестких нитей численным методом последо-вательных аппроксимаций на действие произ-вольных разрывных нагрузок. // Известия ву-зов. Строительство и архитектура. 1994. №1. С. 21-23.
9. Зенкевич О. Метод конечных элемен-тов в технике Мир. М., 1975. 541 с.
10. Захарова Л.В. Исследование нелинейных колебаний нити с учётом изгиб-ной жёсткости. Диссертация на соискание учёной степени кандидата технических наук. М., 1977. С. 4651.
11. Качурин В.К. Статический рас-чёт вантовых систем. Л.: Стройиздат, 1969. 141 с.
12. Нехаев Г.А. К вопросу о стати-ческом расчете гибкой нити конечной жест-кости. - Сборник научных трудов «Вопросы проектирования висячих комбинированных конструкций». Выпуск 4, Воронеж. Воронеж-ский университет 1976. С. 4853.
