В работе предложен вычислительный метод решения дифференциальных уравнений математической физики путём аппроксимации искомого решения с помощью геометрических объектов многомерного пространства, проходящих через наперед заданные точки. Суть метода заключается в моделировании аппроксимирующего геометрического объекта многомерного аффинного пространства, построенного на регулярной многомерной сети точек. При этом в узловых точках сети вычисляются значения функции отклика, удовлетворяющие решению исходного дифференциального уравнения. Моделирование аппроксимирующего геометрического объекта осуществляется с помощью дуг алгебраических кривых, проходящих через наперёд заданные точки. Следует отметить, что учёт граничных условий не требует изменений геометрического алгоритма или точечных уравнений. Достаточно использовать необходимые координаты узловых граничных точек, соответствующие граничным условиям решения дифференциального уравнения. Для достижения необходимой точности решения дифференциальных уравнений достаточно уплотнить опорную сеть точек. При таких условиях возможно использование как единого геометрического объекта для аппроксимации решения дифференциального уравнения, так и составного, основанного на моделировании многомерных обводов на регулярной сети точек многомерного пространства. Предложена геометрическая классификация дифференциальных уравнений в зависимости от количества параметров, определяющих аппроксимирующий геометрический объект в многомерном пространстве. Приводится пример решения неоднородного уравнения теплопроводности с помощью аппроксимирующей поверхности отклика, проходящей через 16 наперед заданных точек. В данном случае искомый аппроксимирующий отсек поверхности отклика проходит через три прямых линии, которые соответствуют граничным условиям, и удовлетворяет решению исходного дифференциального уравнения в узловых точках 16-точечной сети. Также приводится сравнение результатов решения неоднородного уравнения теплопроводности аппроксимированного 16-точечным отсеком поверхности отклика с эталонным отсеком поверхности, полученным с помощью метода разделения переменных.
16-точечный отсек, аппроксимирующая поверхность отклика, геометрический объект, дуга кривой, дифференциальное уравнение, неоднородное уравнение теплопроводности
1. Cottrell J.A. Isogeometric Analysis: Toward Integration of CAD and FEA. [Text] / J.A. Cottrell, T.J. Hughes, Y. Bazilevs. - John Wiley & Sons, Ltd. Chichester, 2009. - 360 p.
2. Vuong A.-V. Adaptive Hierarchical Isogeometric Finite Element Methods [Text] / A.-V. Vuong. - Springer Spektrum. Wiesbaden, 2012. - 127 p.
3. Бакельман И.Я. Геометрические методы решения эллиптических уравнений [Текст] / И.Я. Бакельман. - М.: Наука, 1965. - 340 с.
4. Балюба И.Г. Конструирование дуг обвода из кривых одного отношения / Балюба И.Г., Конопацкий Е.В. // Труды 27-й Международной конференция по компьютерной графике и машинному зрению «GraphiCon 2017». - Пермь: ПГНИУ, 2017. - С.332-334.
5. Балюба И.Г. Точечное исчисление [Текст]: учебное пособие / И.Г. Балюба, В.М. Найдыш; под ред. В.М. Верещаги. - Мелитополь: МГПУ им. Б. Хмельницкого, 2015. - 236 с.
6. Балюба, И.Г. Конструктивная геометрия многообразий в точечном исчислении: дис. … д-ра техн. наук: 05.01.01 / И.Г. Балюба. - Макеевка, 1995. - 227 с.
7. Бахвалов Ю.Н. Метод многомерной интерполяции и аппроксимации и его приложения [Текст] / Ю.Н. Бахвалов. - М.: Спутник+, 2007. - 108 с.
8. Беляев М.Г. Аппроксимация многомерных зависимостей по структурированным выборкам [Текст] / М.Г. Беляев. - Искусственный интеллект и принятие решений, 2013. - № 3. - С. 24-39.
9. Блинов А.О. Многомерная аппроксимация в задачах моделирования и оптимизации [Текст] / А.О. Блинов, В.П. Фраленко. Автомат. и телемех., 2009. - № 4. - С.98-109.
10. Бутырский Е.Ю. Аппроксимация многомерных функций [Текст] / Е.Ю. Бутырский, И.А. Кувалдин, В.П. Чалкин. - Научное приборостроение, 2010. - Т. 20. - № 2. - С. 82-92.
11. Введение в математический аппарат БН-исчисление [Текст] / Бумага А.И., Конопацкий Е.В., Крысько А.А., Чернышева О.А. // Материалы VII Международной научно-практической интернет-конференции «Проблемы качества графической подготовки студентов в техническом ВУЗе: традиции и инновации». - Пермь: ПНИПУ, 2017. - Вып. 4. - С. 76-82.
12. Галлагер, Р. Метод конечных элементов. Основы [Текст] / Р. Галлагер. Пер. с англ. - М.: Мир, 1984. - 428 с.
13. Давыденко И.П. Конструирование поверхностей пространственных форм методом подвижного симплекса: Дис. … канд. техн. наук: 05.01.01. / И.П. Давыденко. - Макеевка, 2012. - 186 с.
