Санкт-Петербург, г. Санкт-Петербург и Ленинградская область, Россия
При использовании обычных инструментальных средств для решения геометрических задач получение и анализ результатов, в которых фигурируют мнимые геометрические образы, затруднительны. Несмотря на признание правомерности и научной ценности мнимых решений, присутствующих в геометрических конструкциях, до сих пор не вполне ясным остается вопрос о целесообразности и практической исполнимости таких решений. Вследствие этого для большинства специалистов-практиков мнимые решения представляются как нечто недостижимое или неважное. Однако внедрение мнимостей в практику геометрического моделирования позволяет получать решения в исчерпывающей полноте, разрабатывать единые алгоритмы решения задач, которые обычно представлялись либо не решаемыми, либо сводились к решениям в частных постановках. Использование компьютерных технологий и парадигмы конструктивного геометрического моделирования позволяет снять остроту этой проблемы и направить усилия как на совершенствование геометрической теории, так и на внедрение научных достижений в обозначенной области в область практических применений. Средства автоматизации геометрического эксперимента позволяют найти, казалось бы, в давно известных математических фактах новые закономерности, прийти к более общему пониманию геометрических понятий и образов. Статья посвящена анализу некоторых геометрических схем и обсуждению возникающих в этой связи вопросов теории построения кривых второго порядка методами конструктивного синтеза. В статье показано, что используемые в настоящее время определения центра кривой второго порядка и диаметров этих кривых вступают в противоречие с принципом неразличимости коник в проективной геометрии. Предложены пути устранения этих противоречий, и на их основе разработан унифицированный алгоритм построения фокусов кривых второго порядка.
геометрическое моделирование, кривая второго порядка, коника, фокус, Симплекс.
Принципы определения фокальных точек кривых второго порядка освещены в научной и педагогической литературе столь широко и подробно, что попытка отыскать в этом вопросе что-то новое и значимое может вызвать у читающего эти строки глубокое удивление и недоумение [1–3; 5; 12; 13; 15–30]. И все же статья, представляемая на суд читателей, призывает обратить внимание на, казалось бы, хорошо известные факты и устоявшиеся представления с несколько иной точки зрения, нежели это принято делать в математической литературе. Рассуждения предполагается проводить без использования аналитического аппарата математики с опорой на конструктивно-геометрические свойства исследуемых образов и их свойств. Эти рассуждения, основывающиеся на аппарате проективной геометрии, позволят вскрыть ряд противоречий в ныне существующих определениях, относящихся к кривым второго порядка, а их устранение предоставит возможность разработать единый подход к построению некоторых геометрических образов, инициируемых кривыми второго порядка, и дать им общее конструктивное обоснование. Как известно, аффинная геометрия, не оперирующая понятием бесконечности, различает несколько видов кривых второго порядка, среди которых в дальнейшем нас будут интересовать в особенности эллипс и гипербола. С точки зрения проективной геометрии, кривые второго порядка не различаются, вследствие чего алгоритмы получения тех или иных образов, ассоциированных с понятием конического сечения, также не различаются. Тем более удивительным становится тот факт, что вопросы геометрического обоснования таких образов, как фокальные точки коник, в проективной геометрии остались без должного внимания, а известные схемы построения этих точек трактуются исходя из метрических соображений и разнятся для эллипсов и гипербол. Такое положение дел нельзя называть удовлетворительным, в особенности, если неполные, а иногда и противоречивые теоретические положения закладываются в основу средств автоматизации процедур геометрического моделирования, поскольку на практике это приводит к нарушению системности и стабильности работы этих средств. Именно такое положение сложилось с интерпретацией кривых второго порядка при разработке системы Симплекс [10], предназначенной для синтеза конструктивных геометрических моделей не только с привлечением аппарата проективной геометрии, но и оперирующей мнимыми образами, которые неизбежно в этой геометрии возникают. Многочисленные эксперименты и анализ получаемых геометрических схем, проведенные с помощью этой системы [7–9], позволили сделать вывод о том, что некоторые определения, связанные с трактовкой кривых второго порядка, положенные в основу геометрической теории, некорректны. В частности, неверно трактуются понятие центра кривой второго порядка и отсутствие у эллипса второго главного диаметра. Переосмысление этого геометрического феномена и принятие за основу определений в новой трактовке позволяют выработать единый подход к решению задач с участием кривых второго порядка и унифицировать связанные с этими задачами функции системы геометрического моделирования. Обычно под центром кривой второго порядка понимают полюс в индуцируемом этой кривой полярном преобразовании бесконечно удаленной прямой, принимаемой за поляру [20]. Это определение в равной степени применяется для отыскания центров невырожденных кривых второго порядка: как эллипсов и окружностей, так и гипербол в аффинной трактовке. Как известно, любое коллинеарное преобразование, определенное в плоскости, переводит точку в точку, прямую линию в прямую линию и конику в конику. При этом свойство инцидентности объектов-оригиналов и их образов сохраняется, а метрические свойства объектов в общем случае — нет.
1. Адамар Ж. Элементарная геометрия. Часть I. Планиметрия [Текст] / Ж. Адамар. - M.: Учпедгиз, 1948. - 608 с.
2. Акопян А.В. Геометрические свойства кривых второго порядка [Текст] / А.В. Акопян, А.А. Заславский. - М.: Изд-во МЦНМО, 2007. - 136 с.
