Санкт-Петербург, г. Санкт-Петербург и Ленинградская область, Россия
Задача Аполлония о построении окружностей, касательных к трем произвольно заданным окружностям плоскости, является одной из хорошо изученных задач классической геометрии. Материалы представляемой статьи направлены на разработку единой теории решения задачи Аполлония, учитывающей не только действительные, но и незримо присутствующие в ней комплекснозначные образы. В статье показано, что фундаментальные геометрические конструкции, лежащие в основе задачи Аполлония, оказываются применимыми не только к вещественным, но и к комплекснозначным данным, что позволяет устранить множество ныне существующих в ней исключений. В работе вскрыт фундаментальный характер задачи Аполлония, продемонстрирована ее тесная взаимосвязь с проективными и квадратичными геометрическими преобразованиями. Доказано, что задача Аполлония и ее аналоги имеют единый метод решения, в отличие от бытующего представления о том, что данные задачи могут быть решены только отдельными частными способами. Предложенная автором концепция геометрического эксперимента позволила обнаружить многие ранее неизвестные и обсуждаемые в статье закономерности, благодаря проведению множества вычислительных испытаний в системе визуального проектирования геометрических моделей Симплекс. В статье рассматривается пример решения аналога задачи Аполлония для трехмерного пространства, однако действие алгоритма универсально, и он может быть с равным успехом применен к решению подобных задач в пространствах произвольных размерностей. Полученные результаты демонстрируют возможности методов конструктивного моделирования и многомерной начертательной геометрии в приложении к решению сложных математических задач, определяют тенденции развития систем автоматизации конструктивного геометрического моделирования.
научная визуализация, конструктивное геометрическое моделирование, геометрический эксперимент, проективная геометрия, задача Аполлония, мнимые геометрические образы.
1. Введение
В настоящее время приходится с сожалением констатировать, что исследования в области конструктивной геометрии проводятся с недостаточной интенсивностью. Несмотря на, казалось бы, бурное развитие информационных технологий, конструктивная геометрия до сих пор не получает должной поддержки от разработчиков программных систем. Геометрия по сей день воспринимается как достаточно сложная, рутинная и даже устаревшая наука, которая не находит себе должного практического применения, в то время как цифровые (аналитические) методы математики приковывают к себе внимание начинающих исследователей благодаря высокой эффективности реализации таких методов в виде компьютерных программ и систем. Безусловно, существуют попытки использовать программные комплексы, предназначенные для автоматизации проектирования и программирования, для популяризации геометрических знаний и даже для проведения научных исследований. В отличие от аналитики, геометрия обладает неоспоримым преимуществом, заключающимся в способности доставлять человеку информацию о моделях окружающего мира через зрительный канал. Геометрия образна и визуальна, и поэтому к ней обращены взоры многих исследователей, стремящихся представить результаты своих достижений в наглядной, доступной для понимания форме. И, без сомнения, это стремление показывает впечатляющие результаты. Однако сущность геометрии заключается не только в этом. Предоставляя возможность оперирования наглядными образами и представлениями, геометрическая наука позволяет исследовать сложнейшие закономерности мироздания, дает возможность заглянуть в миры, которые недоступны обычному человеческому взору. Складывается парадоксальная ситуация: с одной стороны, геометрическая интерпретация — это шанс осознать нечто, заглянув туда, где обычным глазом ничего не видно, не осязаемо. С другой стороны, выстраивание логических умозаключений в геометрии требует специальных знаний, умения мыслить абстрактными образами и тренировки. На пути к овладению этими знаниями немало сложностей, и основная из них — это высокая трудоемкость достижения результата. В частности, одна из проблем — это существование в математических задачах мнимых решений [13; 18], которые относительно легко воспринимаются как результат математических действий, но которые не находят должного понимания в системе геометрических представлений.
1. Адамар Ж. Элементарная геометрия. Часть I. Планиметрия [Текст] / Ж. Адамар. - M.: Учпедгиз, 1948. - 608 с.
2. Аргунов Б.И. Геометрические построения на плоскости [Текст] / Б.И. Аргунов, М.Б. Балк. - М.: Учпедгиз, 1957. - 268 с.
3. Бакельман И.Я. Инверсия [Текст] / И. Я. Бакельман. - М.: Наука, 1966. - 79 с.
4. Вальков К.И. Введение в теорию моделирования [Текст] / К.И. Вальков. - Л.: Изд-во ЛИСИ, 1974. - 152 с.
5. Волков В.Я. Курс начертательной геометрии на основе геометрического моделирования [Текст]: учебник / В.Я. Волков, В.Ю. Юрков, К.Л. Панчук, Н.В. Кайгородцева. - Омск: Изд-во СибАДИ, 2010. - 253 с.
6. Волошинов Д.В. Алгоритм решения задачи Аполлония на основе построения ортогональных окружностей [Текст] / Д.В. Волошинов // В сборнике: ГРАФИ-КОН'2016 Труды 26-й Международной научной конференции. - Нижний Новгород, 2016.- С. 284-288.
