В рамках геометрической теории дифракции получены явные выражения давления в волнах, переотражённых произвольное конечное число N раз от кругового контура, граничных поверхностей цилиндрического и сферического отражателей. Выражения давления в точке приёма для отражателей канонической формы получены на основе решения двумерной и пространственной задач об определении давления в акустической волне, переотражённой от скопления препятствий в случае высоких частот колебаний. Задача в общей постановке исследована с помощью модификации физической теории дифракции Кирхгофа. В рамках предложенной модификации получены дифракционные интегралы, главные члены асимптотических разложений которых исследованы методом многомерной стационарной фазы. Полученные аналитические выражения давления в переотражённой волне соответствуют геометрической теории дифракции. Во всех трёх случаях эти выражения связаны с вычислением определителя порядка N (для двумерной задачи) и определителей порядка 2N (для пространственных отражателей). Проведён аналитический и численный анализ полученных выражений с учётом зависимости от расстояний между источником, приёмником волны и поверхностью отражателей. Установлены точки фокусировки акустической волны. Обсуждается проблема замены неплоских отражателей плоскими в прикладных задачах акустики.
акустические волны, многократное отражение волн, отражатели канонической формы
Введение. В архитектурной акустике помещений используются цилиндрические и сферические отражатели (например, своды зданий и помещений). Вогнутые части таких отражателей допускают многократное рассеяние звуковых волн. Как правило, при численных расчётах неплоские граничные поверхности отражателей заменяются набором плоских граней вписанных или описанных многогранников, что, конечно, искажает истинное звуковое поле. Особенно это заметно при многократных отражениях волн. В настоящее время работ, посвящённых этой проблеме, сравнительно мало. В [1] рассмотрено двукратное отражение волн от двух круговых цилиндров (в рамках двумерной задачи), а в [2, 3] — от сферических отражателей (пространственная задача).
Поэтому исследование многократного рассеяния высокочастотных волн на поверхностях пространственных отражателей и их скоплений имеет как теоретическое, так и практическое значение в прикладной акустике. В [4, 5, 6] разработан общий подход к исследованию проблемы многократных отражений высокочастотных волн в рамках геометрической теории дифракции (ГТД) на основе дифракционных интегралов физической теории дифракции Кирхгофа. В данной работе общая теория применяется для отражателей цилиндрической и сферической формы.
1. Штагер, Е. А. Рассеяние радиоволн на телах сложной формы / Е. А. Штагер. - Москва : Радио и связь, 1986. - 184 с.
2. Scarpetta, E. Explicit analytical representations in the multiple high-frequency reflection of acoustic waves from curved surfaces: the leading asymptotic term / E. Scarpetta, M. A. Sumbatyan // Acta Acustica united with Acustica. - 2011. - V. 97. - Pp. 115-127.
3. Scarpetta, E. An asymptotic estimate of the edge effects in the high-frequency Kirchhoff diffraction theory for 3-d problems / E. Scarpetta, M. A. Sumbatyan // Wave Motion. - 2011. - V. 48. - Pp. 408-422.
4. Sumbatyan, M. A. High-frequency diffraction by nonconvex obstacles / M. A. Sumbatyan, N. V. Boyev // Journal of the Acoustical Society of America. - 1994. - V. 95, № 5. - Pp. 2347-2353.
5. Боев, Н. В. Рассеяние высокочастотных волн на поверхностях в сплошных средах с учётом переотражений / Н. В. Боев // Акустический журнал. - 2004. - Т. 50, № 6. - С. 756-761.
6. Боев, Н. В. Коротковолновая дифракция на телах, ограниченных произвольной гладкой поверхностью / Н. В. Боев, М. А. Сумбатян // Доклады Российской Академии наук. - 2003. - Т. 392, № 5. - С. 614-617.
7. Боровиков, В. А. Геометрическая теория дифракции / В. А. Боровиков, Б. Е. Кинбер. - Москва : Связь, 1978. - 248 с.
8. Федорюк, М. В. Метод перевала / М. В. Федорюк. - Москва : Наука, 1977. - 368 с.
9. Проскуряков, И. В. Сборник задач по линейной алгебре / И. В. Проскуряков. - Москва : Наука, 1978. - 384 с.
10. Реконструкция дефектов в слоистых композитах / А. О. Ватульян [и др.] // Вестник Дон. гос. техн. ун-та. - 2009. - Т. 9, № 2 (41). - С. 3-14.
11. Многократное рассеяние ультразвуковых волн на системе пространственных дефектов канонической формы (теория и эксперимент) / Н. В. Боев [и др.] // Вестник Дон. гос. техн. ун-та. - 2012. - № 3 (64). - С. 5-10.
