Москва, г. Москва и Московская область, Россия
Россия
аспирант
Россия
Рассматриваются геометрические места точек (далее — ГМТ), равноудаленных от сферы и прямой и от конической поверхности и плоскости. Рассмотрены следующие варианты. Прямая проходит через центр сферы (а = 0), при этом полностью при положительных радиусах сфер получается поверхность вращения, образующей которой является парабола, а осью вращения – данная прямая. Вершина параболы образует самую большую параллель на участке точками пересечения образующей параболы с осью вращения. Назовем такой параболоид перпендикулярным параболоидом вращения. Прямая пересекает сферу, но не проходит через центр (0 < α < R/2) – перпендикулярный параболоид, причём поверхность также полностью получается при положительных значениях радиусов. Прямая касается сферы (а = R/2) – поверхность, проекциями которой являются параболы, лемнискаты и окружности, и отрезок от точки касания до центра сферы при положительных значениях радиусов, луч от центра сферы, перпендикулярный данной прямой – при отрицательных значениях радиусов, причём луч и отрезок принадлежат одной прямой. Прямая лежит вне сферы (α > R2) – получаются две разные поверхности, имеющие общие свойства с гиперболическим параболоидом, одна из которых получается при положительных значениях радиуса, другая при отрицательных. Замечено, что ГМТ, равноудаленных от сферы и прямой и от цилиндра и точки, совпадают при равных радиусах и расстояниях от осей до точек и прямых, если учитывать поверхности, полученные как при положительных, так и при отрицательных значениях радиусов. ГМТ, равноудаленных от конической поверхности вращения и плоскости – две эллиптические конические поверхности, которые в случае 7.4.1 вырождаются в конические поверхности вращения. В случаях 7.4.3 и 7.4.4 одна эллиптическая коническая поверхность вырождается в плоскость и параболический цилиндр соответственно.
геометрия, начертательная геометрия, геометрические места, ГМТ, аналитическая геометрия.
Введение
Изучением геометрических мест точек первым занимался в 1941 г. Дмитрий Иванович Каргин (1880–1949) [13; 18; 23]. Изучали геометрические места точек Александр Давидович Посвянский (1909–…) с коллегами [24], Владимир Яковлевич Волков (1946–2017) с коллегами [2; 3], Геннадий Сергеевич Иванов [14–16], он же с коллегами [28; 29], Антон Георгиевич Гирш [9], Н.В. Наумович [21], И.И. Александров [1]. Совсем недавно нам удалось установить — изучал равноудаленные геометрические места в конце 50-х — начале 60-х гг. прошлого века В.В. Глоговский [10–12], особенно отметим его статью «Эквидистанты» [10]. В это же время вышла книга Н.В. Наумович «Геометрические места в пространстве» [21]. Затронули тему геометрических мест точек Марк Яковлевич Выгодский (1898–1965) в своих ставших классическими справочниках по элементарной и высшей математике и в работе [4], а также один из авторов этой публикации [6–8]. На Всероссийском студенческом конкурсе «Инновационные разработки» за одиннадцать лет его существования было заслушано 59 проектов самой разной тематики: 3D-моделирование, элементы САПР, подвижной состав железных дорог, двигатели, турбины, компрессоры и их части, геометрия, энергосберегающие установки, автомобили и другие передвижные средства, сигнализация, солнечные часы, строительство, история науки и техники, методические вопросы преподавания и пр. [5]. Пять из них (8%) — работы по равноудаленным геометрическим местам. Почти все проекты завоевали призовые места. В 2013–2014 гг. — третьи места, в 2017-м — второе и в 2018-м один из авторов этой работы завоевал третье место. Данная статья является продолжением работ «Геометрические места точек, равноотстоящих от двух заданных геометрических фигур. Часть 1» [6] и «Геометрические места точек, равноотстоящих от двух заданных геометрических фигур. Часть 2: геометрические места точек, равноудаленных от точки и конической поверхности» [7]. В предлагаемой вашему вниманию работе рассматриваются ГМТ, равноудаленных от: 1) сферы и прямой; 2) конической поверхности и плоскости. Основой для систематизации ГМТ является табл. 1, приведенная в работе [6].
1. Александров И.И. Сборник геометрических задач на построение с решениями [Текст] / И.И. Александров. - М.: УРСС 2004. - 176 с.
2. Волков В.Я. Курс начертательной геометрии на основе геометрического моделирования [Текст]: учебник / В.Я. Волков - Омск: Изд-во СибАДИ, 2010. - 252 с.
3. Волков В.Я. Сборник задач и упражнений по начертательной геометрии (к учебнику «Курс начертательной геометрии на основе геометрического моделирования») [Текст] / В.Я. Волков, В.Ю. Юрков, К.Л. Панчук, Н.В. Кайгородцева. - Омск: Изд-во СибАДИ, 2010. - 74 с.
4. Выгодский М.Я. Аналитическая геометрия [Текст] / М.Я. Выгодский. - М.: Физматгиз, 1963. - 523 с.
5. Вышнепольский В.И. Всероссийский студенческий конкурс «Инновационные разработки» [Текст] / В.И. Вышнепольский, Н.С. Кадыкова, Н.И. Прокопов // Геометрия и графика. - 2016. - Т. 4. - № 4. - С. 69-86. - DOI:https://doi.org/10.12737/22842.
6. Вышнепольский В.И. Геометрические места точек, равноотстоящих от двух заданных геометрических фигур. Часть 1 [Текст] / В.И. Вышнепольский, Н.А. Сальков, Е.В. Заварихина // Геометрия и графика. - 2017. - Т. 5. - № 3. - С. 21-35. - DOI:https://doi.org/10.12737/22842.