14. Задача по уравнению с математической физики с решением Неоднородное уравнение теплопроводности. Точка доступа: https://www.matburo.ru/Examples/Files/umf_3.pdf (дата обращения: 08.03.2019).
15. Зайцев В.Ф. Симметрии дифференциальных уравнений. Формальные операторы [Электронный ресурс] / В.Ф. Зайцев. - Известия РГПУ им. А.И. Герцена, 2004. - №8. - Точка доступа: https://cyberleninka.ru/article/n/ simmetrii-differentsialnyh-uravneniy-formalnye-operatory (дата обращения: 08.03.2019).
16. Калиткин Н.Н. Численные методы: Учеб. пособие. 2-е изд., исправленное [Текст] / Н.Н. Калиткин. - СПб.: БХВ-Петербург, 2011. - 592 с.
17. Конопацкий Е.В. Аппроксимация геометрических объектов с помощью дуг кривых, проходящих через наперёд заданные точки [Текст] / Е.В. Конопацкий. - Информационные технологии. - М.: 2019. - № 1. - Т. 25 - С. 46-52. - DOI:https://doi.org/10.17587/it.25.46-51.
18. Конопацкий Е.В. Вычислительные алгоритмы моделирования одномерных обводов через k наперед заданных точек / Е.В. Конопацкий, А.А. Крысько, А.И. Бумага. - Геометрия и графика. - М.: Инфра-М, 2018. - №3. - С.20-32. - DOI: https://doi.org/10.12737/article_5bc457ece18491. 72807735.
19. Конопацкий Е.В. Моделирование дуг кривых, проходящих через наперед заданные точки [Текст] / Е.В. Конопацкий. - Вестник компьютерных и информационных технологий. - М.: 2019. - № 2. - С. 30-36. - DOI:https://doi.org/10.14489/vkit.2019.02.pp.030-036.
20. Конопацкий Е.В. Моделирование криволинейного участка топографической поверхности на нерегулярной сети точек [Текст] / Е.В. Конопацкий, О.А. Чернышева, Я.А. Кокарева. - Вестник компьютерных и информационных технологий. - М.: 2018. - № 7. - С.17-22. - DOI:https://doi.org/10.14489/vkit.2018.07. pp.017-022.
21. Конопацкий Е.В. Подход к построению геометрических моделей многофакторных процессов и явлений многомерной интерполяции [Текст] / Е.В. Конопацкий. - Программная инженерия. - М.: 2019. - Т.10. - № 2. - С. 77-86.
22. Конопацкий Е.В. Принципы моделирования многофакторных процессов и явлений с большим количеством исходных данных [Текст] / Е.В. Конопацкий. - Информационные технологии в проектировании и производстве. - М.: НТЦ «Компас», 2018. - № 4(172). - С.20-25.
23. Конопацкий Е.В. Решение дифференциальных уравнений методами геометрического моделирования [Текст] / Е.В. Конопацкий // Труды 28-й Международной конференция по компьютерной графике и машинному зрению «GraphiCon 2018». 24-27 сентября 2018 г. - Томск: ТПУ, 2018. - С. 322-325.
24. Метод подвижного симплекса при конструировании 2-поверхностей многомерного пространства / [Балюба И.Г. и др.] // Моделювання та інформаційні технології: Збірник наукових праць. - К.: Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України, 2010. - Т.1. - С.310-318.
25. Ортега, Дж. Введение в численные методы решения дифференциальных уравнений [Текст] / Дж. Ортега, У. Пул. Пер. с англ.; под ред. А.А. Абрамова. - М.: Наука, 1986. - 288 с.
26. Павлов, A. B. Графоаналитические способы конструирования поверхностей сложной формы [Текст]: автореф. дис. … д-ра техн. наук / A.B. Павлов. - Москва: [б. и.], 1967. - 26 с.
27. Сальков Н.А. Формирование поверхностей при кинетическом отображении [Текст] / Н.А. Сальков // Геометрия и графика. - М.: Инфра-М, 2018. - Т. 6. - № 1. - С.20-33. - DOI: https://doi.org/10.12737/article_5ad094a0380725. 32164760.
28. Самарский А.А. Введение в теорию разностных схем [Текст] / А.А. Самарский. - М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1971. - 553 с.
29. Скидан И.А. Геометрическое моделирование кинематических поверхностей в специальных координатах: дис. … д-ра техн. наук: 05.01.01 [Текст] / И.А. Скидан. - Донецк, 1989. - 340 с.
30. Тихонов А.Н. Уравнения математической физики [Текст] / А.Н.Тихонов, А.А.Самарский. - М.: Наука, 1977 - 736 с.
31. Усманова Е.А. Компьютерное моделирование кинематических поверхностей [Текст] / Е.А. Усманова, В.А. Короткий, Л.И. Хмарова // Геометрия и графика. - М.: Инфра-М, 2015. - Т. 3. - № 4. - С.19-26. - DOI: https://doi.org/10.12737/17347.
32. Яковенко Г.Н. Дифференциальные уравнения с фундаментальными решениями: Софус Ли и другие [Текст] / Г.Н. Яковенко. - М.: Физматкнига, 2006. - 112 с.