7. Волошинов Д.В. Геометрическая лаборатория. Закладываем основы [Текст] / Д.В. Волошинов / Качество графической подготовки: проблемы, традиции и инновации: Материалы VII Международной интернет-конференции КГП-2017. - URL: http://dgng.pstu.ru/conf2017/papers/53/
8. Волошинов Д.В. Геометрическая лаборатория. Инструменты ортогональности [Текст] / Д.В. Волошинов // Качество графической подготовки: проблемы, традиции и инновации: Материалы VII Международной интернет-конференции. Февраль - март 2017 г. - Пермь, 2017.
9. Волошинов Д.В. Инструмент для геометрического эксперимента. Каким ему быть? [Текст] / Д.В. Волошинов // Проблемы качества графической подготовки: традиции и инновации: Материалы V Международной интернет-конференции. Февраль - март 2015 г. - Пермь, 2015.
10. Волошинов Д.В. Конструктивное геометрическое моделирование. Теория, практика, автоматизация [Текст] / Д.В. Волошинов. - Saarbrucken: Lambert Academic Publ., 2010. - 355 c.
11. Волошинов Д.В. Геометрическая лаборатория. Новый геометрический инструмент [Текст] / Д.В. Волошинов // Качество графической подготовки: проблемы, традиции и инновации: Материалы VII международной интернет-конференции. Февраль - март 2017 г. - Пермь, 2017.
12. Вольберг А.О. Основные идеи проективной геометрии [Текст] / А.О. Вольберг . - М.-Л.: Учпедгиз, 1949. - 188 c.
13. Гирш А.Г. Наглядная мнимая геометрия [Текст] / А.Г. Гирш. - М.: Маска, 2008. - 216 с.
14. Глаголев Н.А. Проективная геометрия [Текст] / Н.А. Глаголев. - М.: Высшая школа, 1963. - 342 с.
15. Жижилкин И.Д. Инверсия [Текст] / И.Д. Жижилкин. - М.: Изд-во МЦНМО, 2009. - 72 с.
16. Короткий В.А. Центральное проецирование двух компланарных коник в две окружности [Текст] / В.А. Короткий // Проблемы качества графической подготовки Материалы IV международной Интернет-конференции. Февраль - март 2014 г. - Пермь, 2014.
17. Курант P. Что такое математика? Элементарный очерк идей и методов [Текст] / P. Курант, Г. Роббинс. - 3-e изд., испр. и доп. - М.: МЦНМО, 2001. - 568 с.
18. Пеклич В.А. Мнимая начертательная геометрия [Текст]: учеб. пособие / В.А. Пеклич. - М.: АСВ, 2007. - 104 с.
19. Сальков Н.А. Свойства циклид Дюпена и их применение. Ч. 1 [Текст] / Н.А. Сальков // Геометрия и графика. - 2015. - Т. 3. - № 1. - С. 16-25. - DOI:https://doi.org/10.12737/10454.
20. Сальков Н.А. Свойства циклид Дюпена и их применение. Ч. 2 [Текст] / Н.А. Сальков // Геометрия и графика. - 2015. - Т. 3. - № 2. - С. 9-23. - DOI:https://doi.org/10.12737/12164.
21. Сальков Н.А. Свойства циклид Дюпена и их применение. Ч. 3: сопряжения [Текст] / Н.А. Сальков // Геометрия и графика. - 2015. - Т. 3. - № 4. - С. 3-14. - DOI:https://doi.org/10.12737/17345.
22. Сальков Н.А. Свойства циклид Дюпена и их применение. Ч. 4: приложения [Текст] / Н.А. Сальков // Геометрия и графика. - 2016. - Т. 4. - № 1. - С. 21-32. - DOI:https://doi.org/10.12737/17347.
23. Сальков Н.А. Способы задания циклид Дюпена [Текст] / Н.А. Сальков // Геометрия и графика. - 2017. - Т. 5. - № 3. - С. 11-20. - DOI: 10.12737.
24. Сальков Н.А. Циклида Дюпена и ее приложение [Текст]: монография / Н.А. Сальков. - М.: ИНФРА-М, 2016. - 141 с.
25. Сальков Н.А. Циклида Дюпена и кривые второго порядка. Ч. 1 [Текст] / Н.А. Сальков // Геометрия и графика. - 2016. - Т. 4. - № 2. - С. 19-28. - DOI:https://doi.org/10.12737/19829.
26. Сальков Н.А. Циклида Дюпена и кривые второго порядка. Ч. 2 [Текст] / Н.А. Сальков // Геометрия и графика. - 2016. - Т. 4. - № 3. - С. 17-28. - DOI:https://doi.org/10.12737/21530.
27. Филиппов П.В. Начертательная геометрия многомерного пространства и ее приложения. - 2-е изд. [Текст] / П.В. Филиппов. - М.: ЛЕНАНД, 2016. - 282 с.
28. Четверухин Н.Ф. Проективная геометрия [Текст] / Н.Ф. Четверухин. - М.: Просвещение, 1953. - 360 с.
29. Viete F. Apollonius Gallus. Paris, 1600.
30. Staudt G.K.C. Geometrie der Lage. Nurnberg: Verlag von Bauer und Raspe (Julius Merz), 1847.