7. Вышнепольский В.И. Геометрические места точек, равноотстоящих от двух заданных геометрических фигур. Часть 2 [Текст] / В.И. Вышнепольский, О.Л. Даллакян, Е.В. Заварихина // Геометрия и графика. - 2017. - Т. 5. - № 4. - С. 15-23. - DOI:https://doi.org/10.12737/22842
8. Вышнепольский В.И. Методические основы подготовки и проведения олимпиад по графическим дисциплинам в высшей школе [Текст] / диссертация на соискание ученой степени кандидата педагогических наук / В.И. Вышнепольский. - М., 2000. - 250 с.
9. Гирш А.Г. Как решать задачу. Методические указания по решению задач повышенной сложности [Текст] / А.Г. Гирш. - Омск: Изд-во СИБАДИ, 1986. - 36 с.
10. Глоговский В.В. Эквидистанты. Вопросы теории, приложений и методики преподавания начертательной геометрии [Текст] / В.В. Глоговский // Труды Рижской научно-методической конференции. - Рига: Изд-во РИИГВФ, 1960. - 422 с.
11. Глоговский В.В. [Текст] / В.В. Глоговский // Научные записки Львовского политехнического института. Серия физ.-мат. - 1955. - Т. 30. - Вып. 1. - С. 72-90.
12. Глоговский В.В. [Текст] / В.В. Глоговский // Научные записки Львовского политехнического института. Серия физ.-мат. - 1956. - Т. 38. - Вып. 2. - С. 72-90.
13. Елисеев Н.А. Этюды по начертательной геометрии профессора Д.И. Каргина. Совершенствование подготовки учащихся и студентов в области графики, конструирования и стандартизации [Текст] / Н.А. Елисеев // Межвузовский научно-методический сборник. - Саратов: Изд-во СГТУ, 2004. - С. 56-58.
14. Иванов Г.С. Начертательная геометрия [Текст] / Г.С. Иванов. - 3-е изд. - М: Изд-во МГУЛ, 2012. - 340 с.
15. Иванов Г.С. Принцип двойственности - теоретическая база взаимосвязи синтетических и аналитических способов решения геометрических задач [Текст] / Г.С. Иванов, И.М. Дмитриева // Геометрия и графика. - 2016. - Т. 4. - № 3. - С. 3-10. - DOI:https://doi.org/10.12737/21528.
16. Иванов Г.С. Теоретические основы начертательной геометрии [Текст] / Г.С. Иванов. - М.: Машиностроение, 1998. - 458 с.
17. Кайгородцева Н.В. Поверхности в начертательной геометрии и логико-геометрическое мышление [Текст] / Н.В. Кайгородцева. - Омск: Изд-во ОмГТУ, 2013. - 184 с.
18. Каргин Д.И. Этюды по начертательной геометрии. Геометрические места [Текст] / Д.И. Каргин. - ПФА РАН, р. 802, оп. 1, ед. хр. 148, 1939-1940 гг. - 405 л.
19. Кривошапко С.Н. Энциклопедия аналитических поверхностей [Текст] / С.Н. Кривошапко, В.Н. Иванов. - М.: ЛИБРОКОМ, 2010. - 560 с. - 2015 (2-е изд).
20. Кривошапко С.Н. Аналитические поверхности в архитектуре зданий, конструкций и изделий [Текст]: монография / С.Н. Кривошапко, И.А. Мамиева. - М.: ЛИБРОКОМ, 2012. - 328 с.
21. Наумович Н.В. Геометрические места в пространстве и задачи на построение [Текст] / Н.В. Наумович. - М.: Гос. учебно-педагогическое изд-во, 1962. - 152 с.
22. Обухова В.С. Поэтапное моделирование технических поверхностей [Текст] / В.С. Обухова // Реферативная информация о законченных научно-исследовательских работах в вузах Украинской ССР: Прикладная геометрия и инженерная графика. - Вып. 1. - Киев: Вища школа, 1977. - С. 5-6.
23. Павлов В.Е. Дмитрий Иванович Каргин, 1880-1949 / В.Е. Павлов, Б.Ф. Тарасов. - СПб.: Наука, 1998. - 272 с.
24. Посвянский А.Д. Пятьдесят задач повышенной трудности [Текст] / А.Д. Посвянский. - Калинин: Изд-во КПИ, 1970. - 41 с.
25. Сальков Н.А. Начертательная геометрия: базовый курс [Текст]: учеб. пособие / Н.А. Сальков. - М.: ИНФРА-М, 2013. - 184 с.
26. Сальков Н.А. Начертательная геометрия - база для компьютерной графики [Текст] / Н.А. Сальков // Геометрия и графика. - 2016. - Т. 4. - №. 2. - С. 37-47. - DOI:https://doi.org/10.12737/19832.
27. Сальков Н.А. Начертательная геометрия - теория изображений [Текст] / Н.А. Сальков // Геометрия и графика. - 2016. - Т. 4. - №. 4. - С. 41-47. - DOI:https://doi.org/10.12737/22842.
28. Серегин В.И. Междисциплинарные связи начертательной геометрии и смежных разделов высшей математики [Текст] / В.И. Серегин, Г.С. Иванов, И.М. Дмитриева, К.А. Муравьев // Геометрия и графика. - 2013. - Т. 1. - № 3-4. - С. 8-12. - DOI:https://doi.org/10.12737/2124.
29. Серегин В.И. Научно-методические вопросы подготовки студентов к олимпиадам по начертательной геометрии [Текст] / В.И. Серегин, Г.С. Иванов, И.Ф. Боровиков // Геометрия и графика. - 2017. - Т. 5. - № 1. - С. 73-81. - DOI:https://doi.org/10.12737/25126.