3. Аргунов Б.И. Геометрические построения на плоскости [Текст] / Б.И. Аргунов, М.Б. Балк. - М.: Учпедгиз, 1957. - 268 с.
4. Белоцерковский Д.Л. Кривые второго порядка на плоскости: методическое пособие [Текст] / Д.Л. Белоцерковский. - М.: Изд-во РГУ нефти и газа имени И.М. Губкина, 2009. - 42 с.
5. Берже М. Геометрия: Пер. с франц [Текст] / М. Берже. - М.: Мир. - Т. 2. - 368 с.
6. Васин С.И. Аналитическая геометрия: учебно-методическое пособие для студентов [Текст] / С.И. Васин, В.И. Иванов. - М.: Изд-во РГУ нефти и газа имени И.М. Губкина, 2010. - 60 с.
7. Волошинов Д.В. Геометрическая лаборатория. Закладываем основы [Текст] / Д.В. Волошинов / Качество графической подготовки: проблемы, традиции и инновации: Материалы VII Международной интернет-конференции КГП-2017. - URL: http://dgng.pstu.ru/conf2017/papers/53/
8. Волошинов Д.В. Геометрическая лаборатория. Инструменты ортогональности [Текст] / Д.В. Волошинов / Качество графической подготовки: проблемы, традиции и инновации: Материалы VII Международной интернет-конференции КГП-2017. - URL: http://dgng.pstu.ru/conf2017/papers/72/
9. Волошинов Д.В. Геометрическая лаборатория. Новый геометрический инструмент [Текст] / Д.В. Волошинов / Качество графической подготовки: проблемы, традиции и инновации: Материалы VII Международной интернет-конференциии КГП-2017. - URL: http://dgng.pstu.ru/conf2017/papers/60/
10. Волошинов Д.В. Конструктивное геометрическое моделирование. Теория, практика, автоматизация [Текст] / Д.В.Волошинов. - Saarbrücken: Lambert Academic Publ., 2010. - 355 c.
11. Вольберг А.О. Основные идеи проективной геометрии [Текст] / А.О. Вольберг. - М.-Л.: Учпедгиз, 1949. - 188 c.
12. Гирш А.Г. Наглядная мнимая геометрия [Текст] / А.Г. Гирш. - М.: Маска, 2008. - 216 с.
13. Гирш А.Г. Фокусы алгебраических кривых [Текст] / А.Г. Гирш // Геометрия и графика. - 2015. - Т. 3. - С. 4-17. - DOI:https://doi.org/10.12737/14415.
14. Глаголев Н.А. Проективная геометрия [Текст] / Н.А. Глаголев. - М.: Высшая школа, 1963. - 342 с.
15. Дорфман А.Г. Оптика конических сечений [Текст] / А.Г. Дорфман. - М.: Физматгиз, 1959. - 32 с.
16. Игнатьев Ю.Г. Аналитическая геометрия евклидового пространства [Текст]: учеб. пособие. I-II семестры / Ю.Г. Игнатьев, А.А. Агафонов. - Казань: Изд-во Казанского ун-та, - 2014. - 204 с.
17. Корн Г. Характеристическая квадратичная форма и характеристическое уравнение [Текст] / Г. Корн, Т. Корн // Справочник по математике. - 4-е изд. - М.: Наука, 1978. - С. 64.
18. Короткий В.А. Начертательная геометрия на экране компьютера [Текст] / В.А. Короткий, Л.И. Хмарова // Геометрия и графика. - 2013. - Т. 1. - С. 32-34.
19. Савельев Ю.А. Графика мнимых чисел [Текст] / Ю.А. Савельев // Геометрия и графика. - 2013. - Т. 1. - № 1. - С. 22-23. - DOI:https://doi.org/10.12737/2079.
20. Четверухин Н.Ф. Проективная геометрия [Текст] / Н.Ф. Четверухин. - М.: Просвещение, 1953. - 360 с.
21. Audin M. Geometry. Strasbourg, 2002. 363 p.
22. Busemann H., Paul J. Kelly. Projective geometry and projective metrics. New York, Academic press Inc. Publ., 1962. P. 88.
23. Field P. Projective geometry with applications to engineering. New York, D.Van Nostrand Company, 1923. P. 79.
24. Gallier J. Curves and Surfaces In Geometric Modeling: Theory And Algorithms. Philadelphia, University of Pennsylvania, 2015. 492 p.
25. Herman I. The Use of Projective Geometry in Computer Graphics. Berlin, Springer-Verlag, 1992. 148 p.
26. Boissonnat J.-D.,Teillaud M. Effective Computational Geometry for Curves and Surfaces With 120 Figures and 1 Table. Springer, 2006. 351 p.
27. Richter-Gebert J. Perspectives on Projective Geometry. A Guided Tour Through Real and Complex Geometry. Berlin, Springer, 2011. 593 p.
28. Lehmer D.N. An Elementary Course In Synthetic Projective Geometry. Boston, Ginn & Company, 1917. 123 p.
29. Lockwood E.H. A Book of Curves. Cambridge, Cambridge University Press, 1961. 199 p.
30. Tabak J. Geometry. The Language of Space and Form. New York, Facts On File Inc., 2004. 269 p.
