Москва, г. Москва и Московская область, Россия
Москва, г. Москва и Московская область, Россия
Москва, г. Москва и Московская область, Россия
В работе изучаются поверхности, являющиеся геометрическими местами точек (ГМТ), равноудаленных от точки и конической поверхности при разных взаимных положениях точки и конической поверхности. Изучаются математические модели таких поверхностей, математический анализ их свойств, строятся 3D-модели рассматриваемых поверхностей. Возможные варианты расположения точки и конической поверхности: • точка в вершине конической поверхности; • точка на конической поверхности; • точка внутри конической поверхности: –– на оси, –– не на оси; • точка снаружи конической поверхности. Точка в вершине конической поверхности Г — получается коническая поверхность Ω с той же вершиной, образующие которой перпендикулярны образующим поверхности Г. Точка на конической поверхности Г — ГМТ, равноудаленных от Г и точки О, распадается на прямую l и поверхность 4-го порядка Φ. Прямая находится в осевой плоскости, проходящей через точку О, и перпендикулярна образующей конической поверхности Г. Полученная поверхность Φ имеет плоскость симметрии, проходящую через ось конической поверхности Г и точку О. Многие сечения полученной поверхности Φ являются улитками Паскаля. Точка внутри конической поверхности, на оси. Полученная поверхность α — поверхность вращения, ось z является ее осью вращения. Все сечения поверхности плоскостями, перпендикулярными оси z, представляют собой окружности. Точка снаружи конической поверхности. Получена очень интересная поверхность Ω со следующими свойствами: поверхность имеет опорную плоскость, которой касается по гиперболе; поверхность имеет 2 плоскости симметрии; среди сечений поверхности есть окружность, парабола и улитка Паскаля. В работе рассмотрены аналогии между поверхностями ГМТ, равноудаленных от цилиндрической поверхности и точки и от конической поверхности и точки.
геометрия, начертательная геометрия, геометрические места, ГМТ, аналитическая геометрия, коническая поверхность, построение поверхностей, улитка Паскаля.
Вступление
Первой известной нам работой по геометрическим местам была рукопись профессора Дмитрия Ивановича Каргина (1880–1949) «Этюды по начертательной геометрии» [8; 12]. Потом последовали работы Н.В. Наумовича (1962 г.) [15], А.Д. Посвянского (1970 г.) [17], В.С. Обуховой (1977 г.) [16], А.Г. Гирша (1986 г.) [7].
1. Александров И.И. Сборник геометрических задач на построение с решениями [Текст] / И.И. Александров. - М.: УРСС 2004. - 176 с.
2. Волков В.Я. Сборник задач и упражнений по начертательной геометрии (к учебнику «Курс начертательной геометрии на основе геометрического моделирования») [Текст] / В.Я. Волков [и др.]. - Омск: СИБАДИ, 2010. - 74 с.
3. Выгодский М.Я. Аналитическая геометрия [Текст] / М.Я. Выгодский. - М.: Физматгиз, 1963. - 523 с.
4. Вышнепольский В.И. Всероссийский студенческий конкурс «Инновационные разработки» [Текст] / В.И. Вышнепольский, Н.С. Кадыкова, Н.И. Прокопов // Геометрия и графика. - 2016. - Т. 4. - № 4. - С. 69-86. - DOI:https://doi.org/10.12737/22842.
5. Вышнепольский В.И. Геометрические места точек, равноотстоящих от двух заданных геометрических фигур. Часть 1 [Текст] / В.И. Вышнепольский, Н.А. Сальков, Е.В. Заварихина // Геометрия и графика. - 2017. - Т. 5. - № 3. - С. 21-35. - DOI:https://doi.org/10.12737/22842.
6. Вышнепольский В.И. Методические основы подготовки и проведения олимпиад по графическим дисциплинам в высшей школе [Текст]: автореф. дис. … канд. пед. наук / В.И. Вышнепольский. - М., 2000. - 250 с.
7. Гирш А.Г. Как решать задачу. Методические указания по решению задач повышенной сложности [Текст] / А.Г. Гирш. - Омск: СИБАДИ, 1986. - 36 с.
8. Елисеев Н.А. Этюды по начертательной геометрии профессора Д.И. Каргина. Совершенствование подготовки учащихся и студентов в области графики, конструирования и стандартизации [Текст] / Н.А. Елисеев // Межвузовский научно-методический сборник. - Саратов: СГТУ, 2004. - С. 56-58.
9. Иванов Г.С. Начертательная геометрия [Текст] / Г.С. Иванов. - 3-е изд. - М: ФГБОУ ВПО МГУЛ, 2012. - 340 с.
10. Иванов Г.С. Принцип двойственности - теоретическая база взаимосвязи синтетических и аналитических способов решения геометрических задач [Текст] / Г.С. Иванов, И.М. Дмитриева // Геометрия и графика. - 2016. - Т. 4. - № 3. - С. 3-10. - DOI:https://doi.org/10.12737/21528.
11. Иванов Г.С. Теоретические основы начертательной геометрии [Текст] / Г.С. Иванов. - М.: Машиностроение, 1998. - 458 с.
12. Каргин Д.И. Этюды по начертательной геометрии. Геометрические места [Текст] / Д.И. Каргин. - ПФА РАН, р. 802, оп. 1, ед. хр. 148, 1939-1940 гг. - 405 л.
13. Кривошапко С.Н. Энциклопедия аналитических поверхностей [Текст] / С.Н. Кривошапко, В.Н. Иванов. - М.: ЛИБРОКОМ, 2010. - 560 с. - 2015 (2-е изд).
14. Кривошапко С.Н. Аналитические поверхности в архитектуре зданий, конструкций и изделий: монография [Текст] / С.Н. Кривошапко, И.А. Мамиева. - М.: ЛИБРОКОМ, 2012. - 328 с.
15. Наумович Н.В. Геометрические места в пространстве и задачи на построение [Текст] / Н.В. Наумович. - М.: Гос. учебно-педагогическое изд-во, 1962. - 152 с.
16. Обухова В.С. Поэтапное моделирование технических поверхностей [Текст] / В.С. Обухова // Реферативная информация о законченных научно-исследовательских работах в вузах Украинской ССР: Прикладная геометрия и инженерная графика. - Вып. 1. - Киев: Вища школа, 1977. - С. 5-6.
17. Посвянский А.Д. Пятьдесят задач повышенной трудности [Текст] / А.Д. Посвянский. - Калинин: КПИ, 1970. - 41 с.
18. Сальков Н.А. Начертательная геометрия: базовый курс: учеб. пособие [Текст] / Н.А. Сальков. - М.: ИНФРА-М, 2013. - 184 с.
19. Сальков Н.А. Начертательная геометрия - теория изображений [Текст] / Н.А. Сальков // Геометрия и графика. - 2016. - Т. 4. - №. 4. - С. 41-47. - DOI:https://doi.org/10.12737/22842.
20. Серегин В.И. Междисциплинарные связи начертательной геометрии и смежных разделов высшей математики [Текст] / В.И. Серегин [и др.] // Геометрия и графика. - 2013. - Т.1. - № 3-4. - С. 8-12.- DOI:https://doi.org/10.12737/2124.
21. Серегин В.И. Научно-методические вопросы подготовки студентов к олимпиадам по начертательной геометрии [Текст] / В.И. Серегин, Г.С. Иванов, И.Ф. Боровиков // Геометрия и графика. - 2017. - Т. 5. - № 1. - С. 73-81.- DOI:https://doi.org/10.12737/25126.
